手把手教你推导morlet小波变换公式

一、小波计算公式

连续小波的计算公式：

$W\left( a,b \right) =\int_{-\infty}^{\infty}{x}\left( t \right) \Psi ^*\left( \frac{t-b}{a} \right) \,dt$

其中， $x\left( t \right)$ 是原始信号， $\Psi ^*$ 是小波函数的复共轭， a是尺度参数， b是平移参数。

这个公式描述了如何将原始信号 x(t) 在不同尺度和平移参数下与小波函数 $\Psi(t)$ 进行内积运算。

t - b 是时间轴上的平移参数。在小波分析中， t - b 表示对信号 x(t) 在时间轴上进行平移，其中是平移参数。这个平移操作使得我们可以将小波函数 $\Psi(t)$ 与信号在不同时间位置上进行匹配。

通过调整平移参数，我们可以改变小波函数在时间轴上的位置，从而使其与信号在不同时间位置上进行匹配。

这种平移操作允许我们对信号的不同时间段进行分析，并在不同时间位置上捕获信号的局部特征。

总之， t - b 表示对信号在时间轴上进行平移，是平移参数，通过调整可以控制小波函数在时间轴上的位置，从而适应不同时间位置上的信号特征。

在小波分析中， $\left( \frac{t-b}{a} \right)$ 表示对时间轴上的信号进行平移和尺度变换。具体地，是尺度参数，是平移参数。将减去表示对信号在时间上进行平移，而将结果除以则表示对信号在时间上进行尺度变换。

这种平移和尺度变换的操作使得小波函数能够适应不同尺度和时间位置上的信号特征。通过调整尺度参数和平移参数，我们可以使小波函数具有不同的频率和时域分辨率，从而对信号进行更精细的分析。

总之， $\left( \frac{t-b}{a} \right)$ 这一项表示对时间轴上的信号进行平移和尺度变换，以适应不同尺度和时间位置上的信号特征。

在小波分析中， $\int_{-\infty}^{\infty} x\left( t \right) \Psi^*\left( \frac{t-b}{a} \right) \,dt$ 表示信号 x(t) 与小波函数的复共轭 $\Psi^*\left( \frac{t-b}{a} \right)$ 在整个时间轴上的内积运算结果。这个内积运算是小波变换中的关键步骤，它用于计算信号在不同尺度和时间位置上的小波变换系数。

具体来说，这个内积运算可以被理解为信号 x(t) 在整个时间轴上与经过尺度变换和平移后的小波函数的复共轭 $\Psi^*\left( \frac{t-b}{a} \right)$ 进行乘积运算，并对结果在整个时间轴上进行积分。这个过程可以帮助我们理解信号在不同尺度和时间位置上的局部特征，并获取信号的小波变换系数。

因此， $\int_{-\infty}^{\infty} x\left( t \right) \Psi^*\left( \frac{t-b}{a} \right) \,dt$ 表示信号 x(t) 与小波函数的复共轭在整个时间轴上的内积运算结果，它是小波变换的核心操作之一。

W(a, b) 表示小波变换系数，它是通过在不同尺度和时间平移下对信号 x(t) 与小波函数的复共轭进行内积运算得到的结果。换句话说， W(a, b) 表示信号 x(t) 在尺度和时间位置下的局部特征。

具体来说， W(a, b) 描述了信号在不同频率尺度和不同时间位置上的局部能量分布，它是小波分析中的核心输出之一。通过分析小波变换系数 W(a, b) ，我们可以了解信号在不同尺度和时间位置上的局部特征、频率成分以及能量分布情况，从而实现对信号的时频分析和特征提取。

因此， W(a, b) 的含义是描述信号在不同尺度和时间位置上的局部特征，它是小波分析中用来获取信号时频信息的重要工具。

1. 内积的含义

在小波分析中，我们需要计算原始信号 x(t) 与小波函数 $\Psi(t)$ 的内积，以获取信号的小波变换系数。这个内积运算的表达式可以表示为：

$\langle x(t), \Psi(t) \rangle = \int_{-\infty}^{\infty} x(t) \Psi^*(t) \, dt$

其中， $\Psi^*(t)$ 是小波函数 $\Psi(t)$ 的复共轭。

内积运算衡量了信号 x(t) 在小波函数 $\Psi(t)$ 的尺度和时间位置上的“匹配程度”。通过在不同尺度和时间位置上对信号和小波函数进行内积运算，我们可以获取信号在不同频率和时间范围内的局部特征信息，从而实现信号的时频分析和特征提取。评判信号 x(t) 在小波函数 $\Psi(t)$ 的尺度和时间位置上的“匹配程度”通常没有一个确定的标准，而是根据具体问题和分析目的来确定。

