第4章模型维度和设置边界

如果一个人怀着梦想充满信心地前进，他将在平凡的时光中遇到意想不到的成功。他将留下一些东西，将穿过一个看不见的界限。

—— 亨利·大卫·梭罗（Henry David Thoreau）

4.1 空间维度

在第3章中，我们推导了三维流动的瞬态控制方程（方程（3.12））。

解析解通常是在一维和二维中开发的，但在三维中很少见。

大多数数值地下水模型模拟二维或三维空间维度中的流动；很少使用一维数值模型。

模型的维度取决于模型的目的、水文地层的复杂性以及流动系统。

4.1.1 二维模型

在二维情况下，平面模型将地下水系统呈现为地图视图中的单个图层（图4.1），而剖面模型则表示横截面中的流动（图2.1）。

4.1.1.1 平面模型

在二维（2D）平面模型中，流动在两个水平维度中进行模拟，以表示承压或非承压含水层中的流动（图4.1(a)和(b)）。

方程（3.13a）是承压含水层的控制方程，方程（3.13b）是非承压含水层的控制方程。

模型中表示的所有要素的水力效应（例如，抽水井，内部水源，如地表水，以及周边边界条件）完全穿透含水层，即贯穿含水层的整个深度。

二维平面模型的稳态解是地图视图中的一系列水头的二维数组；瞬态解计算每个时间步的水头数组。

在承压含水层中，水头表示势面；在非承压含水层中，头部表示水位面。二维平面模型还可能在模型域的不同区域表示非承压和承压条件（图4.1(c)）。

平面模型仅由侧边界定义。模型的顶部和底部边界是在流动的二维表达中固有的，不由用户指定。水平流动的要求意味着二维平面模型的底部本质上是无流边界。承压含水层在底部由承压层或其他相对不透水的材料界定（图4.2）。承压含水层的顶部也由承压层界定。如果出于模型目的假定承压层的顶部或底部是不透水的，则在控制方程（3.13a）中没有穿越承压层的泄漏。如果承压层是渗透的，方程中的R表示泄漏，qL，即水通过承压层的垂直流动。

$q_L=-K'\frac{hsource-h}{b'} \quad (4.1)$

其中 $h_{\text{source}}$ 是源水位，可以是在封闭层上方的非承压含水层（图4.2）或另一个承压含水层；

是含水层中计算得到的水位；

K_z' 和分别是封闭层的垂直水力导度和厚度。

泄漏可以发生在位于感兴趣的含水层上方和下方的含水层。

参数 K_z'/b' 被定义为垂直渗透度。

垂直渗透度的倒数是垂直阻力，即 b'/K_z' 。

尽管在概念上类似，垂直阻力具有直观的特性，即当厚度接近零时，阻力趋近于零，与渗透性相反，当接近零时，渗透性趋近于无穷大。

图4.1 二维（2D）面积模型的示意图。

(a) 受上下限制的含水层，上下分别由上限制床和下限制床界定。上限制床上方可能覆盖着非受限含水层（参见图4.2），通过下限制床的渗漏为受限含水层提供水源。水头表示穿过受限含水层的井中水位的势面（参见图4.2）。

(b) 非受限含水层中的水头等于水位面以上的水位高度h，基于含水层底部（参见图4.2和4.3）。模型层的厚度等于h，且在空间上变化。

非承压含水层在底部本质上由被视为不透水的材料界定，在顶部由水位面界定。在底部边界上的泄漏（在底部边界不完全不透水的情况下）可以通过方程（4.1）进行模拟，或者通过从现场数据中指定 q_L 进行模拟。水位面不被视为边界，因为它是通过计算得到的解决方案。

Figure 4.2 Schematic diagram showing an unconfined aquifer and a confined aquifer within a regional groundwater flow system (Waller, 2013).

二维平面模型使用杜皮-福尔赫默（D-F）逼近法。简而言之，D-F逼近法假定流动主要是水平的（见盒子4.1中的图B4.1.1），并且垂直水力梯度可以忽略不计（尽管仍然可以表示垂直流动；参见盒子4.1）。当垂直方向上的水头变化为零 $\partial h/\partial z=0$ 时，水平平面上任何点 (x,y) 处的水头在有限含水层中等于势面标高，在非有限含水层中等于水位面标高（从含水层底部测量）（图4.3）（即，水位面的标高等于饱和厚度，b）。使用D-F逼近法的解与三维（3D）流动的解之间的比较表明，在距离引起垂直流动的水力要素（例如，3D要素，如部分穿透的地表水体、抽水井和地下水分水岭）大于2.5d的距离处，D-F模型计算的水头几乎无法与3D模型中的水头区分开（Haitjema，2006，p. 788），其中：

$d=b\sqrt{\frac{K_h}{K_v}} \quad(4.2a)$

在方程（4.2a）中，( K_h ) 和 ( K_v ) 分别是水平和垂直水力导度，() 是饱和厚度。

因此，在各向同性条件下( K_h/K_v = 1 ），在距离一个三维要素两到三个饱和厚度之外，垂直流动可以忽略不计。

在区域地下水流系统中（例如，见盒子4.1中的图B4.1.1），导致垂直流动的水力要素位于系统边界，这使得对于单个水力要素所需的距离加倍，并且意味着当系统的长度(L) 大于 (5d) 时，D-F流是一个很好的近似值（Haitjema，2006，第788页）：

