大三时候在跳蚤市场闲逛，从一位数学院的学长那里买了一些闲书，最近翻出来刚好有李荣华、刘播老师的《微分方程数值解法》和王仁宏老师的《数值逼近》，结合周善贵老师的《计算物理》课程，整理一下笔记。

本文整理常微分方程数值求解的欧拉法与龙格-库塔法。

一般地，动力学系统的时间演化可以用常微分方程的初值问题来描述，例如设一维简谐运动的回复力：

，有则运动方程：

。令

，可以将二阶微分方程转化为一阶微分方程组：

因此本文主要整理一阶常微分方程初值问题的数值解法。

一阶常微分方程初值问题

设

在区域

：

上连续，对于一个给定的常微分方程

及初值

，求解

。为了保证解

存在、唯一且连续依赖初值

，要求

满足Lipschitz条件：

存在常数L，使得

对所有

和

成立。

假设

总满足上述条件。常用的近似解法有级数解法等近似解析方法，以及下文整理的数值方法：欧拉法与龙格-库塔法。

欧拉法

将区间

作N等分，每一小区间长度

称为步长，

称为节点。根据初值

，代入微分方程可直接解出

的导数值

。

推导

1、根据泰勒展开式：

略去二阶小量，得：

以此类推，得到递推公式：

2、数值积分推导

由

可得：

，使用左矩形积分得：