【机器学习】常见的上采样方法

上采样（Upsampling）是指通过某些技术手段，将图像、信号或数据的尺寸增加到较大的尺寸。在图像处理中，常常用于生成高分辨率图像，或者增加图像的尺寸以匹配某些网络结构的输入要求，往往我们会采用插值法来实现上采样操作。

在离散数学 中，插值指在离散数据的基础上补插连续函数，使得连续曲线通过全部给定的离散数据点。作为离散函数逼近的重要方法，利用插值可根据函数在有限个点处的取值状况，估算出函数在其他点处的近似值。

1. 最近邻插值Nearest Neighbor Interpolation——零阶插值法

最近邻插值是最简单的一种上采样方法，它将目标像素值设为距离该像素最近的源像素值。这种方法计算速度非常快，但可能会导致图像的锯齿感和不平滑效果。

在坐标轴上有一系列的点 $x_{i-1}$ , x_i , $x_{i+1}$ ，…，这些点之间的间隔是均匀的（由红色虚线划分）。每个非边界点 xix_ixi 都有一个固定宽度的邻域，由其相邻的点构成。在进行插值时，插值点 x 位于某个邻域内时，插值结果 f(x) 就等于该邻域内最近的原始坐标点 x_i 对应的值 f(x_i) 。因此，插值函数看起来就像是一个分段常数函数，每个插值点的值都等于其邻域内的原始坐标点值。

在二维情况下，假设原图像中的四个已知坐标点为 (x_0, y_0) ， (x_0, y_1) ， (x_1, y_0) ， (x_1, y_1) ，它们对应的灰度值分别是 $Q_{11}$ 、 $Q_{12}$ 、 $Q_{21}$ 和 $Q_{22}$ 。对于一个灰度值未知的插值点 (x,y) ，根据最近邻插值方法，该插值点的灰度值会依据与已知点的距离关系来确定。由于插值点 (x,y) 与坐标点 (x_0,y_0) 距离最近（即位于的邻域内），因此插值点的灰度值 P 将直接等于对应的灰度值 $Q_{11}$ 。

最近邻插值的有优点是速度快，计算量少，适用于实时性要求高的场景。但是其插值后图像可能会非常粗糙，产生较为明显的“块状”效果。

2. 线性插值Linear Interpolation——一阶插值法

线性插值是一种常见的数值插值方法，用于在已知数据点之间估算未知的函数值。其基本思想是通过已知的两个数据点构建一条直线，然后利用该直线来推算未知点的值。

下图展示的是一维线性插值的定性示意图。在坐标轴上，点 $x_{i-1}$ , $x_{i}$ , $x_{i+1}$ ,… 之间的值通过相邻点连线形成线段，构成一个连续的约束函数。对于插值点 x，根据这个约束函数，插值点的值应该为 f(x)。因为每两个坐标点之间的关系是通过一次线性函数（即直线）来表示的，因此插值方法本质上是“线性”的，这就是为什么该方法被称为线性插值。

在定量示意图中，设 x_0 和 x_1 是已知坐标点，它们对应的灰度值分别为 y_0 和 y_1 。对于一个未知灰度值的插值点 x ，根据线性插值的约束，插值点的灰度值 y 位于由 (x_0, y_0) 和 (x_1, y_1) 两点构成的直线（一次函数）上

其值可以通过线性插值公式计算得出：

线性插值只考虑最近的两个数据点，因此在很多实际应用中，可以针对不同区间选择不同的插值点，得到较为简洁的结果。但插值精度有限，线性插值只能在相邻数据点之间做简单的线性连接，无法捕捉数据的非线性变化。如果数据呈现出较强的曲线趋势，线性插值可能会产生较大的误差。

3. 双线性插值法Bilinear Interpolation——一阶插值法

线性插值通过考虑目标像素的上下左右四个邻域像素的加权平均来估算目标像素的值。与最近邻插值相比，双线性插值可以产生更平滑的结果。

双线性插值可以看作是一维线性插值的扩展，在二维图像中处理时，通常需要经过两步一维线性插值才能得到最终的插值结果。具体来说，给定四个已知像素坐标点： (x_0,y_0) ， (x_0, y_1) ， (x_1, y_0) ， (x_1, y_1) ；它们的灰度值分别为： f(x_0, y_0) ， f(x_0, y_1) ， f(x_1, y_0) ， f(x_1, y_1) 。对于灰度值未知的插值点 (x, y) ，可以按照以下步骤进行双线性插值：