二、 Morlet小波函数的代入

现在，我们将Morlet小波函数代入到上述基本公式中，即将 $\Psi(t)$ 替换为Morlet小波函数的表达式：

$\Psi\left( t \right) = \pi^{-\frac{1}{4}} e^{i\omega_0 t} e^{-\frac{t^2}{2}}$

Morlet小波函数是小波分析中常用的一种小波函数，它的数学表达式如下：

$\Psi(t) = \pi^{-\frac{1}{4}} e^{i \omega_0 t} e^{-\frac{t^2}{2}}$

其中：
- $\omega_0$ 是频率参数，控制小波函数的频率。
- 是虚数单位。
- $\pi$ 是圆周率。

$\pi^{-\frac{1}{4}}$

是一个常数，其数值为 $\frac{1}{\sqrt[4]{\pi}}$ 。它出现在Morlet小波函数中，用于归一化小波函数的幅度，以确保小波函数的能量在不同尺度下保持一致。

在小波分析中，归一化是非常重要的，因为它可以使得不同尺度下的小波函数具有相似的能量级，从而使得在不同尺度下进行比较和分析更为方便。

因此， $\pi^{-\frac{1}{4}}$ 在Morlet小波函数中的作用是对小波函数的振幅进行归一化，确保小波函数在不同尺度下的能量保持一致。

这个表达式可以看作是一个复指数函数与一个高斯函数的乘积。

复指数部分 $e^{i \omega_0 t}$ 描述了正弦波在时间轴上的振荡特性，而高斯函数部分 $e^{-\frac{t^2}{2}}$ 则描述了一个高斯窗口，用于局部化小波函数。

当我们考虑一个复指数函数 $e^{i \omega_0 t}$ 时，其中表示时间，而 $\omega_0$ 表示频率参数。复指数函数描述了在时间轴上按照给定频率 $\omega_0$ 进行振荡的信号。

具体来说，复指数函数 $e^{i \omega_0 t}$ 可以被理解为单位圆上绕着原点旋转的点在时间轴上的投影。

这个旋转的速度由频率参数 $\omega_0$ 决定，频率 $\omega_0$ 表示单位时间内旋转的角度。

当 $\omega_0$ 为正时，表示正方向旋转；当 $\omega_0$ 为负时，表示逆方向旋转。

举个例子，假设 $\omega_0 = 2\pi$ ，那么复指数函数 $e^{i 2\pi t}$ 描述了单位圆以每秒 $2\pi$ 的速度绕着原点顺时针旋转。

在时间轴上，这就对应着一个频率为1 Hz 的正弦波信号，即完成一个周期的旋转需要1 秒。

因此，复指数部分 $e^{i \omega_0 t}$ 描述了信号在时间轴上按照给定频率进行振荡的特性，频率 $\omega_0$ 决定了信号的周期性。

当我们说复指数函数 $e^{i\omega_0 t}$ 在时间轴上的投影是正弦函数时，意思是指复指数函数描述了一个在复平面上按照给定频率 $\omega_0$ 进行逆时针方向旋转的过程，而其在实数轴上的实部部分即为正弦函数。这个正弦函数描述了在时间轴上以给定频率振荡的信号。

具体来说，当 $\omega_0 = 2\pi$ 时，复指数函数 $e^{i 2\pi t}$ 描述的是单位圆以每秒 $2\pi$ 的速度逆时针旋转，其在实数轴上的实部即为正弦函数，表示一个频率为 1 Hz 的正弦波信号在时间轴上的振荡。

在小波分析中，复指数函数 $e^{i\omega t}$ 描述了一个在时间轴上按照给定频率 $\omega$ 进行振荡的信号。对于 $\omega = 2\pi$ ，即 $e^{i 2\pi t}$ ，它描述了一个频率为 $\frac{1}{2\pi}$ 的正弦波信号。

