电路元件和电路定律

电路和电路模型

1.几个基本概念
（1）电路模型：由理想元件及其组合代表实际电路元件，与实际电路具有基本相同的电磁性质。
（2）理想电路元件：有某种确定的电磁性能的理想元件，其u，i关系可用简单的数学式子严格表示。
电路理论研究的对象是实际电路的理想化模型，它是由理想电路元件组成。
（3）集总参数元件：在任何时刻，流入二端元件的一个端子的电流一定等于从另一个端子流出的电流，两个端子之间的电压为单值量。
（4）集总参数电路：由集总参数元件构成的电路。
2.几种基本的电路元件
（1）电阻元件：表示将电能转换成热能的元件；
（2）电感元件：表示产生磁场，存储磁场能量的元件；
（3）电容元件：表示产生电场，存储电场能量的元件；
（4）电源元件：表示各种其它形式的能量转化为电能的元件。

电流和电压的参考方向

1.电流的参考方向
（1）电流：带电粒子有规则的定向移动。
（2）电流强度：单位时间内通过导体横截面的电荷量。
（3）方向：规定正电荷的移动方向为电流的实际方向。
（4）参考方向：任意假定一个正电荷运动的方向即为参考方向。
2.电压的参考方向
（1）电位：电路中为分析方便，常在电路中选某一点为参考点，把任一点到参考点的电压称为该点的电位。
（2）电压U：电场中某两点A、B的电压（降）U_AB等于将点电荷q从A点移至B点电场力所做的功W_AB与该电荷量q的比值。
（3）方向：实际电压方向为电位真正降低的方向。
（4）参考方向：假设的电压降低的方向。
（5）电路理论中涉及的电流或电压都是对应于假设的参考方向的代数量。
（6）关联参考方向：当一个元件或一段电路上的电流和电压参考方向一致时，称为关联参考方向。

电路元件的功率、元件

1.电路元件的功率
（1）电功率：单位时间内电场力所做的功。p=ui。
u、i方向一致：p—元件吸收的功率；
u、i方向不一致：p—元件发出的功率。
2.电阻元件
（1）欧姆定律：u=Ri
（2）电导：G=1/R
（3）功率P=ui=i²R=u²/R
3.独立电源元件
（1）理想电压源：其两端电压总能保持定值或一定的时间函数，其值与流过它的电流i无关的元件叫理想电压源。电压源的功率：P=u_Si。
（2）实际电压源：考虑内阻（与一个电阻串联）
（3）理想电流源：其输出电流总能保持一定的时间函数，其值与两端的电压u无关的元件。电流源的功率：P=ui_s。
注：电压源不能短路，电流源不能开路。
（4）实际电流源：考虑内阻（与一个电阻并联）
4.受控电源
（1）受控电源：电压或电流的大小不是固定的，而是受电路中某个地方的电压（或电流）控制的电源。
（2）CCCS：电流控制的电流源
CCVS：电流控制的电压源
VCCS：电压控制的电流源
VCVS：电压控制的电压源
（3）受控源与独立源比较
独立源电压（或电流）由电源本身决定，受控源电压（或电流）直接由控制量决定。独立源在电路中起“激励”作用，在电路中产生电压、电流，而受控源只是反应输出端与输入端的受控关系，在电路中不能作为“激励”。

基尔霍夫定律

1基尔霍夫电流定律（KCL）：在集总参数电路中，任何时刻，与任一节点相连的所有支路电流的代数和等于零，其中流出结点的电流取正号，流入结点的电流取负号。
A：KCL可推广应用于电路中包围多个结点的任一闭合面；
B：KCL是电荷守恒和电流连续性原理在电路中任意结点处的反映；
C：KCL是对支路电流加的约束，与支路上接的是什么元件无关，与电路是线性还是非线性无关；
D：KCL方程是按电流参考方向列写，与电流实际方向无关。
2.基尔霍夫电压定律（KVL）：在集总参数电路中，任一时刻，沿任一闭合路径绕行，各支路电压的代数和为零。
注：A：KCL是对支路电流的线性约束，KVL是对回路电压的线性约束；
B：KCL表明在每一个结点上电荷是守恒的；KVL是能量守恒的具体表现（电压与路径无关）。
C：KCL和KVL只适用于集总参数电路。

