目的

• 对原变量加以“改造”，在不致损失原变量太多信息的条件下尽可能地降低变量地维数，即用较少的“新变量”代替原来地各变量。
• 通过变换：用低维（主成分）近似高维（较全面）信息。

思想

• 若有二维数据分布如上图所示，↗方向的数据分布最离散，方差最大，包含的信息最多，作为第一主成分；↖方向与第一主成分的方向是正交（信息不重叠）的，且在所有与第一主成分正交的方向中，它是最离散，方差最大的，作为第二主成分。
• 注意：上述表达只是为了方便理解主成分分析的思想，用语不是很严谨。

1. 设$X=(X_1,X_2,...,X_p{)}^T$，协方差为

$$Cov(X)=\Sigma =({\sigma }_{ij}{)}_{p\times p}=E[(X-E(X))(X-E(X){)}^T]$$

2. 作

$$Y_1=a_1^{T}X=a_{11}{X}_1+a_{12}{X}_2+...+a_{1p}{X}_p$$
$$s.t.\{\begin{array}{l}\max Var(Y_1)=Var(a_1^{T}X)=a_1^T\Sigma a_1(方差最大，信息最多)\\ a_1^T{a}_1=1(长度不变)\end{array}$$
由此得第一主成分。

3. 作

$$Y_2=a_2^{T}X=a_{21}{X}_1+a_{22}{X}_2+...+a_{2p}{X}_p$$
$$s.t.\{\begin{array}{l}\max Var(Y_1)=Var(a_1^{T}X)=a_1^T\Sigma a_1\\ a_1^T{a}_1=1\\ Cov(Y_2,Y_1)=Cov(a_2^{T}X,a_1^{T}X)=a_2^T\Sigma a_1=0(和前面的向量不相关)\end{array}$$
由此得第二主成分。

4. 一般若$Y_1,Y_2,...,Y_{k-1}$还不够，则继续作

$$Y_k=a_2^{T}X=a_{k1}{X}_1+a_{k2}{X}_2+...+a_{kp}{X}_p$$
$$s.t.\{\begin{array}{l}\max Var(Y_1)=Var(a_1^{T}X)=a_1^T\Sigma a_1\\ a_1^T{a}_1=1\\ Cov(Y_k,Y_i)=a_k^T\Sigma a_i=0,i=1,..,k-1(和前面的向量不相关)\end{array}$$
由此得第k主成分。

计算过程

• 具体的证明过程不在此作详细阐述。

主成分回归分析

• 主成分回归分析是为了克服最小二乘法(LS)估计在数据矩阵存在多重共线性时表现出的不稳定性质而提出的
• 主成分回归分析选择其中一部分重要的主成分作为新的自变量，丢弃了一部分影响不大的自变量，实际上达到了降维的目的，然后用最小二乘法对选取主成分后的模型进行参数估计，最后再变换回原来的模型求出参数的估计

案例

1. $x0=(13,4)y0=(12,1)$
2. 标准化$xd=(13,4)yd=(12,1)$
3. 进行主成分，vec2=(4×4)的每一列是特征向量，df=xd*vec2=(13×4)的一行就是一个样本在不同主成分上的得分（也就是原来的xd经过变换得到的新的数据df）
4. 选择三个主成分：

$${\left[\begin{array}{c}{z}_1\\ z_2\\ z_3\end{array}\right]}_{3\times 1}=vec2[:,1:3{]}_{(3\times 4)}^T\ast {\left[\begin{array}{c}{\tilde{x}}_1\\ {\tilde{x}}_2\\ {\tilde{x}}_3\\ {\tilde{x}}_4\end{array}\right]}_{4\times 1}$$
则df的前三列进行回归$\hat{y}=b\_cp{a}_{1\times 3}^T\ast {\left[\begin{array}{c}{z}_1\\ z_2\\ z_3\end{array}\right]}_{3\times 1}$

5. 化成标准化回归即$z\to \tilde{x}$

$$\hat{y}=b\_cp{a}_{(1\times 3)}^T\ast vec2[:,1:3{]}_{(3\times 4)}^T\ast {\left[\begin{array}{c}{\tilde{x}}_1\\ {\tilde{x}}_2\\ {\tilde{x}}_3\\ {\tilde{x}}_4\end{array}\right]}_{4\times 1}=b\_std\_cp{a}_{(1\times 4)}^T\ast {\left[\begin{array}{c}{\tilde{x}}_1\\ {\tilde{x}}_2\\ {\tilde{x}}_3\\ {\tilde{x}}_4\end{array}\right]}_{4\times 1}$$

