第二章数字系统

2.1 引言

什么是数字系统？

定义了用独特的符号（数码）来表示一个数字，在不同的系统中，一个数字有不同的表示方法。使用有限的数字符号来表示数字。

比如：

阿拉伯数字系统：0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

罗马数字系统：I II III IV V VI VII…

数字系统分类：

位置化系统和非位置化系统

2.2 位置化数字系统

在位置化数字系统中，数字符号所占据的位置决定了其表示的值。

在该系统中，数字这样表示：

它的值是：

其中：S是一套符号集，b是底（或基数），b=S符号集中的符号总数，+/-表示数字为正或负。

2.2.1 十进制系统

符号集S={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}

底b=10

为了简便，通常省略括号、底、和正号。如 $+ (552.31)$ 写成 $552.31$ ，底和加号是隐含的。

注意：

这些符号不能直接存储在计算机中
计算机存储正负数的方式不同

整数表示：

位置量表示：

示例：

例2-2

以下显示了在十进制系统中使用位置量表示整数-7508。我们已经使用1，10，100和1000来代替10的幂。

最大值：
有时我们需要知道可以用数码k表示的十进制整数的最大值。答案是 $N_{max}=10^k-1$ 。例如，如果k=5，那么这个最大值就是 $N_{max}=10^5-1=99999$ 。

实数：

在十进制系统中，实数（带有小数部分的数字）也是我们所熟悉的。例如，使用该系统来表示元和分（$23.40）整数。我们可以把实数表示为 $\pm S_{k-1}\dots S_1S_0\cdot S_{-1}\dots S_{-1}$ ，其值计算为：

其中， $S_1$ 是1个数码，b=10是底，k是整数部分数码的数量， $l$ 是小数部分数码的数量。十进制小数点是我们用于分割整数部分和小数部分的。

示例：

2.2.2 二进制系统

符号集S={0,1}

底b=2

该系统中的符号常被称为二进制数码或**位（**位数码）

数据和程序是以二进制模式（即位模式），存储在计算机中的，这是因为计算机由电子开关制成，它们仅有开和关两种状态，1和0分别表示两种不同的状态。

整数表示：
我们可以把整数表示为 $\pm(S_{k-1}\cdots S_{1}S_{0})_{2},$ ，其值计算为：

$N=\pm S_{k-1}\times2^{k-1}+S_{k-2}\times2^{k-2}+\cdots+S_2\times2^2+S_1\times2^1+S_0\times2^0$

其中， $S_i$ 是1个数码，b=2是底，k是数码的数量。

位置量表示：

另一种表示二进制数的方法是使用位置量( $2^0$ ， $2^1$ , $\dots$ ， $2^{k-1}$ )。图2-2显示了在二进制系统中使用位置量表示一个数。

示例：

例2.4 以下显示了与十进制数 25 等值的二进制数 $11001)_2$ 。下标2表示底是 2。

注意，相等的十进制数为N=16+8+0+0+1=25。

最大值：
数码k表示的二进制整数的最大值是 $N_{\mathrm{max}}=2^{k}-1$ 。例如，如果k=5，那么这个最大值就 $N_{\mathrm{max}}=2^{5}-1=31$ 。

实数：

在二进制系统中，一个实数(可带有小数部分的数字)可以由左边的k位和右边的位组成， $\pm(S_{k-1}\cdots S_{1}S_{0}\cdot S_{-1}\cdots S_{-l})_{2}$ ，其值计算为：

其中，S是1个位，b-2是底，k是小数点左边位的数量，l是小数点右边位的数量。注意k从0开始，而l从-1开始。最高的幂是k-1且最低的是-l。

例2.5 以下显示了与十进制数 5.75 等值的二进制数 $101.11)_2$ 。

注意，相等的十进制数为R=4+0+1+0.5+0.25=5.75。

2.2.3 十六进制系统

尽管二进制系统用于存储计算机数据，但是不便于在计算机外部表示数字，因为与十进制相比，二进制符号过长。但是十进制不能直接存储在计算机中，在二进制和十进制数字之间没有显然的关系，而且它们直接的转换也不快捷。

