Cesium中的线性代数和计算机图形学知识介绍

前言

在 Cesium（包括 CesiumJS 和用于 Unreal Engine 中的 Cesium for Unreal）中，线性代数和计算机图形学知识被广泛应用于 3D 地理可视化、地形渲染、空间分析等领域，本文将对一些常见的知识进行基本介绍。

1.基础介绍

1.1 线性代数

1.1.1 向量 (Vectors)

基本运算：向量加法、减法、标量乘法等，用于表示位置、方向、速度等。

点积 (Dot Product)：计算两个向量之间的夹角，应用于光照、视图方向等。

叉积 (Cross Product)：计算两个向量的垂直向量，用于法线计算和旋转。

单位化 (Normalization)：将向量长度标准化，用于方向矢量和法线计算。

向量长度 (Length)：计算向量的长度，用于距离测量和方向计算。

1.1.2 矩阵 (Matrices)

基本运算：矩阵加法、乘法，用于合成变换（如组合平移、旋转、缩放）。

转置 (Transpose)：用于求解矩阵的反向操作。

行列式 (Determinant) 和逆矩阵 (Inverse Matrix)：用于解决线性方程和逆变换。

4x4 齐次坐标矩阵 (Homogeneous Transformation Matrix)：用于三维仿射变换，包括平移、旋转、缩放、透视投影等。

1.1.3 四元数 (Quaternions)

表示旋转：用于避免欧拉角旋转中的万向锁问题，高效地处理三维旋转。

四元数插值 (Slerp)：用于平滑旋转动画和相机路径。

1.2 计算机图形学

1.2.1 投影变换 (Projection Transformations)

透视投影 (Perspective Projection)：模拟人眼观察效果，近大远小。

正交投影 (Orthographic Projection)：用于平行投影，保持物体尺寸一致。

投影矩阵 (Projection Matrix)：将三维坐标变换到二维屏幕坐标。

1.2.2 视图变换 (View Transformations)

视图矩阵 (View Matrix)：将世界坐标系转换到相机视角坐标系，管理相机的位置和方向。

相机变换 (Camera Transform)：定义观察者在场景中的位置、方向和视角。

1.2.3 模型变换 (Model Transformations)

模型矩阵 (Model Matrix)：对对象进行局部变换（如平移、旋转、缩放）。

层级变换 (Hierarchical Transformations)：处理复杂对象时管理局部和全局变换。

1.2.4 光照与着色 (Lighting and Shading)

光照模型 (Lighting Models)：如朗伯反射模型 (Lambertian Reflectance) 和菲涅耳反射 (Fresnel Reflection)。

着色算法 (Shading Algorithms)：如平坦着色 (Flat Shading)、高光着色 (Specular Shading)、菲涅耳着色 (Fresnel Shading)。

法线计算 (Normal Calculation)：用于光照计算和表面特性描绘。

1.2.5 纹理映射 (Texture Mapping)

UV坐标变换 (UV Mapping)：将纹理映射到三维表面，用于丰富表面细节。

1.2.6 裁剪与视锥 (Clipping and Frustum Culling)

视锥裁剪 (Frustum Culling)：剔除视锥外的物体，优化渲染性能。

屏幕空间裁剪 (Screen-Space Clipping)：确保只渲染可见的部分。

1.2.7 地形和海量数据渲染

地形细分 (Terrain Tessellation)：用于动态细分地形，实现高分辨率细节。

多分辨率网格 (LOD, Level of Detail)：根据视距动态调整渲染细节，提升性能。

2.详细介绍

2.1 线性代数知识

2.1.1 向量 (Vectors)

1.基本运算

向量加法/减法：
- 应用：用于移动物体、计算两个点之间的位移。
- 示例：如果有两个向量 $\mathbf{v1} = [1, 2, 3]$ 和 $\mathbf{v2} = [4, 5, 6]$ ，那么 $\mathbf{v1} + \mathbf{v2} = [5, 7, 9]$ 。
标量乘法：
- 应用：用于缩放向量。
- 示例：向量 $\mathbf{v} = [1, 2, 3]$ 乘以标量 2，得到 $\mathbf{v} \cdot 2 = [2, 4, 6]$ 。

2.点积 (Dot Product)

应用：计算两个向量之间的夹角，用于光照计算和视图方向判断。
公式： $\mathbf{v1} \cdot \mathbf{v2} = |\mathbf{v1}| |\mathbf{v2}| \cos \theta$ 。
示例：对于向量 $\mathbf{v1} = [1, 2, 3]$ 和 $\mathbf{v2} = [4, -5, 6]$ ，点积为 $\mathbf{v1} \cdot \mathbf{v2} = 1 \cdot 4 + 2 \cdot (-5) + 3 \cdot 6 = 12$ 。