电阻电路的等效变换

电路的等效变换

1.一端口电路（网络）
任何一个复杂的电路，向外引出两个端钮，且从一个端子流入的电流等于从另一个端子流出的电流，则称这一电路为一端口网络。
2.一端口电路等效
两个一端口电路，端口具有相同的电压、电流关系，则称它们是等效的电路。
3.等效变换的目的：简化电路，方便计算。

电路的串联、并联和串并联

求解串、并联电路的一般步骤：
（1）求出等效电阻或等效电导；
（2）应用欧姆定律求出总电压或总电流；
（3）应用欧姆定律或分压、分流公式求各电阻上的电流和电压。

电阻的星形连接与三角形连接

1.电阻的△，Y连接
2.△—Y变换的等效条件

电压源和电流源的串联和并联

1.理想电压源的串联

2.理想电压源的并联
只有电压相等、极性一致的电压源才能并联，且u_s=u_s1=u_s2
3.理想电流源的串联
只有电流相等、流向一致的电流源才能串联，且i_s=i_s1=i_s2
4.理想电流源的并联
注：电压源和电流源串联—电流源；电压源和电流源并联—电压源。

电压源和电流源的等效变换

（1）电流源电流方向与电压源电压方向相反。
（2）等效是对外部电路等效，对内部电路是不等效的。
（3）理想电压源与理想电流源不能等效互换。

输入电阻

1.定义
2.计算方法
（1）端口内部仅含电阻—电阻的串并联和△-Y变换等方法求它的等效电阻。
（2）含有受控源和电阻—电压电流法求输入电阻，即在端口加电压源，求得电流，或在端口加电流源，求得电压，得其比值。
（3）有源网络先把独立源置零：电压源短路，电流源断路。

电阻电路的一般分析

电路的图

1.结点数：n；支路数：b;
2.连通图
3.子图
4.回路
5.树
特点：连通；包含所有结点；不含闭合路径；对应的一个图有很多树;
树支的数目：n_t=n-1；
连支数：l=b-n_t=b-(n-1)；
支路数=树支数+连支数=结点数-1+基本回路数------b=n+l-1；
6.网孔

KCL和KVL的独立方程数

1.KCL的独立方程数
n个结点的电路，独立的KCL方程为n-1个。
2.KVL的独立方程数
KVL的独立方程数=基本回路数=b-(n-1)；
结论：n个结点、b条支路的电路，独立的KCL和KVL方程数为：（n-1）+b-（n-1）=b。

支路电流法

1.支路电流法：以各支路电流为未知量列写电路方程分析电路的方法。
对于n个结点，b条支路的电路，要求解支路电流，未知量共有b个。只要列出b个独立的电路方程，便可以求解这b个变量。
2.支路电流法的一般步骤
（1）标定各支路电流（电压）的参考方向；
（2）从电路的n个结点中任意选择n-1个结点列写KCL方程；
（3）选择基本回路列写b-（n-1）个KVL方程；
（4）求解上述方程，得到b个支路电流；
（5）进一步计算支路电压和进行其他分析。
3.支路电流法的特点
支路法列写的是KCL和KVL方程，所以方程列写方便、直观，但方程数较多，宜于在支路数不多的情况下使用。
4.有受控源的电路，方程列写分两步：
（1）先将受控源看做独立电源列方程；
（2）将控制量用未知量表示，并代入（1）中所列的方程，消去中间变量。

回路电流法

1.回路电流法：以基本回路中的回路电流为未知量列写电路方程分析电路的方法。当取网孔电流为未知量时，称网孔法。
2.回路电流法的一般步骤
（1）选定l=b-(n-1)个独立回路，并确定其绕行方向；
（2）对l个独立回路，以回路电流为未知量，列写其KVL方程；
（3）求解上述方程，得到l个回路电流；
（4）求各支路电流（用回路电流表示）；
（5）其他分析。
3.理想电流源支路的处理
（1）引入电流源电压，增加回路电流和电流源电流的关系方程。
（2）选取独立回路，使理想电流源支路仅仅属于一个回路，该回路电流即i_s；
（3）与电阻并联的电流源，可做电源的等效变换。
4.受控电源支路的处理
对含有受控电源支路的电路，可先把受控源看做独立电源按上述方法进行列方程，再将控制量用回路电流表示。