为了克服这个问题，发明了两种位置化系统：十六进制和八进制

符号集S={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F}

说明：A,B,C,D,E,F分别对应十进制中的10,11,12,13,14,15 不区分字母大小写底b = 16

整数：

我们可以把整数表示为 $\pm S_{k-1}\cdots S_1S_0$ ，其值计算为：

$N=\pm S_{k-1}\times16^{k-1}+S_{k-2}\times16^{k-2}+\cdots+S_2\times16^2+S_1\times16^1+S_0\times16^0$

其中， $S_i$ 是1个数码，b=16是底，k是数码的数量。

位置量表示：

另一种表示十六进制数的方法是使用位置量( $16^0$ ， $16^1$ , $\dots$ ， $16^{k-1}$ )。图2-3显示了在十六进制系统中使用位置量表示一个数。

示例：

例2.6 以下显示了与十进制数 686 等值的十六进制数 $2AE)_{16}$ 。

最大值：

数码k表示的十六进制整数的最大值是 $N_{\max}=16^{k}-1$ 。例如，如果k=5，那么这个最大值就是 $N_{\mathrm{max}} = 16^{5} - 1 = 1 048 575$ 。

实数：尽管一个实数可以用十六进制系统表示，但并不常见。

2.2.4 八进制系统

符号集S={0,1,2,3,4,5,6,7}

底b=8

八进制系统用于二进制系统的计算机外部表现形式

整数：

我们可以把整数表示为 $\pm S_{k-1}\cdots S_{1}S_{0}$ ，其值计算为:

$N=\pm S_{k-1}\times8^{k-1}+S_{k-2}\times8^{k-2}+\cdots+S_{2}\times8^{2}+S_{1}\times8^{1}+S_{0}\times8^{0}$

其中， $S_i$ 是1个数码，b=8是底，k是数码的数量。

另一种表示八进制数的方法是使用位置量 $(8^0，8^1，\dots，8^{k-1})$ 。图2-4显示了在八进制系统中使用位置量表示一个数。

例2.7 以下显示了与十进制数 686 等值的八进制数 $1256)_8$ 。

注意，相等的十进制数为 N-512+128+40+6=686。

最大值
数码k表示的八进制整数的最大值是$ N_{\mathrm{max}}=8^{{k}-1$。例如，如果k=5，那么这个最大值就是$N_{\mathrm{max}}=8}{5}-1=32 767$。

实数
尽管一个实数可以用八进制系统表示，但并不常见。

2.2.5 4种位置化数字系统小结

2.2.6 转换

什么是进制？

十进制逢十进一
二进制逢二进一
八进制逢八进一
十六进制逢十六进一

其它进制转换为十进制

其它进制转换为十进制是简单而迅速的，将数码乘以其在源系统中的位置量并求和便得到十进制中的数。

具体请参见下图：

二进制进制转换为十进制：

例2.8 下面显示如何将二进制数 $110.11)^2$ 转换为十进制数6.75。

十六进制进制转换为十进制：

例2.9 下面显示如何将十六进制数 $1A.23)_{16}$ 转换为十进制数。

注意这个十进制表示并不精确，因为 $3*16^{-2}=0.01171875$ 。四舍五人成3位小数(0.012)，也就是说， $3*16^{-2} \approx 0.012$ 。数字转换时我们需要指明允许保留几位小数。

八进制进制转换为十进制：

例2.10 下面显示如何将八进制数 $23.17)_8$ 转换为十进制数。

在十进制中 $23.17)_8≈19.234$ 。再一次，我们把 $7*8^{-2}=0.109375$ 四舍五人。

十进制转换其它进制：

可以将十进制转换为与它等值的其它进制，需要两个过程：

转换整数部分
转换小数部分

1.转换整数部分：

十进制转换二进制：

示例：
例2.11 下面演示如何将十进制数35转换为二进制数。我们从这个十进制数开始，一边连续寻找除以2得到的商和余数，一边左移。结果是$ 35=(100011)_2$。