这是因为正弦波信号的周期是 $T = \frac{1}{f}$ ，其中是信号的频率。当 $\omega = 2\pi$ 时，信号的频率 $f = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{1}{T} = 1$ Hz，表示信号在单位时间内完成一个周期。

因此，在时间轴上，复指数函数 $e^{i 2\pi t}$ 对应的信号是频率为 1 Hz 的正弦波信号，其完成一个周期的旋转需要 1 秒。

高斯函数部分 $e^{-\frac{t^2}{2}}$ 在Morlet小波函数中起到了局部化的作用。让我来解释一下：

1. 高斯函数的形状：

高斯函数是一种钟形曲线，中心对称，其形状由 $e^{-\frac{t^2}{2}}$ 这部分决定。随着的增大或减小，函数值呈指数级别的下降，使得函数在远离中心 t = 0 的地方迅速趋近于零。

2.局部化作用：

在小波分析中，我们希望小波函数能够在时域上对信号进行局部分析，即只在某个时间段内对信号进行检测，而在其他时间段内不进行分析。高斯函数的局部化特性使得Morlet小波函数在时域上具有窄的主瓣和较宽的边瓣，使得在某个时间段内的信号贡献较大，而在其他时间段内的信号贡献较小，从而实现了对信号的局部化分析。

因此，高斯函数部分 $e^{-\frac{t^2}{2}}$ 在Morlet小波函数中描述了一个高斯窗口，用于在时域上局部化小波函数，使其在某个时间段内对信号进行有效的局部分析。

当将复指数函数部分 $e^{i\omega_0 t}$ 和高斯函数部分 $e^{-\frac{t^2}{2}}$ 相乘时，得到的是一个复数函数，即Morlet小波函数的实部。

这个乘积可以写成 $e^{i\omega_0 t} \cdot e^{-\frac{t^2}{2}}$ 。我们可以将它展开为：

$e^{i\omega_0 t} \cdot e^{-\frac{t^2}{2}} = e^{i\omega_0 t - \frac{t^2}{2}}$

这样就得到了Morlet小波函数的实部部分。这个实部部分描述了信号在时域上的局部振荡特性，结合了正弦波的振荡和高斯窗口的局部化特性，用于在时域上对信号进行局部分析。

当将复指数函数部分 $e^{i\omega_0 t}$ 和高斯函数部分 $e^{-\frac{t^2}{2}}$ 相乘时，得到的是一个复数函数，即Morlet小波函数的实部。

这个乘积可以写成 $e^{i\omega_0 t} \cdot e^{-\frac{t^2}{2}}$ 。我们可以将它展开为：

$e^{i\omega_0 t} \cdot e^{-\frac{t^2}{2}} = e^{i\omega_0 t - \frac{t^2}{2}}$

当将复指数函数部分 $e^{i\omega_0 t}$ 和高斯函数部分 $e^{-\frac{t^2}{2}}$ 相乘时，得到的是Morlet小波函数的实部。让我详细解释一下这个过程：

1. **复指数函数部分 $e^{i\omega_0 t}$ ：描述了一个频率为 $\omega_0$ 的正弦波在时间轴上的振荡特性。 $\omega_0$ 决定了正弦波的频率，即在单位时间内完成的周期数。当 $\omega_0 = 2\pi$ 时，描述的是频率为 1 Hz 的正弦波信号。

2. **高斯函数部分 $e^{-\frac{t^2}{2}}$ ：描述了一个钟形曲线，即高斯函数，在时域上的形状。这个函数呈指数级别的下降，使得在远离中心 t = 0 的地方函数值快速趋近于零，实现了信号在时域上的局部化。

将这两部分相乘，得到的是Morlet小波函数的实部。这个实部函数描述了一个在时间轴上以给定频率 $\omega_0$ 进行振荡，并且在时域上局部化的信号。实部函数的形式可以写成：

