学习资料：
[1] 基于BiLSTM-CRF模型的序列标注（Tensorflow）
[2] 最通俗易懂的BiLSTM-CRF模型中的CRF层介绍
[3] CRF Layer on the Top of BiLSTM - 5 \quad 资料[2]的原系列文章的一篇
[4] HMM与CRF笔记

总的理解

如果分别学习过Bi-LSTM和CRF的原理，只需要看下面这段话即可理解他们是如何结合的：

1、Bi-LSTM 层充当的是原始 CRF 中的状态特征函数

将长为 $T$ 的句子序列通过Bi-LSTM，接上一层全连接层，该全连接层的神经元个数为所有tag的种类数 $N$（包括特殊标记<start>和<end>）.

对于一个样本而言，全连接层的输出 logits 就是 $T\times N$ 的矩阵，可以当作对每个位置（时间步）的每个词性的评分。这些评分接下来用于 CRF 层的计算。

2、CRF 层需要训练的参数是转移矩阵，而且是和 Bi-LSTM 中的参数一起训练的

3、训练阶段使用交叉熵损失，但并不需要算出所有可能序列的概率

利用极大似然估计即可推导出交叉熵损失，但为了得到 Loss 进行前向计算时，并不需要算出所有可能序列的概率（共有 $N^T$ 个可能序列），而只需要算出真实 tag 序列的概率。理由见“训练阶段”一节。

4、预测阶段使用维特比算法

这一点和传统 CRF 是一样的

注：几个参考资料都没有提到特征函数的权重，我怀疑是直接设为 1 的，以后看过别人实现的源代码再来补充这点。

训练阶段

资料 [1] 对BiLSTM层解释比较清楚，但是讲到CRF层没有讲清楚训练过程如何进行的。可以参考资料 [2,3] ，我们在训练阶段需要计算的是的真实tag序列的概率。

注：只需要计算真实 tag 序列的概率是因为，交叉熵损失的计算实际上只需要对其概率 $P$ 取负对数，其他非真实 tag 序列的概率在交叉熵损失公式中都是 0. 交叉熵损失的公式如下：$$CE(y,\hat{y})=-\sum _i{y}_i\log {\hat{y}}_i$$ 而 $y$ 是一个 one-hot 向量，意味着只有真实 tag 序列对应的位置 $i$，才有$y_i=1$，其他非真实 tag 序列对应的 $y_i$ 都是 $0$，从而：
$$CE(y,\hat{y})=-\log {\hat{y}}_i，其中i为真实标记序列对应的下标$$

而真实 tag 序列的概率为（图来自资料[3]）：
也就是只需要算出 $P$ 的分母 $\log (e^{S_1}+e^{S_2}+\cdots ++e^{S_n})$.

而这一项可以通过动态规划来计算（此图来自资料[1]）：

具体的例子可以见资料 [2] [3]

预测阶段

预测阶段也使用动态规划，也称为维特比算法，只不过这种情况下只需要求解非规范概率的最大值对应的序列即可。具体见李航的统计机器学习 11.5 节或者参考资料[4]。下面是资料[4]中对维特比算法求解最佳路径的DP矩阵解释图：