2020年8月更新：增加一个时域和频域的转换关系图，增加相应小节1.5
2021年8月更新：增加第6章小波去噪的内容

信号在实际测量中，难免会混入各种噪声。通常我们希望去除高频的随机噪声，或者是偏离正常测量太大的离群误差，以获得低频的测量数据。下面介绍几种常用的信号平滑去噪的方法。

还是惯例声明：本人没有相关的工程应用经验，只是纯粹对相关算法感兴趣才写此博客。所以如果有错误，欢迎在评论区指正，不胜感激。本文主要关注于算法的实现，对于实际应用等问题本人没有任何经验，所以也不再涉及。

1 滑动平均法

本章参考目录
1《数字信号处理》-胡广书
2《Digital Signal Processing - A Practical Guide For Engineers and Scientists》 - Steven W.Smith

1.0 移动平均法的方法原理

作为开篇第一个方法，会夹带一些数字信号处理的基本方法，可能会导致篇幅比较啰嗦，之后几章我会尽量挑重点的讲解。

滑动平均法（moving average）也叫做移动平均法、平均法、移动平均值滤波法等等，是一种时间域思想上的信号光滑方法。算法思路为，将该点附近的采样点做算数平均，作为这个点光滑后的值。

一般窗口为对称窗口，防止出现相位偏差。窗口一般为奇数。
以3点平均（窗口长度为3）公式为例，原数据为x，平滑后的数据为y：
$$y(n)=1/3\ast (x(n-1)+x(n)+x(n+1))$$
对y(n)和y(n+1)相减，可以得到另一种计算形式：
$$y(n+1)=y(n)-\frac{1}{3}x(n-1)+\frac{1}{3}x(n+2)$$
当然这两者都是等价的。

1.1 matlab内自带函数实现移动平均法

matlab有两个函数实现滑动平均法，一个是smoothdata()函数，一个是movmean()函数。
以窗口长度为5为例，smoothdata()函数调用方法为：

y = smoothdata( x , 'movmean' , 5 );

但是这个smoothdata函数实际上是调用了movmean()函数。所以如果直接使用的话，直接用movmean()会更快。
movmean()函数的调用方法为：

y = movmean( x , 5 );

下面以一个加噪声的正弦信号为例：

%移动平均滤波
clear
clc
close all

N_window = 5;%窗口长度(最好为奇数）
t = 0:0.1:10;
A = cos(2*pi*0.5*t)+0.3*rand(size(t));
B1 = movmean(A,N_window);
figure(1)
plot(t,A,t,B1)

1.2 利用卷积函数conv()实现移动平均法

根据之前的公式，我们可以看到
$$y(n)=1/3\ast (x(n-1)+x(n)+x(n+1))$$
就相当于一个对x和向量[1/3 1/3 1/3]做卷积。
可以验证：

N_window = 5;%窗口长度(最好为奇数）
t = 0:0.25:10;%时间
A = cos(2*pi*0.5*t)+0.3*rand(size(t));
B1 = movmean(A,N_window);

F_average = 1/N_window*ones(1,N_window);%构建卷积核
B2 = conv(A,F_average,'same');%利用卷积的方法计算
figure(2)
plot(t,B1,t,B2)

中间部分两者完全一致，但是两端有所差别。主要是因为，movmean()函数在处理边缘时，采用减小窗口的方式，而conv()相当于在两端补零。所以如何处理边缘也是值得注意的。

1.3 利用filter滤波函数实现移动平均法

首先介绍一下Z变换。以向前的滑动平均为例（这里中间值不是n而是n+1，所以相位会移动）。
$$y(n)=1/3\ast (x(n)+x(n+1)+x(n+2))$$
它的Z变换可以简单的理解为，把x(n+k)替换为z^(-k)，即
$$H(z)=\frac{1}{3}(z^0+z^{-1}+z^{-2})$$

因此对于filter滤波函数，输入的格式为：

y = filter(b,a,x)

其中b和a的定义为：
H ( z ) = b 1 + b 2 ⋅ z − 1 + b 3 ⋅ z − 2 + ⋯ + b n ⋅ z − n + 1 1 + a 2 ⋅ z − 1 + a 3 ⋅ z − 2 + ⋯ + a m ⋅ z − m + 1 H(z)=\frac{b_1+b_2\cdot z^{-1}+b_3\cdot z^{-2}+\cdots +b_{n}\cdot z^{-n+1}}{1+a_2\cdot z^{-1}+a_3\cdot z^{-2}+\cdots +a_{m}\cdot z^{-m+1}} H(z)=1+a2​⋅z−1+a3​⋅z