十进制转换八进制：

示例：

例2.12 下面演示如何将十进制数126转换为八进制数。我们一边连续寻找除以8得到的商和余数，一边左移。结果是 $126=(176)_8$ 。

十进制转换十六进制：

示例：

例2.13 下面演示如何将十进制数126 转换为十六进制数。我们一边连续寻找除以16得到的商和余数，一边左移。结果是 $126 = (7 E) 16$ 。

2.转换小数部分：

十进制转二进制：

示例：

例2.14 将十进制数 0.625 转换为二进制数。

**解：**因为0.625没有整数部分，该例子显示小数部分如何计算。这里是以2为底。在左边一角写上这个十进制数。连续乘2，并记录结果的整数和小数部分。小数部分移到右边，整数部分写在每次运算的下面。当小数部分为0，或达到足够的位数时结束。结果是 $0.625=(0.101)_2$ 。

十进制转八进制：

示例：

例2.15下面演示如何将0.634转换为八进制数且精确到4位小数。结果是 $0.634=(0.5044)_8$ 。

十进制转十六进制：

示例：

例2.16下面演示如何将十进制数178.6转换为十六进制数且精确到1位小数。结果是 $178.6=(B2.9)_{16}$ 。注意，以16 为底时除或乘以 16。

二进制&十六进制互转

我们能轻松将数字从二进制转换到十六进制，反之亦然。这是因为在这两个底之间存在一种关系：二进制中的4位恰好是十六进制中的1位。图2-10显示了该转换是如何进行的。

二进制转十六进制：

例2.19下面演示如何将二进制数 $10011100010)_2$ 转换为十六进制数。解我们先将二进制数排为4位一组的形式：10011100010。注意最左边一组可能是1到4位不等。我们根据表 -2所示的值对照每组等量转换得到十六进制数 $4E2)_{16}$ .

十六进制转二进制：

例2.20 与十六进制数 $24C)_{16}$ 相等的二进制数是多少?解将每个十六进制数码转换成4位一组的二进制数:2→0010，4→0100，以及C→1100。该结果是 $001001001100)_2$ 。

二进制&八进制互转

我们能轻松将数字从二进制转换到八进制，反之亦然。这是因为在这两个底之间存在一种关系：二进制中的3位恰好是八进制中的1位。图2-11显示了该转换是如何进行的。

二进制转八进制：

例2.21 下面演示如何将二进制数 $101110010)_2$ 转换为八进制数。

解每3位一组转换为1位八进制数码。根据表2-2所示的值对照每3位一组等量转换得到八进制数结果是 $562)_8$ 。

八进制转二进制：

例2.22 与 $24)_8$ 相等的二进制数是多少?
解将每个八进制数码写成对等的二进制位组，得到 $010100)_2$ 。

八进制&十六进制互转

八进制转十六进制，可以先转为二进制，再转为十六进制

十六进制转八进制，可以先转为二进制，再转为八进制

2.3 非位置化数字系统

八进制：**

例2.21 下面演示如何将二进制数 $101110010)_2$ 转换为八进制数。

解每3位一组转换为1位八进制数码。根据表2-2所示的值对照每3位一组等量转换得到八进制数结果是 $562)_8$ 。

八进制转二进制：

例2.22 与 $24)_8$ 相等的二进制数是多少?
解将每个八进制数码写成对等的二进制位组，得到 $010100)_2$ 。

八进制&十六进制互转

八进制转十六进制，可以先转为二进制，再转为十六进制

十六进制转八进制，可以先转为二进制，再转为八进制

[外链图片转存中…(img-PZAIWGLW-1721735557397)]

2.3 非位置化数字系统

略