最长公共子序列
题目描述
给定两个长度分别为N和M的字符串A和B，求既是A的子序列又是B的子序列的字符串长度最长是多少。
输入格式
第一行包含两个整数N和M。
第二行包含一个长度为N的字符串，表示字符串A。
第三行包含一个长度为M的字符串，表示字符串B。
字符串均由小写字母构成。
输出格式
输出一个整数，表示最大长度。
数据范围
1≤N,M≤1000
输入样例：
4 5
acbd
abedc
输出样例：
3
题解
状态计算考虑最后一个元素，分别考虑a[i], b[j] 是否在集合中，这里的集合是指既包含在a[1~i]中，又包含在b[1-j]中。0表示在，1表示不在。
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <string>
using namespace std;
const int N = 1010;
int f[N][N];
char a[N], b[N];
int main()
{
int n, m;
cin >> n >> m;
cin >> a + 1 >> b + 1; //避免下标越界，起始位置从1开始
for(int i = 1; i <= n; i++)
{
for(int j = 1; j <= m; j++)
{
if(a[i] != b[j])
{
f[i][j] = max(f[i - 1][j], f[i][j - 1]);
}
else
{
f[i][j] = f[i - 1][j - 1] + 1;
}
}
}
cout << f[n][m] << endl;
return 0;
}
最长上升子序列
题目描述
给定一个无序的整数数组，找到其中最长上升子序列的长度。
示例:
输入: [10,9,2,5,3,7,101,18]
输出: 4
解释: 最长的上升子序列是 [2,3,7,101]，它的长度是 4。
题解
状态计算考虑最后一个元素，判断在a[1~i]中是否有一个元素a[k]( 0 =< k <= i)小于a[i]
小于的话就可以转移。
解法一
int lengthOfLIS(vector<int>& nums) {
int n = nums.size();
vector<int> f(n + 1, 1);
for(int i = 0; i < n; i++)
{
for(int j = 0; j < i; j++)
{
if(nums[j] < nums[i])
{
f[i] = max(f[i], f[j] + 1);
}
}
}
int res = 0;
for(int i = 0; i < n; i++) res = max(f[i], res);
return res;
}
解法二
依然是着眼于一个上升子序列的结尾的元素；
如果已经得到的上升子序列的结尾的数越小，遍历的时候后面接上一个数，就会有更大的可能性构成一个更长的上升子序列；
既然结尾越小越好，我们可以记录在长度固定的情况下，结尾最小的那个元素的数值，这样定义也是为了方便得到「状态转移方程」。
为了与之前的状态区分，这里将状态数组命名为 tail。
定义新状态（特别重要）：tail[i] 表示长度为 i + 1 的所有上升子序列的结尾的最小值。
int lengthOfLIS(vector<int>& nums) {
int n = nums.size();
if(n < 2) return n;
vector<int> tail; //长度为i的上升子序列末尾元素
tail.push_back(nums[0]);
int end = 0;
for(int i = 1; i < n; i++)
{
if(nums[i] > tail[end])
{
tail.push_back(nums[i]);
end++;
}
else
{
int l = 0, r = end;
while(l < r)
{
int mid = l + r >> 1;
if(tail[mid] < nums[i]) l = mid + 1;
else r = mid;
}
tail[l] = nums[i];
}
}
return end + 1;
}
最长公共上升子序列
题目描述
熊大妈的奶牛在小沐沐的熏陶下开始研究信息题目。
小沐沐先让奶牛研究了最长上升子序列，再让他们研究了最长公共子序列，现在又让他们研究最长公共上升子序列了。
小沐沐说，对于两个数列A和B，如果它们都包含一段位置不一定连续的数，且数值是严格递增的，那么称这一段数是两个数列的公共上升子序列，而所有的公共上升子序列中最长的就是最长公共上升子序列了。
奶牛半懂不懂，小沐沐要你来告诉奶牛什么是最长公共上升子序列。
不过，只要告诉奶牛它的长度就可以了。
数列A和B的长度均不超过3000。
输入格式
第一行包含一个整数N，表示数列A，B的长度。
第二行包含N个整数，表示数列A。
第三行包含N个整数，表示数列B。
输出格式
输出一个整数，表示最长公共上升子序列的长度。
数据范围
1≤N≤3000,序列中的数字均不超过231−1
输入样例：
4
2 2 1 3
2 1 2 3
输出样例：
2
题解
1.状态表示：
f[i][j]代表所有a[1 ~ i]和b[1 ~ j]中以b[j]结尾的公共上升子序列的集合；
f[i][j]的值等于该集合的子序列中长度的最大值；
2.状态计算（对应集合划分）：
首先依据公共子序列中是否包含a[i]，将f[i][j]所代表的集合划分成两个不重不漏的子集：
不包含a[i]的子集，最大值是f[i - 1][j]；
包含a[i]的子集，将这个子集继续划分，依据是子序列的倒数第二个元素在b[]中是哪个数：
子序列只包含b[j]一个数，长度是1；
子序列的倒数第二个数是b[1]的集合，最大长度是f[i - 1][1] + 1；
…
子序列的倒数第二个数是b[j - 1]的集合，最大长度是f[i - 1][j - 1] + 1；
算法优化：
优化第二层循环。因为a[i] == b[j], 第三层循环的作用是求小于b[j]的方案数，也即是求小于a[i]的方案数, 求完一个j后，剩下的j继续往后走变成j+1，但第一层循环i保持不变。即if(b[j + 1] = a[i]), 又会执行第三层循环，这时就会重复求解原来求过的数。
#include "iostream"
using namespace std;
const int N = 3010;
int f[N][N];
int a[N], b[N];
int main(){
int n;
cin>>n;
for(int i = 1; i <= n; i++){
cin>>a[i];
}
for(int i = 1; i <= n; i++){
cin>>b[i];
}
//朴素算法
for(int i = 1; i <= n; i++){
for(int j = 1; j <= n; j++){
f[i][j] = f[i-1][j];
if(a[i] == b[j]){
int mmax = 1;
for(int k = 1; k < j; k++){
if(b[k]<b[j]){
mmax = max(mmax, f[i-1][k]+1);
}
}
f[i][j] = max(f[i][j], mmax);
}
}
}
//优化后的算法
/* for(int i = 1; i <= n; i++){
int mmax = 1;
for(int j = 1; j <= n; j++){
f[i][j] = f[i-1][j];
if(b[j]<a[i]) mmax = max(mmax, f[i-1][j]+1);
if(a[i] == b[j]) f[i][j] = max(f[i][j], mmax);
}
}
*/
int res = 0;
for(int i = 1; i <= n; i++) res = max(res, f[n][i]);
printf("%d\n", res);
return 0;
}