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1.零元
设零元为
左零元：看一整行元素是否等于表头；右零元：一整列元素是否等于表头。如下图所示，b为左零元。
2.幺元(单位元)
设幺元为e，根据幺元的性质，对于表中任意元素x，都有x*e=e*x=x。
如下图所示，左零元找行与表头相同的，右零元找列与表头相同的。所以下表可以看出零元为a
3.逆元
设逆元为y，根据逆元的性质，对于表中任意元素x，都有x*y=y*x=a（单位元）
如下图所示，找运算结果为a（单位元）的。a*a=a，b*b=a，c*c=a，d*d=a。所以a的逆元为a，b的逆元为b，c的逆元为c，d的逆元为d
4.幂等元
设幂等元为a，则a*a=a，如下图所示，幂等元就是a。
注意：在群中，单位元是唯一的幂等元。但是在半群或者幺半群中就不一定了。
5.某运算是否满足交换律：
看表是否对称：由于下表对称，所以*运算符合交换律
6.某运算是否满足幂等律：
如果对于运算表主对角线上的每一个元素， 都等于其所在行和列表头对应的元素，就满足幂等律。比如，若集合S = {a, b, c}，运算表中主对角线元素依次是a，b，c，那就满足幂等律；
如下表就不满足幂等律
7.某运算是否满足消去律：
左可消去元：查看a对应行的运算结果，若无相同元素，则a是左可消去元。
右可消去元：查看a对应列的运算结果，若无相同元素，则a是右可消去元。
可以做下面的验证：右消去元同理
8.某运算是否满足结合律：
可以用穷举法，但是穷举时可以跳过零元和单位元，零元和单位元必满足结合律。如下图所示，有单位元a，无零元，跳过单位元。b，c，d是否满足结合律：(b*c)*d=b*(c*d) ；(b*d)*c=b*(d*c)，所以满足结合律。
