T1

设有四个消息：$a_1,a_2,a_3,a_4$ ,被编成长为“5”的二元线性系统码

00000,01101,10111,11010。试给出码的一致校验关系。
解：设信息位m=(m-m-m-1),码字C=(c-c-c-c-4c-c-2c-1)=(m-m-m-1c-2c-1)。根据编码规则可得：

$$\{\begin{array}{l}{c}_4=m_2\\ c_3=m_1\\ c_2=m_2+m_1\\ c_1=m_2\\ c_0=m_2+m_1\end{array}$$
码字之间存在线性关系，所以该码是线性分组码。

$H=\left[\begin{array}{ccccc}1& 1& 1& 0& 0\\ 1& 0& 0& 1& 0\\ 1& 1& 0& 0& 1\end{array}\right]$,满足$H{\vec{C}}^T={\vec{0}}^T$

T2

一个纠错码消息与码字的对应关系如下：(00)-(00000),(01)–(00111),(10)–(111110),(11)–(11001)。
(1)证明该码是线性分组码；
(2)求该码的码长，编码效率和最小码距；
(3) 求该码的生成矩阵和一致校验矩阵；
(4) 构造该码 BSC 上的标准阵列；
(5) 若在转移概率 $p=10^{-3}$的 BSC 上消息等概率发送，求用标准阵列译码后的码字差错概率
和消息比特差错概率；
解：
(1)证明：设信息位$m=(m_1,m_2)$,码字C=($c_4{c}_3{c}_2{c}_1{c}_0$)。根据编码规则可得：

$$\{\begin{array}{l}{c}_4=m_2\\ c_3=m_2\\ c_2=m_2+m_1\\ c_1=m_2+m_1\\ c_0=m_1\end{array}$$

$$\{\begin{array}{l}{c}_1+c_2=0\\ c_3+c_4=0\\ c_0+c_2+c_4=0\end{array}$$

码字之间存在线性关系，所以该码是线性分组码。
(2)该码的码长为 5,

编码效率$\eta =\frac{k}{n}=\frac{2}{5}=40\%$

最小码距$d_{\min }=3$

(3)根据码字之间的线性关系，可得一致校验矩阵为：

$$H=\left[\begin{array}{c}00011\\ 11000\\ 10101\end{array}\right]$$

再根据：$\bar{C}=\overline{M}G$得

$$G=\left[\begin{array}{c}11110\\ 00111\end{array}\right]$$

(4)对 G 进行初等变换，得到标准生成矩阵

$$G^{\prime }=\left[\begin{array}{c}10111\\ 01011\end{array}\right]$$

T3

设二元(6,3)码的生成矩阵为：
$$G=\left[\begin{array}{cccccc}1& 0& 0& 0& 1& 1\\ 0& 1& 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 1& 1& 1& 0\end{array}\right]$$

试给出其一致校验矩阵。
解：$G=[I_{k}P]$

$$H=[P^T{I}_{n-k}]=\left[\begin{array}{cccccc}0& 0& 1& 1& 0& 0\\ 1& 0& 1& 0& 1& 0\\ 1& 1& 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$$