前言

傅里叶变换在物理学、数论、组合数学、信号处理、概率、统计、密码学、声学、光学等领域都有着广泛的应用，如何完整且深入的理解其对在仪器及信号领域的学习极其重要。

一、傅里叶级数定义

1.1 效果示意

应用前提：傅里叶级数是针对周期函数的。
应用效果：猜测任意周期函数都可以写成三角函数之和。以周期为2π的方波为示例：

1.2 数学定义

设f(t)是周期为T的波，其可以为矩形波、锯齿波、三角波等任意形式，在一定条件下均可以写成：
$$\begin{gathered} f(t)=A_0+\sum _{n=1}^{\infty }{A}_{n}sin(nwt+{\psi }_n) \\ =A_0+\sum _{n=1}^{\infty }[a_{n}cos(nwt)+b_{n}sin(nwt)]\text{\hspace{1em}(1)} \end{gathered}$$
式中：
$$a_n=\frac{2}{T}{\int }_{t_0}^{t_0+T}f(t)cos(nwt)dt$$
$$b_n=\frac{2}{T}{\int }_{t_0}^{t_0+T}f(t)sin(nwt)dt$$
$$w=\frac{2\pi }{T}$$
式(1)中右端级数即为由$f(t)$所确定的傅里叶级数。

二、理论推导

该推导的最终目标为：在傅里叶级数的猜想下，溯源$a_n$与$b_n$表达式。

2.1 关系解读($A_n$,$a_n$,$b_n$)

针对于傅里叶级数式(1)，可分为两个部分，即：
$$f(t)=A_0+\sum _{n=1}$$