锥约束优化-变分分析基础（切锥）

修改时间	修改内容
2019.09.28	补充了凸集上的雷达锥法锥

锥： $K \subset \mathbb{R}^n$ ，对于任意 $x \in K$ 所有 $\alpha >0$ ，都有 $\alpha x \in K$ ，则称是一个锥

对于是有限维Hilbert空间， $S \subset X,x \in S$ 给出下列定义

雷达锥： $R_{s}(x)=\left \{ h\in X:\exists t^{*}>0,\forall t\in \left [ 0,t^{*} \right ],x+th\in S \right \}$

切锥： $T_{s}(x)=\lim_{t\downarrow 0}sup\frac{S-x}{t}$ ，用距离函数刻画 $T_{S}(x)=\left \{ h\in X: \exists t_{n}\downarrow 0,dist(x+t_{n}h,S)=o(t_{n})\right \}$ ，

用序列刻画 $T_{S}(x)=\left \{ h|\exists t_{k}\downarrow 0,\exists h^{k}\rightarrow h \,\, satisfied\,\, x+t_{k}h^{k}\in S,\forall k \right \}$

内切锥： $T_{s}^{i} (x)=\lim_{t\downarrow 0}inf\frac{S-x}{t}$ ，用距离函数刻画 $T_{S}^{i}(x)=\left \{ h\in X:dist(x+th,S)=o(t),t\geq 0 \right \}$

用序列刻画 $T_{S}^i(x)=\left \{ h|\forall t_{k}\downarrow 0,\exists N \in N_{\infty},\exists h^{k}\rightarrow h \,\, satisfied\,\, x+t_{k}h^{k}\in S,\forall k \in N \right \}$

正则切锥： $T_{s}^{c} (x)=\lim_{t\downarrow 0 , S\ni x^{'}\rightarrow x}inf\frac{S-x^{'}}{t}$

用序列刻画 $T_{S}^{c}(x)=\left \{ h|\forall t_{k}\downarrow 0,\forall x^k \overset{S}{\rightarrow} x,\exists h^{k}\rightarrow h \,\, satisfied\,\, x+t_{k}h^{k}\in S,\forall k \right \}$

若x不在S中，约定上述锥为空集。显然有 $R_{S}(x) \subset T_{S}^{i}(x)\subset T_{S}(x)$

凸集上的雷达锥、法锥、切锥？

定义注意点
锥 $K \subset \mathbb{R}^n$ ，对于任意 $x \in K$ 所有 $\alpha >0$ ，都有 $\alpha x \in K$
极锥 $K^\circ$ 是锥， $K^\circ = \left \{ y \, in\, \mathbb{R}^n:\left \langle y,x \right \rangle\leq 0\, for\,all\, x \in K \right \}$
由集合X生成的锥
雷达锥
凸集 $X\subset \mathhbb{R}^n$ ， $x \in X$ ，

建立在凸集的点上
法锥闭凸集 $X\subset \mathhbb{R}^n$ ， $x \in X$ ， $N_X(x)=[cone(X-x)]^\circ$ 建立在闭凸集的点上

	定义	注意点
锥	$K \subset \mathbb{R}^n$ ，对于任意 $x \in K$ 所有 $\alpha >0$ ，都有 $\alpha x \in K$
极锥 $K^\circ$	是锥， $K^\circ = \left \{ y \, in\, \mathbb{R}^n:\left \langle y,x \right \rangle\leq 0\, for\,all\, x \in K \right \}$
	由集合X生成的锥
雷达锥	凸集 $X\subset \mathhbb{R}^n$ ， $x \in X$ ，	建立在凸集的点上
法锥	闭凸集 $X\subset \mathhbb{R}^n$ ， $x \in X$ ， $N_X(x)=[cone(X-x)]^\circ$	建立在闭凸集的点上

锥约束优化-变分分析基础（切锥）

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