綫性與非綫性泛函分析與應用_1.例題(上) - 悦读

綫性與非綫性泛函分析與應用_1.例題(上)

第1章實分析與函數論：快速回顧(上)

一、集合相關例題

例題1：集合運算

已知集合 $A = \{1, 2, 3, 4\}$ ， $B = \{3, 4, 5, 6\}$ ，求 $A\cup B$ ， $A\cap B$ ， A^c

（假設全集 $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$ ）。

解析：

- $A\cup B$ ：由所有屬於或者屬於的元素組成，所以 $A\cup B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ 。

- $A\cap B$ ：由所有既屬於又屬於的元素組成，即 $A\cap B = \{3, 4\}$ 。

- A^c ：由全集中所有不屬於的元素組成，故 $A^c = \{5, 6, 7, 8\}$ 。

例題2：子集關係判斷

判斷集合 $C = \{1, 2\}$ 是否為集合 $A = \{1, 2, 3, 4\}$ 的子集，以及是否為真子集。

解析：

- 對於集合中的每一個元素，都能在集合中找到，所以 $C\subseteq A$ 。

- 又因為集合中存在元素和不在集合C中，即 $C\neq A$ ，所以 $C\subsetneq A$ ，是的真子集。

例題3：等價關係驗證

在整數集 $\mathbb{Z}$ 上定義關係， aRb 當且僅當 a - b 能被整除，驗證是否為等價關係。

解析：

- 自反性：對於任意 $a\in\mathbb{Z}$ ， a - a = 0 ，能被整除，即 aRa ，自反性成立。

- 對稱性：若 aRb ，則 a - b 能被整除，即 a - b = 2k （ $k\in\mathbb{Z}$ ），那麼 b - a = - 2k ，也能被整除，所以 bRa ，對稱性成立。

- 傳遞性：若 aRb 且 bRc ，則 a - b = 2m ， b - c = 2n （ $m,n\in\mathbb{Z}$ ），兩式相加得 $a - c=(a - b)+(b - c)=2(m + n)$ ，能被整除，所以 aRc ，傳遞性成立。

所以是等價關係。

例題4：商集的構造

對於例題3中的等價關係，求 $\mathbb{Z}/R$ 。

解析：

- 等價類 $[0]_R=\{a\in\mathbb{Z}:a - 0$ 能被整除 $\}=\{ \cdots, - 4, - 2, 0, 2, 4, \cdots\}$ ，即所有偶數構成的集合。

- 等價類 $[1]_R=\{a\in\mathbb{Z}:a - 1$ 能被2整除 $\}=\{ \cdots, - 3, - 1, 1, 3, \cdots\}$ ，即所有奇數構成的集合。

所以 $\mathbb{Z}/R=\{[0]_R,[1]_R\}$ 。

例題5：集合包含關係證明

證明若 $A\subseteq B$ 且 $B\subseteq C$ ，則 $A\subseteq C$ 。

解析：

任取 $x\in A$ ，因為 $A\subseteq B$ ，所以由子集的定義可知 $x\in B$ 。

又因為 $B\subseteq C$ ，所以 $x\in C$ 。

即對於任意 $x\in A$ ，都有 $x\in C$ ，所以 $A\subseteq C$ 。

例題6：集合運算性質證明

證明 $A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup(A\cap C)$ 。

解析：

- 先證 $A\cap (B\cup C)\subseteq(A\cap B)\cup(A\cap C)$ ：

任取 $x\in A\cap (B\cup C)$ ，則 $x\in A$ 且 $x\in B\cup C$ 。

若 $x\in B$ ，那麼 $x\in A\cap B$ ；若 $x\in C$ ，那麼 $x\in A\cap C$ 。

所以 $x\in(A\cap B)\cup(A\cap C)$ ，即 $A\cap (B\cup C)\subseteq(A\cap B)\cup(A\cap C)$ 。

- 再證 $(A\cap B)\cup(A\cap C)\subseteq A\cap (B\cup C)$ ：

任取 $y\in(A\cap B)\cup(A\cap C)$ ，

若 $y\in A\cap B$ ，則 $y\in A$ 且 $y\in B$ ，所以 $y\in A$ 且 $y\in B\cup C$ ，即 $y\in A\cap (B\cup C)$ ；

若 $y\in A\cap C$ ，同理可得 $y\in A\cap (B\cup C)$ 。所以 $(A\cap B)\cup(A\cap C)\subseteq A\cap (B\cup C)$ 。

综上， $A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup(A\cap C)$ 。

例題7：利用集合運算求集合

已知 $A\cup B = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ ， $A\cap B = \{3, 4\}$ ， $A = \{1, 3, 4\}$ ，求。

解析：

根據集合運算的性質， $B=(A\cup B)\cap(A^c\cup B)$ 。

先求 A^c （假設全集 $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ ）， $A^c=\{2, 5, 6\}$ 。

$A^c\cup B=(A\cap B)^c$ （德摩根定律）， $(A\cap B)^c=\{1, 2, 5, 6\}$ 。

$B=(A\cup B)\cap(A^c\cup B)=\{1, 2, 3, 4, 5\}\cap\{1, 2, 5, 6\}$ $=\{1, 2, 5\}\cup\{3, 4\}=\{2, 3, 4, 5\}$ 。

例題8：無限集合的子集關係

設 $A=\{x\in\mathbb{R}:x>0\}$ ， $B=\{x\in\mathbb{R}:x\geq1\}$ ，判斷與的子集關係。

解析：

對於集合中的任意元素，都有 $x\geq1$ ，所以 x>0 ，即 $x\in A$ ，所以 $B\subseteq A$ 。

又因為存在0 < x<1的實數，比如 x = 0.5 ， $0.5\in A$ 但 $0.5\notin B$ ，所以 $B\neq A$ ，即 $B\subsetneq A$ 。

二、映射相關例題

例題1：映射的判斷

判斷

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道可道，非常道；名可名，非常名。无名，天地之始，有名，万物之母。故常无欲，以观其妙，常有欲，以观其徼。此两者，同出而异名，同谓之玄，玄之又玄，众妙之门。

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