$e^{i\omega_0 t} \cdot e^{-\frac{t^2}{2}} = e^{i\omega_0 t - \frac{t^2}{2}}$

这个实部函数描述了一个振荡频率为 $\omega_0$ 的信号，并且在时域上具有局部化特性，即在某个时间段内对信号进行局部分析，而在其他时间段内的信号贡献较小。

举个例子，当 $\omega_0 = 2\pi$ 时，Morlet小波函数的实部可以写成：

$e^{i2\pi t} \cdot e^{-\frac{t^2}{2}} = e^{i2\pi t - \frac{t^2}{2}}$

这描述了一个频率为 1 Hz 的正弦波信号，并且在时间轴上以高斯窗口进行局部化。

在小波分析中，高斯窗口的宽度通常由尺度参数控制。Morlet小波函数中的高斯窗口部分是 $e^{-\frac{t^2}{2a^2}}$ 。

我们知道，小波函数在时域和频域之间存在一种不确定性关系，即时域窄宽与频域窄宽之间存在权衡。具体来说，在频域上，小波函数的带宽（频率分辨率）与时域上窗口的宽度成反比。

考虑到傅里叶变换对于高斯函数的性质，我们知道，高斯函数的傅里叶变换也是高斯函数。其带宽与时域高斯窗口的宽度成反比。

因此，当我们调整高斯窗口的宽度时，实际上在频域上影响了小波函数的带宽，进而影响了小波函数对频率的分辨率。

具体来说：

- 当较小时，高斯窗口较窄，对应的小波函数在频域上具有较宽的带宽，频率分辨率较高。

- 当较大时，高斯窗口较宽，对应的小波函数在频域上具有较窄的带宽，频率分辨率较低。

因此，调整高斯窗口的宽度实际上就是调整了小波函数在频域上的频率分辨率，使其适应不同频率特征的信号。

当我们将复指数函数 $e^{i\omega_0 t}$ 与高斯函数 $e^{-\frac{t^2}{2}}$ 相乘时，实际上我们在Morlet小波函数中同时引入了频率调制和幅度调制。

1. 频率调制：复指数函数 $e^{i\omega_0 t}$ 描述了正弦波在时间轴上的振荡特性，其中 $\omega_0$ 是频率参数。乘以 $e^{i\omega_0 t}$ 相当于对正弦波进行了频率调制，即使得正弦波的频率随时间而变化。这意味着小波函数可以适应信号频率随时间变化的情况，对于非静态信号具有较好的适应性。

2.幅度调制：高斯函数 $e^{-\frac{t^2}{2}}$ 描述了一个钟形曲线的幅度，即高斯窗口。这个窗口可以在时间轴上将信号进行局部化，使得小波分析能够集中于特定时间段内的信号特征。因为幅度在时间轴上的变化是由高斯函数控制的，所以这也被称为幅度调制。

综合来说，乘积 $e^{i\omega_0 t} \cdot e^{-\frac{t^2}{2}}$ 结合了频率调制和幅度调制的效果。这使得Morlet小波函数在时域上具有频率适应性和局部化特性，能够有效地捕获信号的时间和频率特征。

Morlet小波函数在时域和频域上均具有良好的局部化特性，因此在时频分析中被广泛应用。它常用于处理周期性信号，如地震信号、心电图信号等。

对的，当我们在计算小波变换时，需要将Morlet小波函数代入到小波函数的复共轭中。Morlet小波函数的复共轭形式可以通过对其进行复共轭运算得到。让我们计算一下：

将Morlet小波函数 $\Psi(t) = \pi^{-\frac{1}{4}} e^{i \omega_0 t} e^{-\frac{t^2}{2}}$ 进行复共轭运算，得到复共轭形式 $\Psi^*(t)$ 。复共轭运算是将函数中的虚部取负号。因此：

$\Psi^*(t) = \pi^{-\frac{1}{4}} e^{-i \omega_0 t} e^{-\frac{t^2}{2}}$

然后，我们将替换为 $\frac{t-b}{a}$ ，得到 $\Psi^*\left( \frac{t-b}{a} \right)$ ，这就是Morlet小波函数的复共轭在尺度变换和时间平移后的形式。

将这个复共轭形式代入到小波变换的积分公式中，我们就可以计算出小波变换系数 W(a, b) 。

Morlet小波函数可以表示为：

$\Psi_{a,b}(t) = \pi^{-\frac{1}{4}} e^{i\omega_0(t-b)} e^{-\frac{(t-b)^2}{2a^2}}$

