一：候选键的判断

属性集的闭包: 令α为一属性集。我们称在函数依赖集F下由α函数确定的所有属性的集合为F下α的闭包，记为α+ 。

下面给出一个计算α+的算法，该算法的输入是函数依赖集F和属性集α，输出存储在变量result中。

算法：

result=α;
while(result发生变化)do
    for each 函数依赖β→γ in F do
    begin
        if β∈result then result=(result∪γ);
    end

       此算法是要算出α属性所能决定的所有属性是那些，包括传递依赖的属性，如主键所能决定的是整个表的所有属性。例如α->β、β->γ、β->δ、δ->θ，此算法能算出属性为：{α、β、γ、β、δ、θ}

属性集闭包的计算有以下两个常用用途：
1.判断α是否为超码 : 通过计算α+（α在F下的闭包），看α+ 是否包含了R中的所有属性。若是，则α为R的超码。
2.通过检验是否β∈α+，来验证函数依赖是否成立。也就是说，用属性闭包计算α+，看它是否包含β。

 例题：

给定关系R(A1，A2，A3，A4)上的函数依赖集F={A1→A2，A3→A2，A2→A3，A2→A4}，R的候选关键字为________。
（37）A. A1 　B. A1A3 　C. A1A3A4　D. A1A2A3

首先我们按照上面的算法计算A1+ 。
result=A1，
由于A1→A2，A1∈result，所以result=result∪A2=A1A2
由于A2→A3，A2∈result，所以result=result∪A3=A1A2A3
由于A2→A4，A2∈result，所以result=result∪A4=A1A2A3A4
由于A3→A2，A3∈result，所以result=result∪A2=A1A2A3A4

通过计算我们看到，A1+ =result={A1A2A3A4}，所以A1是R的超码，理所当然是R的候选关键字。此题选A 。

二  无损分解的判断。
如果R1∩R2是R1或R2的超码，则R上的分解（R1，R2）是无损分解。这是一个充分条件。

例题:

●设关系模式R<U, F>，其中U=｛A, B, C, D, E｝，F＝{A→BC，C→D，BC→E，E→A｝，则分解ρ={R1（ABCE），R2（CD）｝满足 （43） 。

A．具有无损连接性、保持函数依赖
             B．不具有无损连接性、保持函数依赖
             C．具有无损连接性、不保持函数依赖
             D．不具有无损连接性、不保持函数依赖
 

step1: R1∩R2={C}　

step2: 计算C+。

解：

R1∩R2=result=c

由于C→D，C∈result，所以result=result∪D=CD
可见C是R2的超码，该分解是一个无损分解。
 

三   保持依赖的判断。
如果F上的无论那个函数依赖都能在其分解后的若干个关系中找到一个关系，并且该函数依赖在此关系上成立，则这个分解是保持依赖的（这是一个充分条件），即F上全部函数依赖都能在分解后的关系上成立。如果上述判断失败，并不能断言分解不是保持依赖的，还要使用下面的通用方法来做进一步判断。

例如：

··· 给定关系模式R<U, F>，U=｛A,B, C, D, E｝，F＝{B→A，D→A，A→E，AC→B｝，其候选关键字为   ，则分解ρ={R1（ABCE），R2（CD）｝满足。
      A．ABD         B．ABE        C．ACD D．CD

A．具有无损连接性、保持函数依赖
                B．不具有无损连接性、保持函数依赖
               C．具有无损连接性、不保持函数依赖
               D．不具有无损连接性、不保持函数依赖

对于第一问，分别计算ABCD四个选项的闭包，
（ABD）+ = { ABDE }
（ABE）+ = { ABE }
（ACD）+ = { ABCDE }
（CD）+ = { ABCDE }
选D。

再看第二问。
先做无损链接的判断。R1∩R2={C}，计算C+。

result=C
因此C既不是R1也不是R2的超码，该分解不具有无损分解性。

再做保持依赖的判断。
B→A，A→E，AC→B在R1上成立，D→A在R1和R2上都不成立，因此需做进一步判断。
 

由于B→A，A→E都是被保持的（因为它们的元素都在R1中），因此我们要判断的是D→A，AC→B是不是也被保持。

对于D→A应用算法二：
result=D
对R1，result∩R1=ф（空集，找不到空集的符号，就用这个表示吧），t=ф，result=D
再对R2，result∩R2=D，D+ =ADE ，t=D+ ∩R2=D   (D+ =ADE表示result∩R2的闭包值为ADE,用算法一计算得到)
一个循环后result未发生变化，因此最后result=D，并未包含A，所以D→A未被保持，该分解不是保持依赖的。

选D。

在以下给定的关系模式分解中，D→A的依赖是保持下来的：

给定关系模式R<U, F>，U=｛A, B, C, D, E,h｝，F＝{B→A，D→A，A→E，AC→B,d→h,h→b｝，则分解ρ={R1（ABCE），R2（CDh）,(abh)｝

原因是：D→H，H→B，B→A，所以D→A成立。

总结：

函数依赖：

u X → Y、Y→Z ， ”→” 符号左右两边的属性X、Y必须在同一个关系①中X与Y的依赖关系才能成立，Y与Z必需在同一个关系②中Y与Z的依赖关系才能成立，但X与Z却可以不必在同一个关系中，函数的传递依赖关系还是被传递保持下来的，即X→Z仍然是成立，即关系①中的X仍能决定关系②中的Z。

u  若在关系③中有四个属性（A、B、C、D），如果存在如下函数依赖：A→B、B→C ；关系③如果被分解为若干个关系，其中的一个关系是（A、C），则在关系（A、C）中A→C仍能成立，即函数依赖A→C在关系（A、C）中被保留下来。