[NOIP2006 提高组] 能量项链

题目描述

在 Mars 星球上，每个 Mars 人都随身佩带着一串能量项链。在项链上有 $N$ 颗能量珠。能量珠是一颗有头标记与尾标记的珠子，这些标记对应着某个正整数。并且，对于相邻的两颗珠子，前一颗珠子的尾标记一定等于后一颗珠子的头标记。因为只有这样，通过吸盘（吸盘是 Mars 人吸收能量的一种器官）的作用，这两颗珠子才能聚合成一颗珠子，同时释放出可以被吸盘吸收的能量。如果前一颗能量珠的头标记为 $m$，尾标记为 $r$，后一颗能量珠的头标记为 $r$，尾标记为 $n$，则聚合后释放的能量为 $m\times r\times n$（Mars 单位），新产生的珠子的头标记为 $m$，尾标记为 $n$。

需要时，Mars 人就用吸盘夹住相邻的两颗珠子，通过聚合得到能量，直到项链上只剩下一颗珠子为止。显然，不同的聚合顺序得到的总能量是不同的，请你设计一个聚合顺序，使一串项链释放出的总能量最大。

例如：设 $N=4$，$4$ 颗珠子的头标记与尾标记依次为 $(2,3)(3,5)(5,10)(10,2)$。我们用记号 $\oplus$ 表示两颗珠子的聚合操作，$(j\oplus k)$ 表示第 $j,k$ 两颗珠子聚合后所释放的能量。则第 $4$，$1$ 两颗珠子聚合后释放的能量为：

$(4\oplus 1)=10\times 2\times 3=60$。

这一串项链可以得到最优值的一个聚合顺序所释放的总能量为：

$(((4\oplus 1)\oplus 2)\oplus 3)=10\times 2\times 3+10\times 3\times 5+10\times 5\times 10=710$。

输入格式

第一行是一个正整数 $N$（$4\le N\le 100$），表示项链上珠子的个数。第二行是 $N$ 个用空格隔开的正整数，所有的数均不超过 $1000$。第 $i$ 个数为第 $i$ 颗珠子的头标记（$1\le i\le N$），当 $i<N$ 时，第 $i$ 颗珠子的尾标记应该等于第 $i+1$ 颗珠子的头标记。第 $N$ 颗珠子的尾标记应该等于第 $1$ 颗珠子的头标记。

至于珠子的顺序，你可以这样确定：将项链放到桌面上，不要出现交叉，随意指定第一颗珠子，然后按顺时针方向确定其他珠子的顺序。

输出格式

一个正整数 $E$（$E\le 2.1\times 10^9$），为一个最优聚合顺序所释放的总能量。

样例 #1

样例输入 #1

4
2 3 5 10

样例输出 #1

710

题目来源

NOIP 2006 提高组 第一题（洛谷）

题解

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int f[405][405];  // 动态规划数组
int n, a[205];    // n表示珠子数量，a数组表示珠子的头标记

int main() {
    // 读取珠子数量
    cin >> n;

    // 读取珠子的头标记，并复制到a数组的后半部分以便处理环形问题
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        cin >> a[i];
        a[n + i] = a[i];
    }

    // 动态规划的过程
    // 枚举区间长度
    for (int len = 2; len <= n + 1; len++) {
        // 枚举区间的左端点
        for (int l = 1; l + len - 1 <= 2 * n; l++) {
            int r = l + len - 1;  // 区间的右端点
            // 枚举分割点
            for (int k = l + 1; k <= l + len - 2; k++) {
                // 更新区间[l, r]的最大能量
                f[l][r] = max(f[l][r], f[l][k] + f[k][r] + a[l] * a[k] * a[r]);
            }
        }
    }

    int res = 0;
    // 枚举所有可能的环形起点
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        res = max(res, f[i][i + n]);
    }

    // 输出最终结果
    cout << res;
    return 0;
}