第15章 振动

简谐运动的位移

$$x(t)=x_{m}cos(\omega t+\varphi )$$
$$\begin{gathered} 其中x(t)表示在t时刻时的位移大小；x_m表示振幅，为正数； \\ \omega 表示角频率；\varphi 为相角 \end{gathered}$$

SHM速度

对$x(t)=x_{m}cos(\omega t+\varphi )$式求关于t的微分，我们可以得到
$$v(t)=-\omega x_{m}sin(\omega t+\varphi )$$
$\omega x_m称为速度幅v_m$
位移最大时速度为0，位移为0时速度最大

SHM加速度

对速度的公式关于t的微分，我们得到
$$a(t)=-{\omega }^2{x}_{m}cos(\omega t+\varphi )$$

加速度和位移的关系

$$a=-{\omega }^{2}x(t)$$
所以在简谐运动中，加速度和位移成正比，但符号相反

力定律

弹簧常量$$k=m{\omega }^2$$
力 $$F=ma=-m{\omega }^{2}x$$
简谐运动是指质量为m的质点在质点的位移成正比而符号相反的力的作用下的运动
由此我们推导出
$$\{\begin{array}{l}w=\sqrt{\frac{k}{m}}\\ T=2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}\end{array}$$

能量

势能
$$U(t)=\frac{1}{2}k{x}^2=\frac{1}{2}k{x}_m^{2}co{s}^2(\omega t+\varphi )$$
动能
$$K(t)=\frac{1}{2}m{v}^2=\frac{1}{2}m{\omega }^2{x}_m^{2}si{n}^2(\omega t+\varphi )$$
如果用$w^2=\frac{k}{m}$替换，那么
$$K(t)=\frac{1}{2}k{x}_m^{2}si{n}^2(\omega t+\varphi )$$
所以总能量为：
$$E=\frac{1}{2}k{x}^2$$
一个振动系统中往往包含两种弹簧性要素和惯性要素：前者储存势能，后者储存动能

角简谐振子（不重要）

$$T=2\pi \sqrt{\frac{I}{\kappa }}$$

摆

物理摆

第16章 波（$\mathrm{I}$）

波的类型

波的类型可分为

• 机械波
• 电磁波
• 物质波
  这里我们研究的是物质波

横波和纵波

• 运动方向和波的传播方向垂直，称为横波
• 运动方向和波的传播方向平行，称为横波
  他们统称为行波

第18章 温度、热量、热力学第一定律

热力学第零定律

• 如果物体A和物体B和第三个物体达到热平衡，那么A和B也达到热平衡
• 当两个物体处于热平衡的时候，他们温度也相等

摄氏度和华氏温标

$$T_F=T_c+32°$$
$其中T_F为华氏温标，T_c是摄氏度$

热膨胀(thermal expansion)

线膨胀（Linear Expansion）

$$\Delta L=L\alpha \Delta T$$
$其中\alpha 是膨胀系数（coefficientoflinearexpansion）,\Delta T温度升高时为正$。
注意点：用尺子测量时尺子也会因为在不同温度下长度有所变化。做题时还要考虑尺子的长度

体膨胀（Volume Expansion）

$$\Delta \beta =V\beta \Delta T$$
$其中\beta 为体膨胀系数,固体的的体膨胀系数和线膨胀系数的关系为$
$$\beta =3\alpha$$

热容（Heat Capacity）

热容的定义式为
$$Q=C\Delta T=T_f-T_i$$

比热容(Specific Heat)

比热容是针对单位质量而言的
$$Q=cm\Delta T=cm(T_f-T_i)$$

转变热(Heats of Transformation)

物体在不同的状态发生转变时会有相应能量的释放和吸收，但在转换过程中温度并没有发生变化。其中能量大小关系为：气态>液态>固态。
关系式为
$$Q=Lm$$
L 指的是一个样品发生相变时单位质量所转移的热量。
汽化热$L_v$指的是从气态到液态或从液态到气态的转换热( heat of vaporization)
熔化热$L_F$指的是从固态到液态、或者是从液态到固态的转换热( heat of fusion )

热力学第一定律

$$\Delta E_{int}=Q-W$$
$其中\Delta E_{int}指的是内能，W指的是气体对外界做功$

绝热过程

Q=0

定容过程

W=0

循环过程

经过一系列变化回到最初的过程，Q=W

热传递机制（不太重要）

传导

传导时率（单位时间传递的总能量）
$$P_{cond}=\frac{Q}{t}=kA\frac{T_H-T_C}{L}$$
其中k是热导率，k越大，导热性越好

对流

辐射

第19章 气体动理论

阿伏伽德罗常数

$$N=6.02\times 10^{23}$$

理想气体状态方程

$$PV=nRT$$
$其中R=8.31J/(mol\cdot K)$
这里我们可以用玻尔兹曼常量来表示
$$k=\frac{R}{N_A}=1.38\times 10^{-23}$$
此时方程可写为
$$\begin{gathered} nR=Nk \\ 气体状态方程为PV=NKT \end{gathered}$$
特殊情况：等压、等体、等温