$L > 5b\sqrt{\frac{K_h}{K_v}} \quad(4.2b)$

在许多地下水系统中，距离(L) 远大于饱和厚度 (b)，因此使用D-F逼近的平面流模型适用于各种各样的地下水流问题（盒子4.1）。

图4.3 在D-F逼近法下非承压含水层中的水平流动（蓝色箭头）。在放水面附近和水位表附近，D-F逼近法不准确。真实流场中的等势线（红色线）在水位表和放水面附近偏转，存在垂直梯度和渗流面；D-F逼近法假设垂直等势线（显示为蓝色）。在真实流场中，水位表在放水面之上与地表水体的自由表面相交（红线），形成一个渗流面。在D-F逼近法下，水位表是连续的，与地表水体的自由表面相遇，没有渗流面。

在D-F逼近法下，不存在渗流面。渗流面是非承压含水层中的一个放水面，其中压力等于零（大气压力）；沿着渗流面的水头等于面的标高。渗流面可能在山坡、河岸（图4.3）以及隧道、矿井和大口径井中形成（第6.2节）。D-F模型在靠近放水面的地方性能较差，水位面的坡度较大，有强烈的垂直流分量，但当距离渗流面足够大时，根据上述讨论的准则定义，解是准确的。

准确模拟水位表作为自由表面（移动边界）是复杂的，因为它需要对垂直流动进行严格的表示，并在水位表上施加非线性边界条件（Neuman和Witherspoon，1971；Diersch，2014，第216-218，405-406页；第4.5节）。正如Diersch（2014，第406页）所观察到的，实际上，“自由表面问题通常只以非严格的方式解决”。

D-F模型是一种非严格的方法（盒子4.1）。有关模拟水位表和相关渗流面的其他选项将在第4.5节中讨论。

Box 4.1 Two-Dimensional or Three-DimensionaldMore about the D-F Approximation

自然界是三维的，瞬息万变的；所以有人可能会说，三维瞬态模型总是最站得住脚的地下水模型。然而，设计、校准和使用三维瞬态地下水模型进行不确定性分析的时间和成本是巨大的，因此可能没有多少时间和预算来探索与模型性能和预测相关的问题。贯穿本书的一个反复出现的主题是，对复杂的自然世界进行适当的简化是所有环境建模的必要基础。在4.1节中，我们讨论了用于模拟二维面流的D-F近似。当条件适合D-F模型时，可以避免3D模型的成本和工作量。因此，D-F近似，当适用时，是一个宝贵的资产地下水建模。在这个方框中，我们提供了一些关于D-F模型的附加信息。
D-F理论可以追溯到19世纪，当时Dupuit(1863)推导了一个不考虑水头垂直变化的电位面表达式。Forchheimer(1886, 1898)独立地在约束流和无约束流的方程中省略了水头的垂直变化。这个近似的名字反映了两个人的贡献。尽管D-F理论对承压和无承压条件都有效，但它在应用于无承压含水层时尤其有用，因为它提供了一种计算地下水位高度的方法。回想一下，在剖面(方框4.2和4.3)和无承压含水层的三维模型中出现了一个复杂性，因为地下水位是模型的上边界(第4.5节和方框4.6)，但是为了设置地下水位边界条件，我们需要知道地下水位的位置，这通常是鲜为人知的。然而，在D-F模型中，地下水位不是边界;相反，该模型计算地下水位的高度作为解决方案(例如，Youngs, 1990)。
区域地下水系统中的流道通常以垂直放大的横截面来观察(图B4.1.1(a))，从而夸大了垂直流动的表现，但当不进行垂直放大观察(图B4.1.1(b))时，流道主要是水平的。

4.1.1.2 剖面模型

剖面模型表示地下水流系统的垂直切片（横截面）中的二维流动（见盒子4.2中的图B4.2.1）。其控制方程为方程（B4.2.1）（盒子4.2）。该模型由剖面的顶部、底部和侧边的边界条件来定义。

盒子4.2 剖面模型

该盒子介绍了使用标准有限差分（FD）和有限元（FE）地下水流代号建立剖面模型的说明。为了方便起见，参考使用了FD网格。

剖面模型的纵轴必须与地下水流路径平行，因为所有水必须在剖面内流动；不能有水垂直于剖面流动。剖面的厚度设置为一个单位，或者设置为与流动平行于剖面的含水层宽度（图B4.2.1）。通常，剖面是一个矩形，有四个边界（即顶部、底部和两侧边界），但当剖面不是矩形时，可以适应更复杂的边界几何形状。通常，顶部边界表示水位表，底部边界被模拟为无流边界，但也可以使用指定水头、指定流量或水头相关条件进行模拟。剖面两端的侧边界通常表示地下水分水岭，并被模拟为无流边界条件（盒子4.3）。剖面模型通常被构建为3D模型的多层切片，我们称之为切片取向，但也可以构建为单层模型，我们称之为层取向。