3.叉积 (Cross Product)

应用：用于计算法线向量和旋转方向。
公式： $\mathbf{v1} \times \mathbf{v2} = \begin{bmatrix} v1_y \cdot v2_z - v1_z \cdot v2_y \\ v1_z \cdot v2_x - v1_x \cdot v2_z \\ v1_x \cdot v2_y - v1_y \cdot v2_x \end{bmatrix}$ 。
示例：对于向量 $\mathbf{v1} = [1, 2, 3]$ 和 $\mathbf{v2} = [4, 5, 6]$ ，叉积为 $\mathbf{v1} \times \mathbf{v2} = [-3, 6, -3]$ 。

4.单位化 (Normalization)

应用：标准化向量用于方向计算和光照。
公式： $\hat{\mathbf{v}} = \frac{\mathbf{v}}{|\mathbf{v}|}$ 。
示例：向量 $\mathbf{v} = [1, 2, 2]$ ，单位化后为 $\hat{\mathbf{v}} = \frac{[1, 2, 2]}{\sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2}} = [0.333, 0.666, 0.666]$ 。

5.向量长度 (Length)

应用：计算向量的长度，用于距离测量。
公式： $|\mathbf{v}| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2 + v_z^2}$ 。
示例：向量 $\mathbf{v} = [1, 2, 2]$ 的长度为 $|\mathbf{v}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} = 3$ 。

2.1.2 矩阵 (Matrices)

1.基本运算

矩阵乘法：
- 应用：用于组合多种变换，如平移、旋转、缩放。
- 示例：矩阵 $\mathbf{M1} = \begin{bmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{bmatrix}$ 和 $\mathbf{M2} = \begin{bmatrix}5 & 6 \\ 7 & 8\end{bmatrix}$ 的乘积为 $\mathbf{M1} \cdot \mathbf{M2} = \begin{bmatrix}19 & 22 \\ 43 & 50\end{bmatrix}$ 。
转置：
- 应用：用于求解变换的逆变换。
- 示例：矩阵 $\mathbf{M} = \begin{bmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{bmatrix}$ 的转置为 $\mathbf{M}^T = \begin{bmatrix}1 & 3 \\ 2 & 4\end{bmatrix}$ 。

2.行列式 (Determinant) 和逆矩阵 (Inverse Matrix)

应用：用于求解线性方程和坐标变换。
示例：矩阵 $\mathbf{M} = \begin{bmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{bmatrix}$ 的行列式为 $\text{det}(\mathbf{M}) = -2$ ，逆矩阵为 $\mathbf{M}^{-1} = \frac{1}{-2} \begin{bmatrix}4 & -2 \\ -3 & 1\end{bmatrix}$ 。

3. 4x4齐次坐标矩阵 (Homogeneous Transformation Matrix)

应用：用于三维仿射变换（平移、旋转、缩放）。
示例：将点 $\mathbf{p} = [1, 2, 3, 1]$ 平移 $[d x, d y, d z]$ ，变换矩阵为：

$\mathbf{T} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & dx \\ 0 & 1 & 0 & dy \\ 0 & 0 & 1 & dz \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

2.1.3 四元数 (Quaternions)

1.表示旋转

应用：用于避免欧拉角的万向锁问题，处理三维旋转。
公式：四元数 $q = w + x i + y j + z k$ 。
示例：旋转向量 $[1, 0, 0]$ 90 度，四元数表示为 $\cos(45^\circ) + i\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

2.四元数插值 (Slerp)

应用：用于平滑旋转动画和路径插值。
示例：两个四元数 $q 1$ 和 $q 2$ 的插值为
$\frac{\sin[(1-t)\theta]}{\sin \theta} q_1 + \frac{\sin[t\theta]}{\sin \theta} q_2$

2.2 计算机图形学知识

2.2.1 投影变换 (Projection Transformations)

1.透视投影 (Perspective Projection)

应用：将三维场景转换为二维图像，模拟人眼观察效果。
公式：

$\mathbf{P} = \begin{bmatrix} \frac{1}{\tan(\frac{fov}{2})} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{\tan(\frac{fov}{2})} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{far+near}{far-near} & \frac{2 \cdot far \cdot near}{far-near} \\ 0 & 0 & -1 & 0 \end{bmatrix}$

