MATLAB学习（3）--插值和拟合

在大量的应用领域中，很少能直接用分析方法求得系统变量之间函数关系，一般都是

利用测得的一些分散的数据节点，运用各种拟合方法来生成一条连续的曲线。例如，我们

经常会碰到形如

的函数。从原则上说，该函数在某个[a,b]区间上是存在的，但通

常只能获取它在 [a,b]上一系列离散节点的值，这些值构成了观测数据。函数在其他 x 点上的取值是未知的，这时只能用一个经验函数 y=g(x)

对真实函数

作近似。

根据实验数据描述对象的不同，常用来确定经验函数 y=g(x)

的方法有两种：插值和

拟合。如果测量值是准确的，没有误差，一般用插值；如果测量值与真实值有误差，一般用曲线拟合。在 MATLAB 中，无论是插值还是拟合，都有相应的函数来处理。

项式通过全部已知的观测节点。

拟合和插值有许多相似之处，但是这两者最大的区别在于拟合要找出一个曲线方程式，

而插值仅是要求出插值数值即可。

用 MATLAB 可以很容易地实现插值和拟合，与插值有关的常用函数有： interp1( 一维

插值 ) 、 interp1q( 快速一维线性插值 ) 、 interpft( 采用 FFT 法的一维插值 ) 、 spline( 三次样条插

值 ) 、 interp2( 二维插值 ) 、 interp3( 三维插值 ) 、 interpn(n 维插值 ) 。

1．多项式插值函数(interp1)

yi = interp1(x,y,xi,method) 对应于插值函数 yi=g(xi)

其中 x 和 y 是原已知数据的 x 、

y 值， xi 是要内插的数据点， method 是插值方法，可以设定的内插方法有： ‘nearest’ 为寻找

最近数据节点，由其得出函数值； ‘linear’ 为线性插值； ‘spline’ 为样条插值函数，在数据节

点处光滑，即左导等于右导； ‘cubic’ 为三次方程式插值。其中 ‘nearest’ 执行速度最快，输出

结果为直角转折； ‘linear’ 是默认值，在样本点上斜率变化很大； ‘spline’ 最花时间，但输出

结果也最平滑； ‘cubic’ 最占内存，输出结果与 ‘spline’ 差不多。如果数据变化较大，以 ‘spline’

函数内插所形成的曲线最平滑，效果最好。

线性插值也就是分段线性插值，它是将每两个相邻的节点用直线连起来，如此形成的

一条折线就是分段线性插值函数。线性内插是最简单的内插方法，但其适用范围很小；如

果原来数据的函数 f 有极大的变化，则假设其数据点之间为线性变化并不合理。而且线性

插值虽然在 n 足够大时精度也相当高，但是折线在各个节点处不光滑，即插值函数在节点

处导数不存在，从而影响了线性插值在需要光滑插值曲线 ( 如机械加工等 ) 的领域中的应用。

在 MATLAB 中，调用分段线性插值的语句为： y=interp1(x0,y0,x) ，其中 x0 、 y0 为已

知的离散数据，求对应 x 的插值 y ；调用三次样条插值的语句为： y=interp1(x0,y0,'spline')

或 y=spline(x0,y0,x) ， x0 、 y0 、 x 和 y 的意义同上。

x=0:10; y=cos(x); xi=0:.25:10; 
y0=cos(xi); %精确值
y1=interp1(x,y,xi); %线性插值结果
y2=interp1(x,y,xi,'pchip'); %三次方程式插值结果
y3=interp1(x,y,xi,'spline'); %样条插值结果
plot(xi,y0,'o',xi,y1,xi,y2,'-.',xi,y3)

注意：书上的和现版本不同，在以后的版本中将会更改 INTERP1(...,'CUBIC')。请改用 INTERP1(...,'PCHIP')。

2．多项式拟合函数 polyfit

MATLAB 的 polyfit 函数提供了从一阶到高阶多项式的拟合，其调用方法有两种

p=polyfit(x,y,n)

[p,s]=polyfit(x,y,n)

其中 x,y 为已知的数据组， n 为要拟合的多项式的阶次，向量 p 为返回的要拟合的多项

式的系数，向量 s 为调用函数 polyval 获得的错误预估计值。一般来说，多项式拟合中阶数

n 越大，拟合的精度就越高

x=[-2.8 -1 0.2 2.1 5.2 6.8]; 
y=[3.1 4.6 2.3 1.2 2.3 -1.1]; 
p3=polyfit(x, y, 3); % 用不同阶数的多项式拟合 x 和 y 
p4=polyfit(x, y, 4); 
p5=polyfit(x, y, 5); 
xcurve= -3.5:0.1:7.2; % 生成 x 值
p3curve=polyval(p3, xcurve); % 计算在这些 x 点的多项式值
p4curve=polyval(p4, xcurve); 
p5curve=polyval(p5, xcurve); 
plot(xcurve,p3curve,'--',xcurve,p4curve,'-.',xcurve,p5curve,'-',x,y,'*');

最小二乘法拟合

我们常说的最小二乘拟合通常指最小二乘多项式拟合。比多项式更一般的拟合函数形式为

$y=\alpha _{0}+\alpha _{1}r_{1}(x)+\alpha _{2}r_{2}(x)+\cdots +\alpha _{m}r_{m}(x)$

这种使 y i 与 $\alpha _{0}+\alpha _{1}r_{1}(xi)+\alpha _{2}r_{2}(xi)+\cdots +\alpha _{m}r_{m}(xi)$ 的误差平方和在最小二乘意义下最小所确定的函数 y 称为最小二乘拟合函数。

如果定义的拟合模型是关于参数 α k 的线性函数，则称为线性模型；如果拟合模型关于

参数 α k 是非线性函数，则称为非线性模型。在多数情况下，可以通过函数变换的方式将非

线性模型转化为线性模型。例如：假设拟合模型为 $y=ae^{bx}$ 其中 a , b 为待定参数，是一个

非线性模型。这时可对模型取对数 ( 也可取常用对数 ) ，得到 ln y = ln a + bx ，令

Y = ln y , A = ln a ，则模型转化为 Y = A + bx ，即变成一个线性模型。这样就可以利用

MATLAB 中的 polyfit 函数进行拟合计算。

x=[3 6 9 12 15 18 21 24]; 
y=[1.7604 1.6222 1.4914 1.3560 1.2201 1.0864 0.9494 0.8129]; 
%这里的 y 值是对原始 y 值求对数后得出的 Y 值
p1=polyfit(x,y,1) 
b=p1(1)/0.4343 
a=10.^p1(2); 
y1=polyval(p1,x); %拟合值

结果也是有点奇怪，a在命令行窗口中不存在，但是可以在工具栏看到