在这个公式中， $\Psi_{a,b}(t)$ 表示在尺度参数和平移参数下的 Morlet 小波函数。是时间变量， $\omega_0$ 是频率参数。

好的，让我们以一个具体的例子来说明。假设我们有一个信号 x(t) ，我们想要分析它在不同尺度和位置下的局部特征。

让我们选择 Morlet 小波函数作为我们的分析工具。假设我们使用的 Morlet 小波函数的频率参数 $\omega_0 = 5$ ，并且我们想要在尺度参数 a = 1 和位置参数 b = 0 下分析信号。也就是说，我们想要了解信号在频率为 5Hz，尺度为 1，位置在时间轴原点处的情况。

现在，我们来计算 Morlet 小波函数在这些参数下的具体形式：

$\Psi_{a,b}(t) = \pi^{-\frac{1}{4}} e^{i\omega_0(t-b)} e^{-\frac{(t-b)^2}{2a^2}}$

将参数代入：

$\Psi_{1,0}(t) = \pi^{-\frac{1}{4}} e^{i5t} e^{-\frac{t^2}{2}}$

这就是在尺度参数 a = 1 和位置参数 b = 0 下的 Morlet 小波函数。

现在，假设我们的信号 x(t) 是一个简单的正弦波信号： $x(t) = \sin(2\pi t)$ 。

我们可以计算信号 x(t) 与 Morlet 小波函数的内积，即连续小波变换：

$W(a,b) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t) \Psi^*_{a,b}(t) \, dt$

将信号和小波函数的具体形式代入：

$W(1,0) = \int_{-\infty}^{\infty} \sin(2\pi t) \cdot \pi^{-\frac{1}{4}} e^{-i5t} e^{-\frac{t^2}{2}} \, dt$

通过计算这个积分，我们可以得到在尺度参数 a = 1 和位置参数 b = 0 下的连续小波变换结果 W(1,0) ，从而了解信号在这个特定尺度和位置下的局部特征。

3.复共轭的引入：
我们知道，连续小波变换的公式中需要使用小波函数的复共轭。因此，我们需要求Morlet小波函数的复共轭，记为 $\Psi^*(t)$ 。

4.积分运算：
将原始信号 x(t) 与Morlet小波函数的复共轭 $\Psi^*\left( \frac{t-b}{a} \right)$ 相乘，并对乘积进行积分运算，即在整个时间轴 $-\infty < t < \infty$ 上对乘积进行积分。

5. Morlet小波的连续小波变换公式：
将上述步骤的结果合并，我们得到了Morlet小波的连续小波变换公式：

$W\left( a,b \right) = \int_{-\infty}^{\infty} x\left( t \right) \pi^{-\frac{1}{4}} e^{i\omega_0 \left( t-b \right)} e^{-\frac{\left( t-b \right)^2}{2a^2}} \,dt$

这个公式描述了如何使用Morlet小波函数来对原始信号进行分析，从而得到连续尺度的小波变换系数 W(a,b) 。

选择合适的小波函数是小波分析中的关键一步，它直接影响到小波变换的结果和分析效果。下面是一些选择合适小波函数的常见策略：

1. **理论选择**：根据所研究问题的特点和需求，选择与问题相关的小波函数。例如，Morlet小波适用于处理周期性信号，Daubechies小波适用于处理具有局部奇异性的信号等。

2. **频率特性**：选择小波函数时要考虑信号的频率特性。如果信号包含特定的频率成分，应选择能够捕获这些频率成分的小波函数。

3. **时域分辨率**：考虑小波函数在时域上的分辨率。某些小波函数具有较高的时域分辨率，可以捕获信号中的细微变化；而其他小波函数具有较低的时域分辨率，可以捕获信号中的整体结构。

4. **频域分辨率**：考虑小波函数在频域上的分辨率。某些小波函数具有较窄的频率范围，适用于分析局部频率特征；而其他小波函数具有较宽的频率范围，适用于分析整体频率分布。

5. **计算效率**：考虑小波函数的计算效率。有些小波函数具有简单的数学形式和快速的计算方法，适用于大规模数据分析和实时处理。

6. **交叉验证**：在实际应用中，可以尝试多种小波函数并进行交叉验证，选择最适合具体问题的小波函数。

综上所述，选择合适的小波函数需要综合考虑信号的特性、频率分布、时域分辨率、频域分辨率以及计算效率等因素，同时也可以通过理论分析和实验验证来确定最佳的选择。