最大m子段和问题

最大m子段和问题给定由n个整数(包含负整数) 组成的序列a1,a2,...,an，要求确定序列1,a2,...,an的m个不相交子段，使这m个子段的总和达到最大。
最大子段和问题是最大m子段和问题当m=1时的特殊情形。

#include <iostream>
#include <cmath>
#include <string.h>
#include <algorithm>

using namespace std;
/** 
测试数据：
6 3
2 3 -7 6 4 -5

7 7
-2 11 -4 13 -5 6 -2
*/
// 定义一个最大常量
const int INF = 0x3f3f3f3f; 

int a[10001];
int dp[10001][10001];  // 动态规划数组，dp[i][j]表示前j项构成i子段的最大和，且必须包含第j项（以第j项结尾）

int main() {
    int i, j, k, n, m;
    cout << "请输入字串长度与分段数m值（如:6 3）:" << endl;
    cin >> n >> m;  // 输入整数 n 和 m
    cout << "请输入长度"<<n<<"的字串：" << endl;
    // 输入 n 个数字
    for (i = 1; i <= n; i++) {
        cin >> a[i];
    }

    // 初始化动态规划数组
    for (i = 1; i <= n; i++) {
        dp[i][0] = 0;      // 初始化列
        dp[0][i] = 0;      // 初始化行
        dp[i][i - 1] = -INF;  // 设置开头（n个数字想分成n-1份是不可能的，赋值为最小数即可）
    }

    // 按照段数进行动态规划
    for (i = 1; i <= m; i++) {
        // 遍历前 j 个数
        for (j = i; j <= n; j++) {
            int maxNum = -INF;
            // 在上一行找到最大值，索引结束于 j - 1 之前
            for (k = i - 1; k < j; k++) {
                if (dp[i - 1][k] > maxNum) {
                    maxNum = dp[i - 1][k];
                }
            }
            dp[i][j] = max(dp[i][j - 1], maxNum) + a[j];
        }
    }

    // 找出划分成 m 段的最大和
    int res = -INF;
    // 因为是划分为 m 段，所以数字至少得 m 个才行
    for (i = m; i <= n; i++) {
        res = max(res, dp[m][i]);
    }

    cout << res << endl;  // 输出结果

    return 0;
}

1. dp 方程定义
定义二维数组 dp， dp[ i ][ j ]，表示前 j 项所构成 i 子段的最大和，且必须包含着第 j 项，即以第 j 项结尾

2. 状态转移方程
求 dp[ i ][ j ]，有两种情况

dp[ i ][ j ] = dp[ i ] [ j-1 ] + a[ j ] ，即把第 j 项融合到第 j-1 项的子段中，子段数没变（即跟前面连成一段，一般发生于前面的数是正数时）；
dp[ i ][ j ] = dp[ i-1 ] [ k ] + a[ j ]，（i-1<= k < j ），把第 j 项作为单独的一个子段，然后找一下 i - 1 个子段时，最大的和，然后加上a[ j ]

可优化点
1.沿着第 m 行的最后一个元素，往左上方向画一条线，线右上方的元素是没必要计算的
那么 dp[ i ][ j ] ，j++ 的时候，j 的上限为 i + n - m 即可。还有左下角那一半矩阵，也是不用计算的，因为1个数字不可能分为2个子段
2.每确定一个 dp[ i ][ j ]，只需用到本行和上一行，所以不用二维数组也可以，省内存。
开两个一维数组，pre 和 dp，pre 记录上一行，dp 记录当前行
3.再对上一行红圈中的数字找最大值时，若用一个循环来找，容易超时。所以优化方法是：在每次计算 dp 之前，同时记录下j前面的最大元素。
时间复杂度大致为O(m*(n-m+1))，mn-m^2

优化后代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;  
typedef long long ll;
const int N=1e6+5; 
const int INF=0x3f3f3f3f;
int n,m;
ll a[N],dp[2][N];   //只保存上一行和当前行 
int main()  
{
    while(~scanf("%d%d",&n,&m))   //n个数字，m子段和 
    { 
        for(int i=1;i<=n;i++) 
			scanf("%lld",a+i);  
		for(int i=0;i<=n;i++)
			dp[0][i]=0,dp[1][i]=0;    //关键！此题答案只允许正值
		
        for(int i=1,k=1;i<=m;i++,k^=1)    //分为i段，k为两行之间的切换
        {
        	dp[k][i-1]=-INF;   //i==j时，杜绝与前一元素共伍
            ll maxpre=-INF;    //maxpre记录上一行的最大值
            for(int j=i;j<=n-m+i;j++)
            {
                maxpre=max(maxpre,dp[k^1][j-1]);     //随时更新上一行最大值
                dp[k][j]=max(dp[k][j-1],maxpre)+a[j]; //*对情况1、2的选择
            }
        }
        ll ans=-INF;
        for(int i=m;i<=n;i++)   //找到第m行的最大值，即为答案
                ans=max(ans,dp[m&1][i]);
        printf("%lld\n",ans);
    }  
}

最大m子段和问题

优化后代码

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