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本篇专题是矩阵的初等变化,主要
是解决矩阵的相关计算问题的,这
一篇也是线性代数的重点,基本上
线性代数的计算都需要用到这些方法,
看完全篇你一定会使用初等变换法的。
矩阵的初等变化
矩阵的初等变化定义:
1、交换两行或两列。
2、用一个数K乘以某一行。
3、用某个数乘以某一行加到另一行中去。
上面的三种都属于初等变换
(包括列变化和行变化)。
矩阵的等价:
1、如果矩阵A 经有限次初等行变换变成
矩阵B,就称矩阵A 与B 行等价。
2、如果矩阵A 经有限次初等列变换变成
矩阵B,就称矩阵A 与B 列等价。
3、如果矩阵A 经有限次初等变换变成
矩阵B,就称矩阵A与B等价。
矩阵之间等价关系具有的性质:
我们看下定理1:
初等矩阵:
三种「初等变化」对应的三种「初等矩阵」:
为了更好地理解下面的内容,我事先把相关性质放出来先。
这句话我到底该怎么去理解它呢?
我们先看下第一种初等变换: 1、第一种初等矩阵「两行交换」:
上面这个初等变换,其实行交换和列交换的结果是一样的。大家也可以算一下来验证。
下面把「第一种初等矩阵」和「普通矩阵A」进行「左乘」看规律:
2、第二种初等矩阵「K乘以某一行」不要和数乘弄混了~:
下面探究「第二种初等矩阵」的「左右乘规律」:
3、第三种初等矩阵「某一行乘以K加到另一行中去」:
下面探究「第三种初等矩阵」的「左右乘规律」:
左乘:
右乘:
根据上面的推论1:
性质2:
怎么理解这句话?这句话有什么用?
1、如果方阵A是可逆的,那么就存在一定数量的
初等矩阵进行左乘、右乘最后可以由初等矩阵求
出A矩阵来。
2、如果存在一定数量的初等矩阵可以变换成为
方阵A,那么这个方阵A是可逆的。
定理1:
推论2:
怎么理解这句话?这句话有什么用?
1、如果矩阵A是方阵的话,那么矩阵A一定
可以转换称为单位阵E。
2、如果矩阵A可以转换称为单位阵E的话,
那么矩阵A一定是方阵。
例题关键性质:
※※※
下面有不懂的回来看这个,这个很关键。这里的PA表示的是行最简形。
例题检测:
PS:
如果最后化简化不出左边为单位阵E的话
,那么就说明A是不可逆的。
什么是行最简形? 下面一题先了解什么是行最简形,理解定义:
例题:
最简行列式的简单说明:
用初等变换法求逆矩阵:
用初等变换法求矩阵方程:
用初等变换求行最简形:
这里的P是新求出来的一个可逆矩阵。
用初等变换求行最简形:
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