本文是针对L. Miretti, R. L. G. Cavalcante and S. Stanczak, “FDD Massive MIMO Channel Spatial Covariance Conversion Using Projection Methods,” 2018 IEEE International Conference on Acoustics, Speech and Signal Processing (ICASSP), 2018, pp. 3609-3613, doi: 10.1109/ICASSP.2018.8462048.的学习笔记

本文解决的是在FDD系统中信道估计问题，基于的基本原理是角度功率谱的上下行信道互易性，求解问题时采用了在无限维Hilbert空间中的投影方法。

系统模型

考虑MU-MISO系统，第$k$个采样时刻信道向量为$\mathbf{h}[k]:=\mathbf{h}\left(k{T}_c\right),k\in \mathbb{Z}$，信道服从如下分布：$$\mathbf{h}[k]\sim \mathcal{C}\mathcal{N}(0,\mathbf{R})\text{ i.i.d. }\text{\hspace{1em}(1)}$$其中$\mathbf{R}$表征信道的相关性信息，即信道的二阶统计信息。信道的上下行信道相关矩阵如下：$$\begin{array}{rl}{\mathbf{R}}^u& ={\int }_{-\pi }^{\pi }\rho (\theta ){\mathbf{a}}^u(\theta ){\mathbf{a}}^u(\theta {)}^{H}d\theta \\ {\mathbf{R}}^d& ={\int }_{-\pi }^{\pi }\rho (\theta ){\mathbf{a}}^d(\theta ){\mathbf{a}}^d(\theta {)}^{H}d\theta \end{array}\text{\hspace{1em}(2)}$$其中$\rho (\theta )$表征信道的角度功率谱。在FDD系统中，上下行信道的角度功率谱是互易的，所以可以利用上行信道的测量结果求出角度功率谱，进而构造下行信道，这也是本文的基本思想。
信道构造方式如下 ：$$\mathbf{h}[k]={\mathbf{U}}_p{\mathbf{\Delta }}_p^{\frac{1}{2}}\mathbf{w}[k]\text{\hspace{1em}(3)}$$其中${\mathbf{R}}^d=\mathbf{U}\mathbf{\Delta }{\mathbf{U}}^H$，而$p:=\mathrm{rank}\left({\mathbf{R}}^d\right)<N$，即相关矩阵并不保证满秩，则其非零特征值及特征向量为${\mathbf{U}}_p{\mathbf{\Delta }}_p^{\frac{1}{2}}\in {\mathbb{C}}^{N\times p}$，而$\mathbf{w}[k]\in {\mathbb{C}}^{p\times 1}\sim \mathcal{C}\mathcal{N}(0,\mathbf{I})\text{ i.i.d }$是正常的高斯向量，用以构造信道矩阵的随机特征。

本文重点是APS算法。

APS估计算法

将$(2)$式向量化，有：$$r_m^u={\int }_{-\pi }^{\pi }\rho (\theta )g_m^u(\theta )d\theta m=1\dots M,M=2N^2\text{\hspace{1em}(4)}$$其中$r_m^u\in \mathbb{R}$是向量 r u : = vec ⁡ ( [ ℜ { R u } ℑ { R u } ] ) \mathbf{r}^{u}:=\operatorname{vec}\left(\left[\Re\left\{\mathbf{R}^{u}\right\} \Im\left\{\mathbf{R}^{u}\right\}\right]\right) ru:=vec([ℜ{Ru}ℑ{Ru}])的第$m$项，$g_m^u:[-\pi ,\pi ]⟶\mathbb{R}$是${\mathbf{a}}^u(\theta ){\mathbf{a}}^u(\theta {)}^H$向量化之后的对应项。我们在$L^2[-\pi ,\pi ]$上定义一个$\mathcal{H}$空间，内积定义为$⟨f,g⟩={\int }_{-\pi }^{\pi }f(\theta )g(\theta )d\theta$，则上式可以表述为：$$r_m^u=⟨\rho ,g_m^u⟩m=1\dots M\text{\hspace{1em}(5)}$$该式表明$r_m^u$是APS与基向量内积的结果，考虑到基向量组成的矩阵可能不适定，改为集合论表述：$$\text{ find }{\rho }^{\ast }\in V:={\cap }_{m=1}^M{V}_m\ne \varnothing \text{\hspace{1em}(6)}$$其中 V m : = { ρ ∈ H : ⟨ ρ , g m u ⟩ = r m u }  for  m = 1 … M V_{m}:=\left\{\rho \in \mathcal{H}:\left\langle\rho, g_{m}^{u}\right\rangle=r_{m}^{u}\right\} \text { for } m=1 \ldots M Vm​:={ρ∈H:⟨ρ,gmu​⟩=rmu​} for m=1…M。

该表述的物理意义是$V_m$表征了与基向量$g_m^u$内积之后的结果是$r_m^u$的空间，而我们所选的APS向量即在所有$V_m$的交基中。到这里为止，本文提供了两种在交集空间中选取$\rho$的算法：最小范数选取以及EAPM算法。

最小范数选取

$$\hat{\rho }=\arg \underset{{\rho }^{\ast }\in V}{\min }\Vert {\rho }^{\ast }\Vert \text{\hspace{1em}(7)}$$该最小范数解对应的是0向量在$V$空间中的投影，其闭式解形式如下：$$\hat{\rho }(\theta )=\sum _{m=1}^M{\alpha }_m{g}_m^u(\theta )\text{\hspace{1em}(8)}$$其中$\mathbf{\alpha }:=\left[{\alpha }_1\dots {\alpha }_M\right]$为：$$\begin{array}{c}{\mathbf{r}}^u={\mathbf{G}}^u\mathbf{\alpha },\\ {\mathbf{G}}^u=\left[\begin{array}{cccc}⟨g_1^u,g_1^u⟩& ⟨g_1^u,g_2^u⟩& \dots & ⟨g_1^u,g_M^u⟩\\ ⟨g_2^u,g_1^u⟩& ⟨g_2^u,g_2^u⟩& \dots & ⟨g_2^u,g_M^u⟩\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ ⟨g_M^u,g_1^u⟩& ⟨g_M^u,g_2^u⟩& \dots & ⟨g_M^u,g_M^u⟩\end{array}\right],\end{array}\text{\hspace{1em}(9)}$$这里并不要求$g_i^u$是独立的。

EAPM算法（Extrapolation Alternating Projection Method）

在上述原理基础上，进一步利用APS的一些先验信息以达到拿到更好的解的目的。这里利用的是APS为实数且大于零这一性质，迭代算法如下：$${\rho }^{(i+1)}={\rho }^{(i)}+\nu K_i\left[P_V\left(P_Z\left({\rho }^{(i)}\right)\right)-{\rho }^{(i)}\right](\forall i\in \mathbb{N})\text{\hspace{1em}(10)}$$其中$P_V,P_Z$为向$V$空间及$Z$空间的投影算法：$$P_V(x)=x-\sum _{m=1}^M{\beta }_m{g}_m^u+P_V(0)\text{\hspace{1em}(11)}$$其中$\mathbf{\beta }:=\left[{\beta }_1\dots {\beta }_M\right]$为$\mathbf{b}={\mathbf{G}}^u\mathbf{\beta }$的解，$\mathbf{b}$有：$b_m=⟨x,g_m^u⟩$。向$Z$空间投影为$$P_Z(x)=\{\begin{array}{ll}x(\theta ),& \text{ for }x(\theta )\ge 0\\ 0,& \text{ otherwise }\end{array}\text{\hspace{1em}(12)}$$迭代有解。