离散函数

什么是离散函数？我们来看几个例子:

这是 f(x) = sin x + sin {x \2}的函数图像。它的定义域是 R，是连续的。

再看下图这是 f(x) = sin x + sin {x \ 2} 当 x 是 1\2 的整数倍时的图像。是离散的。这样

如果再苛刻一点，定义域是自然数集，值域是实数域，那么这样的函数就是离散数值函数

差分和二阶差分

差分就是相邻两个离散值的差。以函数 f(x) = x^2, x ∈Z为例

对于 x = 1，我们可以知道：

f(1) = 1 \f(1 + 1) = 4

那么差分

Delta f(1) = f(1+1) - f(1) = 4 - 1 = 3
内容补充
这样用x+1和 x作差的差分，称为向前差分，记号是Delta。另有：

f(x_i) - f(x_i - h)：向后差分，记作 nabla

f(x_i + h) - f(x_i - h) ：中心差分。

如果进行一次泰勒展开，还能得到一阶微分的中心差商，可用于更高精度要求。有兴趣的可以自行了解。
x f(x) Delta f(x)
1 1 3
2 4 5
3 9 7
4 16 9
你会发现执行一次差分之后，差分值为等差数列。实际上运用这个特点可以让电路进行求导等数学操作，神奇吧？
我们对Delta f(x)也执行差分，也就是差分的差分，称为二阶差分。
x f(x) Delta f(x) Delta ^2f(x)
1 1 3 2
2 4 5 2
3 9 7 2
二阶差分之后，我们得到了常数列。可以发现差分的作用和求导是十分类似的。

偏导数的差分形式

拉普拉斯滤波

差分和导数类似，可以反映变化的快慢。对灰度不同的两个像素进行差分，得到的值就是两个像素的过渡急缓。而过度急剧的地方，往往就是图像中物体的边缘，因此我们认为：一阶差分可以检测边缘存在的可能性。这是一阶差分在这里的实际意义。

那么如果是二阶差分呢？在物理学中，对于位移$\vec{x}$和时间$t$，一阶导数表示速度，二阶差分表示速度的导数加速度。同样的，在图像处理上，一阶差分表示相邻像素的过渡急缓，二阶差分就表示这种过度急缓的变化强弱，可能你还是不明白，没关系，我们会在下面进一步解释。

如果一阶差分就能检测边缘，我们为什么还要二阶差分呢？

我们看下面的图：

这是一张从白到黑均匀渐变的图案，如果交给一阶差分来从上往下分析，会发现差分值一直都存在。于是一阶差分滤波器告诉你：这里全是边缘。但是这和我们的常识是不符的，因为虽然灰度变化了，但是变化的趋势却是均匀的。那么怎么样才能正确判断这是不是边缘呢？聪明的你应该想到了，用二阶差分来看，差分值一直是 0，说明变化是十分均匀的，说明边缘并不存在。因此，二阶差分才是真能确定边缘的存在性。