1.6 变换群与置换群
定义1.6.1：设
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是非空集合，
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的所有可逆变换关于映射的乘法构成的群，称为
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的全变换群，记为
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，
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的一个子群称为
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的一个变换群；当
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为含有
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个元素的有限集时，
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也叫作
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元对称群，记作
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，
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中的一个元素称为一个
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元置换，
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的一个子群称为一个
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元置换群。
要注意全变换群，变换群；对称群，置换群。这两对递进的概念的区别。下面是一个奠定变换群地位的定理，只给出证明思路。
定理1.6.1（Cayley定理）：任何群都与一个变换群同构。
证明思路：设
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是群，
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，定义映射
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，
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，称为左平移变换。不难验证左平移变换是
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的一个子群，且能与
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可以建立同构。
关于对称群
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而言，我们把它的
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个元素用前
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个自然数表示，则置换
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可记作
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，可以看出
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对
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个元素的一个排列，自然有下面结论。
定理1.6.2：
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。
接下来深入研究置换，首先给出两个定义。
定义1.6.2：设集合
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有
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个元素，设
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，
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，有
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，
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，
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，则称
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为一个
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轮换，或称
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循环置换，记为
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，
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称为
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的文字，
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称为
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的长；特别地，
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轮换称为对换，
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轮换称为恒等置换。
定义1.6.3：若
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中的若干个轮换没有共同文字，则称他们为不相交的轮换。
由此，下面的定理是容易得到的。
定理1.6.3：
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轮换的阶是
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。
定理1.6.4：两个不相交轮换的乘积是可交换的。
接下来，我们证明一个能够一般性表示任何置换的定理。
定理1.6.5：
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，
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都可表为
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中一些不相交轮换之积。
证：我们设
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，
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，直到
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，因为
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是一个双射，因此序列
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的前
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项是不会重复的，由此，
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构成了一个