结点电压法

1.结点电压法：以结点电压为未知量列写电路方程分析电路的方法。适用于结点较少的电路。
2.结点电压法一般步骤
（1）选定参考结点，标定n-1个独立结点；
（2）对n-1个独立结点，以结点电压为未知量，列写其KCL方程；
（3）求解上述方程，得n-1个结点电压；
（4）求各支路电流（用结点电压表示）；
（5）其他分析。
3.无伴电压源支路的处理
选择合适的参考点
4.受控电源支路的处理
对含有受控电源支路的电路，可先把受控源看作独立电源，按上述方法列方程，再将控制量用结点电压表示。

电路定理

叠加定理

1.内容：在线性电路中，任一支路的电流（或电压）可以看成是电路中每一个独立电源单独作用于电路时，在该支路产生的电流（或电压）的代数和。
2.几点说明
（1）叠加定理只适用于线性电路；
（2）一个电源作用，其余电源为零：电压源为零----短路；电流源为零----开路。
（3）功率不能叠加（功率为电压和电流的乘积，为电源的二次函数）。
（4）叠加时要注意各参考量的方向。
（5）含受控源（线性）电路亦可叠加，但叠加只适用于独立源，受控源应始终保留。
（6）叠加方式是任意的，可以一次一个独立源单独使用，也可以一次几个独立源同时使用，取决于使分析计算简便。
3.齐性原理
线性电路中，所有激励（独立源）都增大（或减小）同样的倍数，则电路中响应（电压或电流）也增大（或减小）同样的倍数。当激励只有一个时，则响应与激励成正比。

替代定理

内容：对于给定的任意一个电路，若某一支路电压为U_k、电流为i_k，那么这条之路就可以用一个电压等于U_k的独立电压源，或者用一个电流等于i_k的独立电流源来代替，替代后电路中全部电压和电流均保持原值。

戴维宁定理

1.内容：任何一个线性含源一端口网络，对外电路来说，总可以用一个电压源和电阻的串联组合来等效置换；此电压源的电压等于外电路断开时端口处的开路电压u_oc，而电阻等效于一端口的输入电阻（或等效电阻R_eq）。
2.定理的应用
（1）开路电压U_oc的计算
（2）等效电阻的计算
等效电阻：将一端口网络内部独立电源全部置零（电压源短路，电流源开路）后，所得无源一端口网络的输入电阻。
计算方法：
A：当网络内部不含有受控源时可采用电阻串并联和△-Y互换的方法计算等效电阻；
B：外加电源法（加压求流或加流求压）；
C：开路电压，短路电流法。
3.注意
（1）外电路可以是任意的线性或非线性电路，外电路发生改变时，含源一端口网络的等效电阻不变（伏-安特性等效）。
（2）当一端口内部含有受控源时，控制电路与受控源必须包含在被简化的同一部分电路中。

诺顿定理

1.内容：任何一个含源线性一端口电路，对外电路来说，可以用一个电流源和电导（电阻）的并联组合来等效置换；电流源的电流等于一端口的短路电流，而电导（电阻）等于把该一端口的全部独立源置零后的输入电导（电阻）。

特勒根定理

1.特勒根第一定理（功率守恒定理）：对于n个结点，b条支路的集总参数网络，设支路电压为u_k，支路电流为i_k，各支k=1,2…，b路电压和电流取关联参考方向，在任一时刻t，有从 ${\sum }_{k-1}^b$$u_k{i}_k=0$。
2.特勒根第二定理（似功率守恒定理）：两个具有相同有向线图的$n$个结点，$b$条支路的集总参数网络N和N’，设支路电压分别为$u_k$和$u_k^{\prime }$，支路电流分别为$i_k$和$i_k^{\prime }$，$k=1,2,...,b$，各支路电压和电流取关联方向，在任一时刻$t$，有${\sum }_{k-1}^b{u}_k{i}_k=0$和${\sum }_{k-1}^b{u}_k{i}_k^{\prime }=0$。
注意：证明特勒根定理只用到了KCL和KVL，所以适用于任意集总参数电路；定理在实际应用中，注意各支路电压和电流取关联参考方向。