示例：将视野为 60 度、近裁剪面为 1，远裁剪面为 1000 的相机进行透视投影，投影矩阵为：

$\mathbf{P} = \begin{bmatrix} 1.732 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1.732 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1.002 & -2.002 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \end{bmatrix}$

2.正交投影 (Orthographic Projection)

应用：将三维物体平行投影到二维平面，保持物体尺寸一致。
公式：

$\mathbf{P} = \begin{bmatrix} \frac{2}{r-l} & 0 & 0 & \frac{l+r}{l-r} \\ 0 & \frac{2}{t-b} & 0 & \frac{b+t}{b-t} \\ 0 & 0 & \frac{2}{n-f} & \frac{f+n}{n-f} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

示例：投影矩阵为：

$\mathbf{P} = \begin{bmatrix} \frac{1}{5} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{5} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{10} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

将三维点投影到二维平面。

2.2.2 视图变换 (View Transformations)

1.视图矩阵 (View Matrix)

应用：将世界坐标转换为相机视角坐标，管理相机的位置和方向。
公式：

$\mathbf{V} = \begin{bmatrix} \mathbf{R} & \mathbf{t} \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$

示例：假设相机在 $[1, 2, 3]$ 处，朝向为 $[0, 0, - 1]$ ，则视图矩阵为：

$\mathbf{V} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & -2 \\ 0 & 0 & 1 & -3 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

2.2.3 模型变换 (Model Transformations)

1.模型矩阵 (Model Matrix)

应用：对对象进行局部变换，如平移、旋转、缩放。
公式：

$\mathbf{M} = \mathbf{T} \cdot \mathbf{R} \cdot \mathbf{S}$

示例：对对象进行平移 $[d x, d y, d z]$ ，旋转 $\theta$ 度，缩放 $[s x, sy, sz]$ ，模型矩阵为：

$\mathbf{M} = \begin{bmatrix} sx & 0 & 0 & dx \\ 0 & sy & 0 & dy \\ 0 & 0 & sz & dz \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

2.2.4 光照与着色 (Lighting and Shading)

1.光照模型 (Lighting Models)

应用：计算光线与物体表面的交互。
朗伯反射模型 (Lambertian Reflectance)：

$\mathbf{I} = \mathbf{L} \cdot \max(\mathbf{N} \cdot \mathbf{L}, 0)$

示例：光源 $\mathbf{L} = [1, 1, 1]$ ，法线 $\mathbf{N} = [0, 1, 0]$ ，则亮度为：

$\max(0, [0, 1, 0] \cdot [1, 1, 1]) = 1$

2.着色算法 (Shading Algorithms)

平坦着色 (Flat Shading)：对每个多边形应用相同的颜色。
高光着色 (Specular Shading)：计算高光反射，模拟镜面效果。

3.法线计算 (Normal Calculation)

应用：用于光照计算和表面特性描绘。
公式：

$\mathbf{N} = \frac{\mathbf{v1} \times \mathbf{v2}}{|\mathbf{v1} \times \mathbf{v2}|}$

示例：两个向量 $\mathbf{v1} = [1, 0, 0]$ 和 $\mathbf{v2} = [0, 1, 0]$ ，法线 $\mathbf{N} = [0, 0, 1]$ 。

2.2.5 纹理映射 (Texture Mapping)

1.UV坐标变换 (UV Mapping)

应用：将二维纹理映射到三维物体表面。
示例：将纹理 $(u, v)$ = (0.5, 0.5) 映射到三维点 $\mathbf{p} = [x, y, z]$ 。

2.2.6 裁剪与视锥 (Clipping and Frustum Culling)

1.视锥裁剪 (Frustum Culling)

应用：剔除视锥外的物体以提高渲染效率。
示例：视锥为近远裁剪面 $n e a r = 1$ ， $f a r = 1000$ ，仅渲染视锥内的物体。

2.2.7 地形和海量数据渲染

1.地形细分 (Terrain Tessellation)

应用：动态细分地形，实现高分辨率细节。
示例：远处的地形使用粗糙的网格，近处使用细分网格。

2.多分辨率网格 (LOD, Level of Detail)

应用：根据视距动态调整渲染细节，提升性能。
示例：远处的物体使用低分辨率模型，近处使用高分辨率模型。

3.总结

这些知识每个拿出来讲都有的讲，我们这里算是一个入门介绍，抛砖引玉，授人以鱼不如授人以渔，希望各位做三维的giser，不要仅局限于api的调用，也要进行深入的原理剖析，才能让这个行业发展壮大。