首先，在 y 轴方向进行一维线性插值：
- 对于点和，计算；
- 对于点和，计算。
然后，在 x 轴方向进行一维线性插值：
- 使用步骤 1 中计算出的和，在 x 轴上进行线性插值，得到最终的插值值。

另一种做法是先在 x 轴上进行一维线性插值，再在 y 轴上进行一维线性插值，最终结果是一样的，只是插值的顺序不同。

二维双线性插值的定量俯视示意图如下。由像素坐标点 (x_0,y_0) 和 (x_1, y_0) 在 x 轴向作一维线性插值得到 $f(x, y_{0})$ 、由像素坐标点 (x_0, y_1) 和 (x_1, y_1) 在 x 轴向作一维线性插值得到 $f(x, y_{1})$ 。然后再由 (x,y_0) 和 (x,y_1) 在 y 轴向作一维线性插值得到插值点 (x,y) 的灰度值 f(x, y) 。

公式如下：

3. 双三次插值Bicubic Interpolation

双三次插值考虑了目标像素周围16个邻域像素的加权平均，使用三次多项式来计算目标像素的值。它比双线性插值提供更高质量的上采样效果，尤其适用于图像边缘和细节较为复杂的情况。双三次插值又被称为立方卷积插值 / 双立方插值，在数值分析中，双三次插值是二维空间中最常用的插值方法。在这种方法中，插值点 (x, y) 的像素灰度值 f(x, y) 通过矩形网格中最近的十六个采样点的加权平均得到，而各采样点的权重由该点到待求插值点的距离确定，此距离包括水平和竖直两个方向上的距离。

下图是一个二维图像的双三次插值俯视示意图。设待求插值点坐标为 $(i+u, j+v)$ ，已知其周围的 16 个像素坐标点 (网格) 的灰度值，还需要计算 16 个点各自的权重。以像素坐标点 (i, j) 为例，因为该点在 y 轴和 x 轴方向上与待求插值点 $(i+u, j+v)$ 的距离分别为和，所以的权重为 $w(u) \cdot w(v)$ ，其中 $w(\cdot )$ 是插值权重核 (可以理解为定义的权重函数)。同理可得其余 15 个像素坐标点各自的权重。

那么，待求插值点 $(i+u, j+v)$ 的灰度值 $f(i+u, j+v)$ 将通过如下计算得到：

其中各项由向量或矩阵表示为：

插值权重核 w(·) 为：

经过双三次插值后的图像更平滑，边缘和细节处理更好。但是，计算量大，速度较慢。

4. 转置卷积（Deconvolution / Transposed Convolution）

转置卷积是一种神经网络层，转置卷积也被称为反卷积用于通过学习得到一个权重矩阵来进行上采样。这种方法通常用于深度学习模型中，特别是在生成对抗网络（GAN）和自编码器中用于生成高分辨率图像。卷积不会增大输入的高和宽，通常要么不变、要么减半。但是在语义分割这种任务上，仅仅使用卷积无法进行像素级的输出，这时候就可以用到转置卷积来增大输入高和宽。反卷积是卷积的逆操作。

在反卷积进行的时候，也需要滑动操作。将输入图像上的0、1、2、3分别与卷积核进行相乘操作，得到结果后在与输出图像相同尺寸的框图上进行滑动，最终将这些结果进行相加。

为什么反卷积又叫做转置卷积呢？对于一个卷积操作 Y=X*W ，可以构造一个V使得卷积等价于矩阵乘法 $Y^{'}=VX^{'}$ ，其中是对应的向量版本。转置卷积则是将卷积操作 Y=X*W 等价于 $Y^{'}=V^{T}X^{'}$ ，如果 $Y^{'}$ 的尺寸为1xm， $X^{'}$ 的尺寸为1xn，则的尺寸为mxn。如果卷积将输入 (h,w) 从变成了 $(h^{'},w^{'})$ ，同样超参数的转置卷积则从 $(h^{'},w^{'})$ 变成了 (h,w) ，卷积一般是做下采样，转置卷积通常用作上采样。需要注意的是，虽然转置卷积可以增加特征图的空间尺寸，但是它不等同于传统意义上的上采样或者插值，因为它引入了非线性，转置卷积层在增加特征图尺寸的同时，通过学习卷积核的权重，能够保留或增加信息内容。