互易定理

1.内容：一个仅由线性电阻组成的无独立源无受控源二端口网络，在单一激励的情况下，激励与响应互换位置，其比值保持不变。
2.形式：
（1）一个仅由线性电阻组成的无独立源无受控源二端口网络，一端口电压源与另一端口响应电流互换位置，其响应电流不变；
（2）一个仅由线性电阻组成的无独立源无受控源二端口网络，一端口电流源与另一端口响应电压互换位置，其响应电压不变；
（3）一个仅由线性电阻组成的无独立源无受控源二端口网络，一端口电压源与另一端口响应电压，若换成数值相同的电流源与响应电流，其响应电流在数值上与原响应电压相等。
3.注意：
（1）只能用于一个仅有线性电阻组成的无独立源无受控源二端口网络，单一激励的情况。
（2）特勒根定理可以证明互易定理成立，对于互易定理的前两种形式，互易前后激励响应参考方向一致（都相同或者都相反）；互易定理的第三种形式则不然，参考方向一边相同另一边相反。

最大功率传输定理

1.内容：一个含源线性一端口电路，当所接负载不同时，一端口电路传输给负载的功率就不同，讨论负载为何值时能从电路获取最大功率，及最大功率的值是多少的问题是由工程意义的。
2.注意：
（1）最大功率传输定理用于一端口电路给定，负载电阻可调的情况；
（2）计算最大功率问题结合应用戴维宁定理或诺顿定理最方便。

含运算放大器的电阻电路

运算放大器的电路模型

1.电路符号
其中参考方向如图所示，每一点均为对地的电压，在接地端未画出时尤为注意。
2.运算放大器的静特性
3.电路模型
4.理想运算放大器

含有理想运算放大器的电路分析

遵循两条规则：
（1）同相输入端和反向输入端电位相同；
（2）同相输入端和反向输入端的输入电流均为零。
1.反向比例器
注意：当R₁和R_f确定后，为使u_o不超过饱和电压（即保证工作在线性区），对u_i有一定的限制。
2.加法器
3.正向比例器
4.电压跟随器
应用：在电路中起隔离前后两级电路的作用。

5.减法运算

6.积分运算

7.微分运算

三相电路

三相电路是由三个频率相同、振幅相同、相位彼此差120^○的正弦电动势作为供电电源的电路。
三相电路的优点：
（1）发电方面：比单向电源可提高功率50％；
（2）输电方面：比单向输电节省钢材25％；
（3）配电方面：三相变压器比单向变压器经济且便于接入负载；
（4）运电设备：具有结构简单、成本低、运行可靠、维护方便等优点。

三相电压

1.三相电压的产生
（1）三相电压瞬时表达式

（2）三相电压相量表示

（3）波形图

（4）相量图

（5）三相正弦交流电压特征：最大值相等、频率相同、相位互差120^○。（对称三相电压）
（6）对称三相电源特点：对称三相电压的瞬时值之和为零。
2.三相电源的星形联结
（1）联结方式
相电压：端线与中性线间（发电机每相绕组）的电压—U₁、U₂、U₃—U_P
线电压：端线与端线间的电压：U₁₂、U₂₃、U₃₁—U_L
（2）线电压与相电压的关系
3.三相电源的三角形联结
（1）联结方式：三个绕组始末端顺序相接
三角形联结的对称三相电源没有中性点。

负载星型联结的三相电路

1.三相负载
2.负载星形联结的三相电路
（1）联结形式
相电流：流过每根负载的电流；
线电流：流过端线的电流。
结论：负载Y联结时，线电流=相电流；负载端的线电压=电源线电压；负载的相电压=电源相电压；中线电流=三相电流之和。

（2）结论：不对称负载Y型联结又未接中性线时，负载相电压不再对称，且负载电阻越大，负载承受的电压越高；中线的作用：保证星形联结三相不对称负载的相电压对称；照明负载三相不对称，必须采用三相四线制供电方式，且中性线（指干线）内不允许接熔断器或刀闸开关。

