萬有的函數關係速成3.導數、微分關係的power - 悦读

萬有的函數關係速成3.導數、微分關係的power

1.求函數極值

定义：

设函数 f(x) 在点 x_0 的某个邻域内有定义，

如果对于该邻域内异于 x_0 的任意一点，都有 f(x)<f(x_0) （或 f(x)>f(x_0) ），

那么就称 f(x_0) 是函数 f(x) 的一个极大值（或极小值）， x_0 称为极大值点（或极小值点）。

极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点。

例题1：

求函数 f(x)=x^3 - 3x 的极值。

对 f(x) 求导得 f'(x)=3x^2 - 3 。

令 f'(x)=0 ，即 3x^2 - 3 = 0 ，解得 $x=\pm1$ 。

当 x<-1 时， f'(x)>0 ，函数单调递增；

当 -1<x<1 时，f'(x)<0，函数单调递减；

当 x>1 时， f'(x)>0 ，函数单调递增。

所以 x=-1 是极大值点，极大值为 $f(-1)=(-1)^3 - 3\times(-1)=2$ ；

x = 1 是极小值点，极小值为 $f(1)=1^3 - 3\times1=-2$ 。

例题2：

求函数 $f(x)=\frac{1}{3}x^3 - x^2 - 3x + 1$ 的极值。

求导得 f'(x)=x^2 - 2x - 3 。

令 f'(x)=0 ，即 $(x - 3)(x + 1)=0$ ，解得 x = 3 或 x=-1 。

当 x<-1 时， f'(x)>0 ，函数单调递增；

当 -1<x<3 时， f'(x)<0 ，函数单调递减；

当 x>3 时， f'(x)>0 ，函数单调递增。

则极大值为 $f(-1)=\frac{1}{3}\times(-1)^3 - (-1)^2 - 3\times(-1)+1=\frac{8}{3}$ ，

极小值为 $f(3)=\frac{1}{3}\times3^3 - 3^2 - 3\times3 + 1=-8$ 。

例题3：

求函数 $f(x)=x^2e^{-x}$ 的极值。

求导，根据乘积求导法则 $(uv)^\prime = u^\prime v + uv^\prime$ ， $f'(x)=2xe^{-x}-x^2e^{-x}=x(2 - x)e^{-x}$ 。

令 f'(x)=0 ，则 $x(2 - x)e^{-x}=0$ ，因为 $e^{-x}>0$ 恒成立，所以 x = 0 或 x = 2 。

当 x<0 时， f'(x)<0 ，函数单调递减；

当 0<x<2 时， f'(x)>0 ，函数单调递增；

当 x>2 时， f'(x)<0 ，函数单调递减。

所以极小值为 f(0)=0 ，极大值为 $f(2)=4e^{-2}$ 。

例题4：

求函数 $f(x)=\ln x - x$ 在

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