鲁棒多视图谱聚类方法
引言
在数据科学领域,多视图谱聚类方法是一种处理多源异构数据的强大工具,这类数据可以从不同的角度或“视图”观察到。
鲁棒多视图谱聚类方法旨在从多个视图中提取共同的信息
,同时对噪声和异常值具有高度的鲁棒性。
这种方法结合了谱聚类和多视图学习的优点
,以识别数据点的内在结构并进行准确的聚类。
基本概念
在多视图学习中,“视图”指的是从不同角度或使用不同特征集观察同一数据集。
例如,一个人脸数据集可以从RGB颜色、深度信息或热红外图像等多个视图来获取。
鲁棒多视图谱聚类的目标是,即使在某些视图受到噪声或异常值的影响下,也能找到数据点在所有视图中共享的聚类结构。
数学模型
设我们有
V
V
V 个视图的数据
X
(
v
)
\mathbf{X}^{(v)}
X(v),其中
v
=
1
,
2
,
…
,
V
v = 1, 2, \ldots, V
v=1,2,…,V,每个视图的数据集包含相同数量的数据点
,但可能有不同的特征维度。
我们的目标是找到一个共同的相似度矩阵
W
\mathbf{W}
W,它能够反映所有视图中数据点之间的关系。
目标函数
鲁棒多视图谱聚类方法的目标函数通常包含两部分:
- 一是所有视图的相似度矩阵之间的共识;
- 二是对噪声和异常值的鲁棒性。一个典型的目标函数可以表示为:
min W , E ( v ) ∑ v = 1 V ∥ W − S ( v ) ∥ F 2 + α ∑ v = 1 V ∥ E ( v ) ∥ 1 \min_{\mathbf{W},\mathbf{E}^{(v)}} \sum_{v=1}^{V} \left\| \mathbf{W} - \mathbf{S}^{(v)} \right\|_F^2 + \alpha \sum_{v=1}^{V} \left\| \mathbf{E}^{(v)} \right\|_1 W,E(v)minv=1∑V W−S(v) F2+αv=1∑V E(v) 1
这里:
-
W
\mathbf{W}
W 是
共同的相似度矩阵;
- S ( v ) \mathbf{S}^{(v)} S(v) 是第 v v v 个视图的相似度矩阵,通常基于数据点之间的距离或相似性度量构建;
-
E
(
v
)
\mathbf{E}^{(v)}
E(v) 是第
v
v
v 个视图的
误差矩阵
,用于捕捉噪声或异常值; - ∥ ⋅ ∥ F \left\| \cdot \right\|_F ∥⋅∥F 是 Frobenius 范数,衡量矩阵元素的平方和的平方根;
-
∥
⋅
∥
1
\left\| \cdot \right\|_1
∥⋅∥1 是 L1 范数,
用于促进稀疏性
,从而提高对噪声的鲁棒性;
- α \alpha α 是正则化参数,用于平衡相似度矩阵的共识和误差矩阵的稀疏性。
约束条件
为了确保解的合理性,鲁棒多视图谱聚类方法还可能包含一些约束条件,例如:
W 1 = 1 , W ≥ 0 \mathbf{W}\mathbf{1} = \mathbf{1}, \quad \mathbf{W} \geq 0 W1=1,W≥0
这里:
-
1
\mathbf{1}
1 是一个全一向量,确保
W
\mathbf{W}
W 的每行和为 1,反映
数据点的表示是通过其他数据点的线性组合给出的;
-
W
≥
0
\mathbf{W} \geq 0
W≥0
确保相似度矩阵的元素是非负的。
聚类过程
一旦找到共同的相似度矩阵 W \mathbf{W} W,接下来的步骤是使用谱聚类算法对数据点进行聚类。
谱聚类涉及构建图拉普拉斯矩阵 L \mathbf{L} L,然后计算 L \mathbf{L} L 的特征向量,并使用 k k k-means 或其他聚类算法对特征向量进行聚类。
L = D − W \mathbf{L} = \mathbf{D} - \mathbf{W} L=D−W
其中 D \mathbf{D} D 是度矩阵,其对角线元素为 W \mathbf{W} W 的行和。
结论
鲁棒多视图谱聚类方法是一种强大的数据聚类工具,它能够从多个视图中抽取共同的信息,并对噪声和异常值具有鲁棒性。
通过优化一个共同的相似度矩阵
,同时考虑每个视图的误差矩阵,这种方法能够准确地识别数据点的聚类结构,即使在数据质量参差不齐的情况下也能表现良好。