负载三角形联结的三相电路

1.联结形式
相电压=线电压；线电流=$\sqrt{3}$相电流，且落后于相电流30°。
3.三相负载的联结原则：
应使加于每相负载上的电压等于其额定电压，而与电源的联结方式无关。
（1）负载的额定电压=电源的线电压----应作△联结；
（2）负载的额定电压=$\frac{1}{\sqrt{3}}$电源线电压----应作Y联结。

三相功率

无论负载为△或Y联结，每相有功功率都应为$P_P=U_P{I}_{P}cos{\varphi }_P$。

储能元件

电容元件

1.电容的作用
旁路、去耦、滤波、储能
旁路：使输入电压平均化，减小噪声对后级的影响；进行储能，当外界信号变化过快时，及时进行电压的补偿
去耦：滤除干扰信号，旁路电容–输入信号；去耦电容–输出信号
滤波：滤除杂波，大电容滤低频，小电容，滤高频
储能：收集电荷

电感元件

1.线性定常电感元件
任何时刻，通过电感元件的电流$i$与磁链$\Psi$成正比。$\Psi i$特性是过原点的直线
$\Psi (t)=Li(t)$

单位：$L$:H（亨）
2.线性电感的电压、电流关系
$u(t)=\frac{\mathrm{d}\Psi }{\mathrm{d}t}=L\frac{\mathrm{d}i(t)}{\mathrm{d}t}$

（1）电感电压$u$的大小取决于$i$的变化率，与$i$的大小无关，电感是动态元件；
（2）当$i$为常数（直流）时，$u=0$，电感相当于短路；
（3）实际电路中电感的电压$u$为有限值，则电感电流$i$不能跃变，必定是时间的连续函数。
（4）电感元件有记忆电压作用，故称电感为记忆元件。
3.电感的功率
$p=ui=L\frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}\cdot i$
电感能在一段时间内吸收外部供给的能量转化为磁场能量储存起来，在另一段时间内又把能量释放回电路，因此电感元件是无源元件，它本身不消耗能量。
4.电感的储能
（1）电感的储能只与当时的电流有关，电感电流不能跃变，反映了储能不能跃变；
（2）电感储存的能量一定大于或等于零。

电容、电感元件的串联与并联

1.电容的串联
电容的串联—电阻的并联

$C=\frac{C_1{C}_2}{C_1+C_2}$
2.电容的并联
电容的并联—电阻的串联
$C=C_1+C_2$
3.电感的串联—电阻的串联
$L=L_1+L_2$
4.电感的并联—电阻的并联
$L=\frac{L_1{L}_2}{L_1+L_2}$

一阶和二阶电路的时域分析

动态电路方程及其初始条件

1.动态电路
（1）定义：含有动态元件电容和电感的电路称为动态电路。
（2）特点：当动态电路状态发生改变时需要经历一个变化过程才能达到新的稳定状态。这个变化过程称为电路的过渡过程。
（3）过渡过程产生的原因：电路中含有储量元件（内因）；电路结构或电路参数发生变化（外因）。
2.动态电路的方程
（1）一阶电路：含有一个动态元件
$u_s(t)=RC\frac{\mathrm{d}{u}_c}{\mathrm{d}t}$
$u_s(t)=Ri+L\frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}$
（2）二阶电路：含有两个动态元件。

$u_s(t)=LC\frac{{\mathrm{d}}^2{u}_c}{\mathrm{d}t}+RC\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}+u_c$
动态电路方程的阶数=电路中动态元件的个数。
（3）动态电路的分析方法
根据KVL、KCL和VCR建立微分方程；求解微分方程。
3.电路的初始条件
（1）$t=0^{+}$、$t=0^{-}$
认为换路在t=0时刻进行，$t=0^{-}$为换路前一瞬间；$t=0^{+}$为换路后一瞬间。初始条件为$t=0^{+}$时$u,i$及各阶导数的值。
（2）电容的初始条件
$u_c(0^{+})=u_c(0^{-})$ → $q(0^{+})=q(0^{-})$
（3）电感的初始条件
$i_L(0^{+})=i_L(0^{-})$→${\Psi }_L(0+)={\Psi }_L(0^{-})$
（4）换路定律
换路瞬间，若电容电流保持为有限值，则电容电压（电荷）换路前后保持不变。
换路瞬间，若电感电压保持为有限值，则电感电流（磁链）换路前后保持不变。
注：电容电流和电感电压为有限值是换路定律成立的条件；换路定律反映了能量不能跃变。
4.求初始值的步骤：
（1）$u_c(0_{+})、i_L(0_{+})$的求法
先由$t=0_{-}$的电路求出$u_c(0_{-})、i_L(0_{-})$；根据换路定律求出$u_c(0_{+})、i_L(0_{+})$。
（2）其它电量初始值的求法
先由$t=0_{-}$的电路求出$u_c(0_{-})、i_L(0_{-})$；根据换路定律求出$u_c(0_{+})、i_L(0_{+})$；画$0^{+}$等效电路（电容用电压为$u_c(0^{+})$的电压源替代；电感用电流为$i_L(0^{+})的电流源替代$）；由$0^{+}$电路求所需各变量的$0^{+}$的值。

