概述
- 变换续（模型、视图、投影）
- 三维变换
- Viewing (观测) transformation
- View (视图) / Camera transformation（摄像机和视图变换）
- Projection (投影) transformation（3D→2D）
- Orthographic (正交) projection
- Perspective (透视) projection
三维变换
- 使用齐次坐标表示
- 3D point = ( x , y , x , 1 ) T (x, y, x, 1)^T (x,y,x,1)T
- 3D vector = ( x , y , z , 0 ) T (x, y, z, 0)^T (x,y,z,0)T
- 使用4x4矩阵表示仿射变换 ( x ′ y ′ z ′ 1 ) = ( a b c t x d e f t y g h i t z 0 0 0 1 ) ⋅ ( x y z 1 ) \begin{pmatrix} x'\\ y'\\ z'\\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & b & c & t_x\\ d & e & f & t_y\\ g & h & i & t_z\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x\\ y\\ z\\ 1 \end{pmatrix} x′y′z′1 = adg0beh0cfi0txtytz1 ⋅ xyz1 线性变换在前，平移变换在后（同2D变换）
- 缩放 S ( s x , s y , s z ) = ( s x 0 0 0 0 s y 0 0 0 0 s z 0 0 0 0 1 ) \mathbf{S}(s_x, s_y, s_z) = \begin{pmatrix} s_x & 0 & 0 & 0\\ 0 & s_y & 0 & 0\\ 0 & 0 & s_z & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} S(sx,sy,sz)= sx0000sy0000sz00001
- 平移 T ( s x , s y , s z ) = ( 1 0 0 t x 0 1 0 t y 0 0 1 t z 0 0 0 1 ) \mathbf{T}(s_x, s_y, s_z) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & t_x\\ 0 & 1 & 0 & t_y\\ 0 & 0 & 1 & t_z\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} T(sx,sy,sz)= 100001000010txtytz1
- 绕轴旋转 R x ( θ ) = ( 1 0 0 0 0 cos θ − sin θ 0 0 sin θ cos θ 0 0 0 0 1 ) ,右手螺旋法则y-z-x \mathbf{R}_x(\theta) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & \cos\theta & -\sin\theta & 0\\ 0 & \sin\theta & \cos\theta & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\text{ ,右手螺旋法则y-z-x} Rx(θ)= 10000cosθsinθ00−sinθcosθ00001 ,右手螺旋法则y-z-x R y ( θ ) = ( cos θ 0 sin θ 0 0 1 0 0 − sin θ 0 cos θ 0 0 0 0 1 ) ,右手螺旋法则z-x-y \mathbf{R}_y(\theta) = \begin{pmatrix} \cos\theta & 0 & \sin\theta & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ -\sin\theta & 0 & \cos\theta & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\text{ ,右手螺旋法则z-x-y} Ry(θ)= cosθ0−sinθ00100sinθ0cosθ00001 ,右手螺旋法则z-x-y R y ( θ ) = ( cos θ − sin θ 0 0 sin θ cos θ 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ) ,右手螺旋法则x-y-z \mathbf{R}_y(\theta) = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta & 0 & 0\\ \sin\theta & \cos\theta & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\text{ ,右手螺旋法则x-y-z} Ry(θ)= cosθsinθ00−sinθcosθ0000100001 ,右手螺旋法则x-y-z
- 任意的3D旋转都可以转化为 R x 、 R y 、 R z R_x、R_y、R_z Rx、Ry、Rz R x y z ( α , β , γ ) = R x ( α ) R y ( β ) R z ( γ ) \mathbf{R}_{xyz}(\alpha,\beta,\gamma) = \mathbf{R}_{x}(\alpha) \mathbf{R}_{y}(\beta) \mathbf{R}_{z}(\gamma) Rxyz(α,β,γ)=Rx(α)Ry(β)Rz(γ)
- 齐次坐标并不适合做插值，而四元数适合
- Rodrigues’ Rotation Formula（罗德里格斯旋转公式 ）推导过程
视图变换
摄像机位置-what
-
定义摄像机位置
-
总是要将摄像机移动到原点，Y轴为向上，朝-Z观看
-
物体随着摄像机旋转
怎么旋转-how
怎么旋转-do
- 先平移到原点，写平移矩阵坐标 − e ⃗ -\vec{e} −e
- 写旋转矩阵
- 直接写旋转矩阵不好写，可以先写逆矩阵
- 逆矩阵转置就是旋转矩阵（旋转矩阵为正交矩阵，旋转矩阵的逆矩阵就是转置矩阵）
视图变换矩阵*
投影变换（3D→2D）
- 正交投影
- 透视投影
正交投影
- 将摄像机变换到原点，Y轴朝上，观测方向为-Z
- 去除Z坐标
- 将结果缩放到[-1, 1]中
正交投影矩阵*
透视投影
waht
- 近大远小
- 齐次坐标中，
(
x
,
y
,
z
,
1
)
(x, y, z, 1)
(x,y,z,1) ，
(
k
x
,
k
y
,
k
z
,
k
!
=
0
)
(kx, ky, kz, k != 0)
(kx,ky,kz,k!=0)，
(
x
z
,
y
z
,
z
2
,
z
!
=
0
)
(xz, yz, z^2, z != 0)
(xz,yz,z2,z!=0)都代表了相同的点
(
x
,
y
,
z
)
(x, y, z)
(x,y,z)
- ( 1 , 0 , 0 , 1 ) (1, 0, 0, 1) (1,0,0,1)与 ( 2 , 0 , 0 , 2 ) (2, 0, 0, 2) (2,0,0,2)都是同一个点
how
- 先做透视投影到正交投影
- 将透视Frustum（锥台）挤压为长方体
- 然后再做透视投影
透视投影矩阵*
[ n 0 0 0 0 n 0 0 0 0 n + f − n f 0 0 1 0 ] \begin{bmatrix} n & 0 & 0 & 0 \\ 0 & n & 0 & 0 \\ 0 & 0 & n+f & -nf \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ \end{bmatrix} n0000n0000n+f100−nf0