6. 恢复到原始变量，即$\tilde{x}\to x$

$${\left[\begin{array}{c}{\tilde{x}}_1\\ {\tilde{x}}_2\\ {\tilde{x}}_3\\ {\tilde{x}}_4\end{array}\right]}_{4\times 1}=({\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\\ x_4\end{array}\right]}_{4\times 1}-mean(x0{)}_{(1\times 4)})./std(x0)$$
$$\hat{y}=[y-mean(y0)]./std(y0)$$
$$[y-mean(y0)]./std(y0)=b\_std\_cp{a}_{(1\times 4)}^T\ast ({\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\\ x_4\end{array}\right]}_{4\times 1}-mean(x0{)}_{(1\times 4)})./std(x0)$$
$$\begin{gathered} y=mean(y0)-std(y0)\ast mean(x0)./std(x0)\ast b\_std\_cpa \\ +std(y0)\ast b\_std\_cp{a}^T./std(x0)\ast x \end{gathered}$$

clc,clear
load sn.txt
[m,n]=size(sn);
x0=sn(:,[1:n-1]);
y0=sn(:,n);

r=corrcoef(x0);  %计算相关系数矩阵
xd=zscore(x0);  %对设计矩阵进行标准化处理
yd=zscore(y0);  %对y0进行标准化处理
%% 普通的回归
[b,BINT,R,RINT,STATS] = regress(y0,[ones(m,1),x0],0.05);%b=XY^{-1}
% BINT 回归系数的估计区间
% R 残差
% RINT 置信区间
% STATS 用于检验回归模型的统计量。有4个数值：判定系数r2r2，F统计量观测值，检验的p的值，误差方差的估计
% 越接近1，回归方程越显著；时拒绝，F越大，回归方程越显著；时拒绝
% ALPHA 显著性水平（缺少时默认0.05）
%% 1.主成分回归
[vec1,lamda,rate]=pcacov(r); %vec1为r的特征向量，lamda为r的特征值，rate为各个主成分的贡献率
contr=cumsum(rate); %计算累积贡献率，第i个分量表示前i个主成分的贡献率

%书上这一步不懂为什么要这样干？？？？？希望有人能帮忙解答一下
f=repmat(sign(sum(vec1)),size(vec1,1),1); %构造与vec1同维数的元素为±1的矩阵
vec2=vec1.*f %修改特征向量的正负号，使得特征向量的所有分量和为正

df=xd*vec2;  %计算所有主成分的得分
num=input('请选项主成分的个数:');   %通过累积贡献率交互式选择主成分的个数
b_cpa=df(:,[1:num])\yd;  %主成分变量的回归系数,这里由于数据标准化，回归方程的常数项为0
%% 2.标准化的主成分回归
b_std_cpa=vec2(:,1:num)*b_cpa;  %标准化变量的回归方程系数
%% 3.逆标准化（原始）的主成分回归
b_=[mean(y0)-std(y0)*mean(x0)./std(x0)*b_std_cpa, std(y0)*b_std_cpa'./std(x0)];  %计算原始变量回归方程的系数
%% 下面计算两种回归分析的剩余标准差
rmse1=sqrt(sum((b(1)+x0*b(2:end)-y0).^2)/(m-n));   %拟合了n个参数  rmse1 =  2.4460
rmse2=sqrt(sum((b_(1)+x0*b_(2:end)'-y0).^2)/(m-num)); %拟合了num个参数 rmse2 = 2.2029

主成分分析案例——各地区普通高等教育发展水平综合评价

• 例子是聚类分析里的

clc,clear
load gj.txt   %把原始数据保存在纯文本文件gj.txt中
gj=zscore(gj); %数据标准化
r=corrcoef(gj);  %计算相关系数矩阵
%下面利用相关系数矩阵进行主成分分析，vec1的列为r的特征向量，即主成分的系数
[vec1,lamda,rate]=pcacov(r); %lamda为r的特征值，rate为各个主成分的贡献率
contr=cumsum(rate); %计算累积贡献率
f=repmat(sign(sum(vec1)),size(vec1,1),1);%构造与vec1同维数的元素为±1的矩阵
vec2=vec1.*f;  %修改特征向量的正负号，使得每个特征向量的分量和为正
num=4;  %num为选取的主成分的个数
df=gj*vec2(:,1:num);  %计算各个主成分的得分
tf=df*rate(1:num)/100; %计算综合得分
[stf,ind]=sort(tf,'descend');  %把得分按照从高到低的次序排列
stf=stf'; ind=ind';