一阶电路的零输入响应

零输入响应：换路后外加激励为零，仅由动态元件初始储能所产生的电压和电流。
1.RC电路的零输入响应
$u_c=U_0{e}^{-\frac{t}{RC}}$ ， $t>=0$
$i=\frac{u_C}{R}=\frac{U_0}{R}{e}^{-\frac{t}{RC}}$
电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数，衰减的快慢与RC有关，令$\tau =RC$，称$\tau$为一阶电路的时间常数。时间常数大，过渡时间长，时间常数小，过度时间短。
2.RL电路的零输入响应
$i_L(t)=I_0{e}^{-\frac{t}{L/R}}$
$u_L(t)=L\frac{\mathrm{d}{i}_L}{\mathrm{d}t}=-R{I}_0{e}^{-\frac{t}{L/R}}$
电压电流是随时间按同一指数规律衰减的函数，衰减快慢与$L/R$有关，令$\tau =L/R$，称$\tau$为一阶RL电路的时间常数。时间常数大，过渡时间长，时间常数小，过度时间短。

一阶电路的零状态响应

零状态响应：动态元件初始能量为零，由t>0电路中外加输入激励作用产生的响应
1.RC电路的零状态响应
$u_c=U_S(1-e^{-\frac{t}{RC}})$，(t>=0)
$i=C\frac{\mathrm{d}{u}_c}{\mathrm{d}t}=\frac{U_s}{R}{e}^{-\frac{t}{RC}}$
（1）电压电流是随时间同一指数规律变化的函数，电容电压由两部分组成：稳态分量+暂态分量
（2）相应变化的快慢由时间常数$\tau =RC$决定，$\tau$越大，充电慢，$\tau$越小，充电快。
2.RL电路的零状态响应
$i_L=\frac{U_S}{R}(1-e^{-\frac{R}{L}t})$
$u_L=L\frac{\mathrm{d}{i}_L}{\mathrm{d}t}=U_S{e}^{-\frac{R}{L}t}$

一阶电路的全响应

全响应：电路的初始状态不为零，同时又有外加激励源作用时电路中产生的响应。
（1）着眼于电路的两种工作状态
全响应=强制分量（稳态解）+自由分量（暂态解）
（2）着眼于因果关系
全响应=零状态响应+零输入响应

三要素法分析一阶电路

$f(t)=f(\infty )+[f(0^{+})-f(\infty ){|}_{0^{+}}]e^{-\frac{t}{\tau }}$
三要素：稳态解、初值、时间常数
1.稳态值的计算
求换路后电路中的电压和电流，其中电容C视为开路，电感L视为短路，即求解直流电阻性电路中的电压和电流。
2.初始值的计算
（1）先由$t=0_{-}$的电路求出$u_c(0_{-})、i_L(0_{-})$；
（2）根据换路定律求出$u_c(0_{+})、i_L(0_{+})$；
（3）画$0^{+}$等效电路（电容用电压为$u_c(0^{+})$的电压源替代；
（4）电感用电流为$i_L(0^{+})的电流源替代$）；
（5）由$0^{+}$电路求所需各变量的$0^{+}$的值。
3.时间常数的计算
$\tau =R_{0}C$

二阶电路的零输入响应

二阶电路的零状态响应和全响应

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