一、k级行列式因子

在A(λ)特征矩阵中所有非0的k级子式首项系数为1的最大公因式Dk(λ)称为A(λ)的一个k级行列式因子；

举个例子：在这里我们设A(λ)为

对于1问：1级非0子式为（λ+1，λ-1，λ-2），这三个多项式的最大公因式为1，所以D1(λ)=1；

2级非0子式为（(λ+1)(λ-1)，(λ+1)(λ-2)，(λ-1)(λ-2)），这三个多项式的最大公因式为1，所以D2(λ)=1；

3级非0子式只有一个(λ+1)(λ-1)(λ-2)，所以此多项式的最大公因式就为其本身，D3(λ)=(λ+1)(λ-1)(λ-2)；

对于2问：1级非0子式为（1，λ-a）,D1(λ)=1；（非0常数c与任意多项式的最大公因式为1）

因为存在一个为非0常数的行列式，所以当k<=n-1时，Dk(λ)=1;

n级非0子式为(λ-a)^n，Dn(λ)=(λ-a)^n；（常数0与任意多项式的最大公因式就是此多项式）

二、不变因子

令d1(λ)=D1(λ)，dk(λ)=Dk(λ) / Dk-1(λ)  (k>1时)，则此组多项式称为A(λ)的不变因子；

接上问，1问题的不变因子为：1，1，(λ+1)(λ-1)(λ-2)；

2问题的不变因子为：当k!=n时 为 1，当k=n时为(λ-a)^n；（不变因子未必与k级行列式因子相同）

三、初级因子

在已经求得不变因子的情况下，将每个次数大于0的不变因子分解为互不相同的一次因式方幂的乘积，这些一次因式的方幂

称为A(λ)的初级因子（即将不变因子分解后的各个子因式称为初级因子）

接上问，1问中的初级因子为（λ+1，λ-1，λ-2）；2问中的初级因子为(λ-a)^n；

四、约当块&约当矩阵的构成

在已经知道初级因子的情况下，设每个初级因子的形式为(λ-λi)^ki，则由这个初级因子可以确定一个ki*ki的方阵，其对角元素

全部为λi，与对角元同列的下一行元素全部为1，这样的矩阵称为一个约当块。吧所有的这些约当块按照次序堆叠而成的矩阵

称为约当矩阵（约当块按照对角元素进行堆叠）。

对于任意一个矩阵A都能唯一确定一个约当矩阵J（J的堆叠次序不考虑），特殊的当ki都为1时J为对角阵；

定理：每一个n阶复数矩阵都能与一个约当矩阵相似；

六、多项式矩阵与史密斯标准型

多项式矩阵A(λ)=λE-A，称为A的特征矩阵；

特征矩阵的初等变换：（三条）

1）互换A(λ)矩阵的某行(列)；（限制行列之间的交换）

2）以非0数乘以A(λ)的某行(列)；（限制以一个数来扩大行列）

3）以一个多项式乘以A(λ)的某行(列)加到另一行(列)上；（限制以多项式乘以行列）

A(λ)经过初等变换后得到B(λ)，则A(λ)与B(λ)等价，多项式矩阵等价满足一下性质：自反，对称，传递；

史密斯标准型：对角元素di(λ)，且满足 di(λ) | di+1(λ)；（除了对角元素为多项式形式其余元素均为0）

化为史密斯标准型的特征矩阵其对角元素为A(λ)的不变因子；

综上所述，三种因子的关系为 k级行列式因子——不变因子——初级因子（可通过初等变换直接求解不变因子）进而构造出

与A相似的约当矩阵J；

定理：两特征矩阵等价的充要条件为有相同的行列式因子或者不变因子；

七、哈密顿-开莱定理

定理：每一个n阶矩阵A都是它特征多项式的根，即A^n+a1A^n-1+.....+an-1A+anE=0；

这里f(λ)=|λE-A|=λ^n+a1λ^n-1+.....+an-1λ+an，当λ=A时f(A)=0；（此定理可以将高阶多项式问题转化为低阶多项式问题）

零化多项式：A为一个方阵，如果有ψ(A)=0，则称ψ(λ)为矩阵A的零化多项式，显然任何矩阵都有零化多项式，其特征多项式

就是一个，但零化多项式并不唯一。在众多零化多项式中，首项系数为1的次数最小的多项式为最小多项式，任何零化多项式

都能被最小多项式整除（即 最小多项式 | 零化多项式），且最小多项式是唯一的；

对于最小多项式的求解就是得证矩阵A(λ)的第n个不变因子（史密斯标准型的第n个对角元）