压强、温度、方根速率(RMS speed)

$$p=\frac{nM{v}_{rms}}{3V}$$
p这里指的是压强，$v_{rms}$指的是方根速率，即为多个速度的平方相加再开方得到的解
结合气体状态方程，有
$$v=\sqrt{\frac{3RT}{M}}$$

平均速率

$$v_{avg}=\int vP(v)$$
we get
$$v_{avg}=\sqrt{\frac{8RT}{\pi M}}$$

平均动能

$$\begin{array}{rl}{K}_{avg}& =\frac{3RT}{2N_A}\\ 或者K_{avg}& =\frac{3}{2}kT\end{array}$$
此式子说明平均动能只与温度有关

平均自由程（Mean Free Path）

平均自由程指的是分子在两次碰撞之间所走过的距离
$$\lambda =\frac{1}{\sqrt{2}\pi d^{2}N/V}$$
这里的N/V指的是单位体积内的分子数

分子速率分布

求某一段速率区间内的比例用积分即可

内能的微观表示

对于1mol单原子气体来说，
$$E_{int}=(n{N}_A)K_{avg}(\frac{3}{2}kT)=\frac{3}{2}nRT$$

摩尔热容

摩尔定容热容（$C_v$）

$$C_v=\frac{3}{2}R$$
对于任意理想气体来说，
$$E_{int}=n{C}_{v}T$$
在任意过程中温度变化了$\Delta T$,那么内能的变化值为：
$$E_{int}=n{C}_v\Delta T$$
一般题目问法：温度升高

摩尔定压热容

$$C_P=C_V+R$$
一般题目问法：温度升高和气体膨胀

结论

那么
$$\begin{array}{rl}{E}_{int}& =n{C}_{v}T\\ Q& =\{\begin{array}{l}n{C}_{v}T,等容过程\\ n{C}_{P}T,等压过程\end{array}\end{array}$$

自由度和摩尔热容

如果考虑多原子分子，内能的形式除了平动之外还有转动能量。
能量均分定理：
每个自由度数f都有与之对应的能量$\frac{kT}{2}$或者$\frac{RT}{2}$
$$\begin{array}{rl}\therefore E_{int}& =\frac{f}{2}nRT\\ C_v& =\frac{f}{2}R\end{array}$$

气体变化过程小结

第20章 熵（ entropy ）和热力学第二定律

熵的定义

我们定义从初态i到末态f变化过程中熵的变化为：
$$\Delta S=S_f-S_i={\int }_i^f\frac{dQ}{T}$$
此式为熵的定义式，Q指的是热量传入和传出系统的能量。

熵的性质

熵是一个状态量，与路径无关。
因此在解决不可逆问题的时候，在等条件下的封闭系统中我们可以用可逆的过程来代替。

作为状态函数的熵

$$\Delta S=S_f-S_i=nRln\frac{V_f}{V_i}+n{C}_{v}ln\frac{T_f}{T_i}$$
此式对所有变化过程都成立，同时也说明了熵与变化过程无关，只与始末状态有关

热力学第二定律

在封闭体系中，如果过程不可逆，那系统熵是增加的。如果过程可逆，那系统的熵是不变的

热机

在理想热机内，所有过程都是可逆的

卡诺热机

其效率的表达式：
$$\xi =1-\frac{T_L}{T_H}$$
$T_H指的是高温库里的温度，T_L指的是低温库里的温度$

斯特琳热机（不重要）

制冷机

制冷机实际上为制热机的反向过程，K为制冷系数
$$K_c=\frac{T_L}{T_H-T_L}$$

熵的统计观点

玻尔兹曼熵公式：
$$S=klnW$$
S为熵， W为多重数，微观态数

第35章 波的干涉

基本公式及定理

折射率的定义

$$n=\frac{c}{v}$$
n是指折射率，c指在真空中的光速，v指的是在介质中光的速率

折射定理

$$n_{1}sin{\theta }_1=n_{2}sin{\theta }_2$$

波长和速率的关系

在介质中波长和速率成正比，有
$$\frac{{\lambda }_1}{n_1}=\frac{{\lambda }_2}{n_2}$$

不同介质中波长的关系

$${\lambda }_n=\frac{\lambda }{n}$$

经过不同介质波长差问题

介质中，
$$\begin{gathered} N=\frac{Ln}{\lambda } \\ \therefore |N_2-N_1|=\frac{L}{\lambda }(n_2-n_1) \end{gathered}$$