[NOIP2009 普及组] 细胞分裂

题目描述

Hanks 博士是 BT（Bio-Tech，生物技术）领域的知名专家。现在，他正在为一个细胞实验做准备工作：培养细胞样本。

Hanks 博士手里现在有 $N$ 种细胞，编号从 $1\sim N$，一个第 $i$ 种细胞经过 $1$ 秒钟可以分裂为 $S_i$ 个同种细胞（$S_i$ 为正整数）。现在他需要选取某种细胞的一个放进培养皿，让其自由分裂，进行培养。一段时间以后，再把培养皿中的所有细胞平均分入 $M$ 个试管，形成 $M$ 份样本，用于实验。Hanks 博士的试管数 $M$ 很大，普通的计算机的基本数据类型无法存储这样大的 $M$ 值，但万幸的是，$M$ 总可以表示为 $m_1$ 的 $m_2$ 次方，即 $M=m_1^{m_2}$，其中 $m_1,m_2$ 均为基本数据类型可以存储的正整数。

注意，整个实验过程中不允许分割单个细胞，比如某个时刻若培养皿中有 $4$ 个细胞，Hanks 博士可以把它们分入 $2$ 个试管，每试管内 $2$ 个，然后开始实验。但如果培养皿中有 $5$ 个细胞，博士就无法将它们均分入 $2$ 个试管。此时，博士就只能等待一段时间，让细胞们继续分裂，使得其个数可以均分，或是干脆改换另一种细胞培养。

为了能让实验尽早开始，Hanks 博士在选定一种细胞开始培养后，总是在得到的细胞“刚好可以平均分入 $M$ 个试管”时停止细胞培养并开始实验。现在博士希望知道，选择哪种细胞培养，可以使得实验的开始时间最早。

输入格式

第一行，有一个正整数 $N$，代表细胞种数。

第二行，有两个正整数 $m_1,m_2$，以一个空格隔开，即表示试管的总数 $M=m_1^{m_2}$。

第三行有 $N$ 个正整数，第 $i$ 个数 $S_i$ 表示第 $i$ 种细胞经过 $1$ 秒钟可以分裂成同种细胞的个数。

输出格式

一个整数，表示从开始培养细胞到实验能够开始所经过的最少时间（单位为秒）。

如果无论 Hanks 博士选择哪种细胞都不能满足要求，则输出整数 $-1$。

样例 #1

样例输入 #1

1 
2 1 
3

样例输出 #1

-1

样例 #2

样例输入 #2

2
24 1
30 12

样例输出 #2

2

提示

【输入输出样例 #1 说明】

经过 $1$ 秒钟，细胞分裂成 $3$ 个，经过 $2$ 秒钟，细胞分裂成 $9$个，……，可以看出无论怎么分裂，细胞的个数都是奇数，因此永远不能分入 $2$ 个试管。

【输入输出样例 #2 说明】

第 $1$ 种细胞最早在 $3$ 秒后才能均分入 $24$ 个试管，而第 $2$ 种最早在 $2$ 秒后就可以均分（每试管 $144/{24}^1=6$ 个）。故实验最早可以在 $2$ 秒后开始。

【数据范围】

对于 $50\%$ 的数据，有 $m_1^{m_2}\le 30000$。

对于所有的数据，有 $1\le N\le 10000$，$1\le m_1\le 30000$，$1\le m_2\le 10000$，$1\le S_i\le 2\times {10}^9$。

题目来源

NOIP 2009 普及组 第三题（洛谷）

题解

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<set>
#include<string>
#include<stack>
#include<queue>
using namespace std;

int prm[5000]; // 存储所有的质数
int shu[30500]; // 存储试管质因数的指数
int num; // 存储当前细胞种类的分裂因数
int ci[30500]; // 存储当前细胞质因数的指数
int n, x, y; // 细胞种数，m1和m2
int ans = 0x7fffffff; // 记录最短时间
bool quick_prime(int x) { // 判断质数的快速方法
    if(x==2||x==3) return true;
    if(x%6!=1&&x%6!=5) return false;
    for(int i=5; i<=sqrt(x); i+=6)
        if(x%i==0||x%(i+2)==0) return false;
    return true;
}

int main() {
    int mo = 0; // 记录质数的数量
    for(int i=2; i<30000; i++) {
        if(quick_prime(i)) {
            prm[mo++] = i; // 将质数存入prm数组
        }
    }

    cin >> n >> x >> y;
    int b[10000], kl = 0; // b数组用于存储x的所有质因数，kl用于记录质因数的数量

    // 对x进行质因数分解
    for (register int d = 0; d < mo; d++) {
        if (x <= 1) {
            break;
        }
        if (x % prm[d] == 0) {
            b[kl] = prm[d]; // 存储质因数
            kl++;
        }
        while (x % prm[d] == 0) {
            shu[prm[d]] += y; // 记录质因数的指数
            x /= prm[d];
        }
    }

    for (register int i = 0; i < n; i++) {
        cin >> num;
        memset(ci, 0, sizeof(ci)); // 初始化当前细胞质因数指数数组

        // 对num进行质因数分解
        for (register int d = 0; d < mo; d++) {
            if (num <= 1) {
                break;
            }
            while (num % prm[d] == 0) {
                ci[prm[d]] += 1; // 记录质因数的指数
                num /= prm[d];
            }
        }

        int lp = 0; // 记录当前细胞分裂到可均分试管的最小时间
        for (register int d = 0; d < kl; d++) {
            if (ci[b[d]] == 0) { // 如果当前细胞没有某个必要质因数，则无法均分
                lp = ans;
                break;
            } else {
                // 计算需要的最小时间
                lp = lp > ceil((shu[b[d]] * 1.0) / ci[b[d]]) ? lp : ceil((shu[b[d]] * 1.0) / ci[b[d]]);
            }
        }

        if (lp < ans) {
            ans = lp; // 更新最短时间
        }
    }

    if (ans != 0x7fffffff)
        cout << ans;
    else
        cout << "-1"; // 如果没有合适的细胞，输出-1

    return 0;
}