图B4.2.1 剖面模型，其纵轴与地下水流平行，由紫色箭头表示。

还显示了水位等值线（以米为单位）。在三维模型中模拟的切片取向是剖面建模的首选取向。

图B4.2.2 在层取向中（底部三个图），剖面被模拟为一个面积上的二维模型。层的厚度等于剖面的宽度。为了比较，顶部的图中显示了切片取向。

剖面在x-z平面内的流动的瞬态控制方程由方程（3.12）推导而来，其中 $\partial h/\partial y = 0$ ：

$\frac{\partial }{\partial x}\left (K_x \frac{\partial h}{\partial x} \right )+\frac{\partial }{\partial z}\left (K_z \frac{\partial h}{\partial z} \right )=S_s \frac{\partial h}{\partial t}-W^* \qquad(B4.2.1)$

其中 W^* （1/T）是应用于剖面顶部单元（ L^3 ）的体积充水速率（ L^3 /T ）。

瞬态模拟很繁琐，因为流动路径随时间变化，剖面的取向必须调整以符合变化的流场（图B4.2.1）。

因此，3D模型更适用于瞬态模型，而剖面模型通常模拟稳态流动，其中在方程（B4.2.1）中 $\partial h/\partial t=0$ 。

切片取向切片取向是剖面建模的自然取向。切片取向中的剖面简单地是3D模型的一个横截面；剖面模型具有多个层，剖面的厚度等于Δy或Δx，具体取决于取向（例如，图B4.2.2）。3D控制方程（方程3.12）适用，含水层参数（Kx = Ky，Kz，Ss）和层厚度输入方式与3D模型相同。充水量根据FD或FE代号中提供的充水选项输入。由于垂直切片包括多个模型层，模型输入包括逐层输入表示该切片的单行数据；因此，与层取向相比，数据输入略显繁琐，但在GUI中，数据的组装更加方便。与3D模型一样，水位节点的贮水率等于比流系数，而水位以下的节点的贮水率表示由于含水层的压缩和水的膨胀而释放的水（第5.5节；图5.27）。

层取向

在层取向中（图B4.2.2），剖面模型的网格/网格设置为一个面积上的二维模型，因此需要模型师在视角上进行改变。层取向依赖于方程（B4.2.1）和方程（3.13a）之间的相似性，方程（3.13a）是受限含水层中的二维水平流的控制方程。如果方程（B4.2.1）中的 z 等于方程（3.13a）中的 y，这两个方程是相同的。类似地，方程（B4.2.1）中的 Kx、Kz、Ss 和 W* 分别代替方程（3.13a）中的 Tx、Ty、S 和 R。层的厚度 b 等于剖面的宽度，使得 Tx = Kxb 和 Ty = Kzb；S = Ssb 和 R = W*b。参数 S 是贮水率，对于水位节点等于比流系数，在其他地方表示由于含水层的压缩和水的膨胀而释放的水（第5.5节；图5.27）。

层取向的主要优势在于，原始模型输出可以被视为一个2D头值数组，而不是对于多层逐行查看。在使用电子表格解决剖面模型时，层取向也更为方便（盒子4.3）。然而，在GUI中，切片取向有助于剖面建模，因为它们在横截面中显示模型的输入和输出。由于大多数应用建模都是通过GUI完成的，切片取向是大多数剖面模型的首选表示。

剖面模型的解是一个垂直平面中的2D头值数组，可以从中绘制等势线并推断流向（盒子4.3的图B4.3.3(c)；图4.4）。剖面模型假设沿着剖面没有垂直流动；它们沿着流线定向，所有流动发生在剖面的垂直平面内。

图4.4 剖面模型中的等势线（淡灰色线）和流路径（浓重蓝色线），带有示意的流动箭头。在上层底部，水力导数有两个数量级的对比有效地创建了无流边界。图是使用TopoDrive（Hsieh, 2001）创建的。

盒子4.3 有限差分剖面模型的电子表格解法

通过近似地简化地下水流方程和边界条件而导致的FD方程的迭代解可以借助电子表格获得。在电子表格建模中，电子表格中的每个单元格都是一个FD单元格。该技术适用于简单的问题，例如Toth（1962）描述的均匀、各向同性含水层横截面中的稳态区域地下水流问题。

Toth的概念模型如图B4.3.1所示，数学模型如图B4.3.2所示。

线性水位表形成了顶部边界，并由指定的水头边界表示（有关水位表上指定水头条件的注意事项，请参见盒子4.6中的警示讨论）。侧边界表示由无流边界模拟的区域地下水分水岭。系统底部的无流边界表示不透水材料。

控制方程是拉普拉斯方程：

$\frac{\partial ^{2}h}{\partial x^{2}}+\frac{\partial ^{2}h}{\partial z^{2}}=0 \quad (B4.3.1)$

其中 z 是垂直坐标。对于 Dx 和 Dz 都是常数且相等的均匀规则网格的方程（B4.3.1）的有限差分逼近是：