文章目录
一、树
1.定义部分
一个N个结点的树有N-1条边
树是保证结点连通的最小的一种连接方式
2.基本术语
（1）结点的度（Degree）：结点的子树个数
（2）树的度：树的所有结点中最大的度数
（3）叶结点（Leaf)、子结点(Parent)、父结点（Parent）、子结点（Child）、兄弟结点（Sibling）
（4）路径和路径长度：结点序列，前一个是后一个的父结点。路径所包含的边的个数为路径的长度
（5）祖先结点（Ancestor），子孙节点（Descendant）
（6）结点的层次（Lever）:
规定
\color{red}{规定}
规定根结点在1层，其它任一结点的层数是其父结点的层数加1
（7）树的深度（Depth）：树的所有结点中的最大层次是这棵树的深度
3.树的表示
（1）儿子-兄弟表示法
“长兄为父，带下一个兄弟”
（2）森林的表示：将每个根结点作为兄弟结点串联起来
向右旋转45度
4.二叉树的链表结构
typedef struct TNode *Position;
typedef Position Bintree;
struct TNode{
ElementType Data;
BinTree Left;
BinTree Right;
};
二、二叉树
1.定义
二叉树具有五种基本形态
2.特殊二叉树
3.二叉树的几个重要性质
（1）一个二叉树第i层的最大结点数为：2i-1，i >=1
（2）深度为k的二叉树有最大结点总数为：2k-1，k >=1（完美二叉树）
（3）对于非空二叉树T，若n0表示叶结点的个数、n2表示度为2的非叶结点个数，那么两者满足关系n0=n2+1
4.二叉树的抽象数据类型定义
5.二叉树的存储结构
（1）顺序存储结构
完全二叉树：按从上到下、从左到右顺序存储n个结点
非根结点（序号 i>1）的父结点的序号是 [ i / 2 ]
结点（序号为i）的左孩子结点的序号是2i
结点（序号为i）的右孩子结点的序号是2i+1
一般二叉树也可以采用这种结构，但会造成空间浪费…
（2）链表存储
三、关于二叉树的基本操作
1.二叉树的递归遍历
（1）先序遍历
遍历顺序：A BDFE CGHI
//先序遍历
void PreOrderTraversal(BinTree BT)
{
if(BT){
printf("%d",BT->Data);
PreOrderTraversal(BT->Left);
PreOrderTraversal(BT->Right);
}
}
（2）中序遍历
遍历顺序：DBEF A GHCI
//中序遍历
void InOrderTraversal(BinTree BT)
{
if(BT){
PreOrderTraversal(BT->Left);
printf("%d",BT->Data);
PreOrderTraversal(BT->Right);
}
}
（3）后序遍历
遍历顺序：DEFB HGIC A
//后序遍历
void PostOrderTraversal(BinTree BT)
{
if(BT){
PreOrderTraversal(BT->Left);
PreOrderTraversal(BT->Right);
printf("%d",BT->Data);
}
}
先序、中序、后序便利的过程：遍历过程中经过结点的路线一样，只是访问各结点的时机不同
图中三种符号分别标记出先序、中序、后序访问各节点的时刻
2.二叉树的非递归遍历（中序）
实现的基本思路：使用堆栈
算法思路：
遇到一个结点，将它压站后遍历其左子树。
左子树遍历结束后从栈顶弹出这个元素并访问它
然后按其右指针再去中序遍历该结点的右子树。
void InOrderTraversal(BinTree BT)
{
BinTree T = BT;
Stack S = CreateStack(MaxSize);
while(T || !IsEmpty(S)) {
while(T){
Push(S,T);
T = T->Left;
}
if(!IsEmpty(S)){
T = Pop(S);
printf("%5d",T->Data);
T = T->Right;
}
}
}
先序遍历即在第一次遇到这个元素时就将它输出，于是将printf语句放在第一次push后面即可。
3.二叉树的层序遍历
二叉树遍历的核心问题：二维结构的线性化
- 需要一个存储结构保存暂时不访问的结点
- 存储结构：堆栈（保存自己）、队列（保存右儿子）
队列实现思路：
从根节点开始，首先将根结点入队
然后开始执行循环： 结点出队、访问该节点、其左右儿子入队
//层序遍历
void LevelOrderTraversal(BinTree BT)
{
Queue Q;
BinTree T;
if(!BT) return; //如果是空树直接返回
Q = createQueue(MaxSize);
Add(Q,BT);
while(!IsEmptyQ(Q)){
T = DeleteQ(Q);
printf("%d\n",T->Data);
if(T->Left) AddQ(Q,T->Left);
if(T->Right) AddQ(Q,T->Right);
}
}
四、遍历二叉树的应用
1.输出二叉树的叶子结点
在二叉树遍历算法中增加检测结点的左右子树是否都为空
void PreOrderPrintLeaves(BinTree BT)
{
if(BT){
if(!BT->Left && !BT->Right)
printf("%d",BT->Data);
PreOrderPrintLeaves(BT->Left);
PreOrderPrintLeaves(BT->Right);
}
}
2.求二叉树的高度
需要知道左右子树的高度才可知整个树的高度，因此是后序遍历
int PostOrderGetHeight(BinTree BT)
{
int HL.HR,MAXH;
if(BT){
HL = PostOrderGetHeight(BT->Left);
HR = PostOrderGetHeight(BT->Right);
MaxH = (HL > HR) ? HL:HR;
return (MaxH + 1);
}
else return 0; //空树深度为0
}
3.二元运算表达式树及其遍历
三种遍历得到三种不同访问结果：
注意：中缀表达式会受到运算符优先级的影响
4.由两种遍历序列确定二叉树
必须要有中序遍历才能确定一个二叉树
前序和后序无法判断左右的边界