矩阵的 Jordan 标准型

如果把矩阵化成对角矩阵，关于矩阵的函数计算问题就会大大简化。但一般的矩阵未必与对角矩阵相似。
矩阵的标准型有多重，Jordan （约当）标准型是最接近对角矩阵的形式，在控制理论中经常用到。

存在条件：

设 $A \in C^{n*x}$ , 其特征多项式可以写成如下形式：

φ (λ) = (λ - λ 1) m 1 \dots (λ - λ s) m s

$\varphi (\lambda) = (\lambda - \lambda_1 )^{m_1} \dots (\lambda - \lambda_s )^{m_s}$

其中： $m_1 + m_2 + \dots + m_s = n$ , 那么，矩阵 $A$ 可以经过相似变换，化成唯一的 Jordan 标准型 J 。即存在可逆矩阵 $P$ , 满足

P - 1 A P = J

$P^{-1} A P = J$

A $A$ 有Jordan 分解：

A = P J P - 1

$A = P J P^{-1}$

J = d i a g (J 1 (λ 1), J 2 (λ 2), \dots, J s (λ s))

$J = diag( J_1 (\lambda _1),J_2(\lambda _2), \dots, J_s(\lambda _s))$

$J_i(\lambda _i), i=1,2, \dots,s$ 被称为 Jardon 块。

对应的：

P = (P 1, P 2, \dots, P s)

$P=(P_1,P_2,\dots,P_s)$

J i (λ i) = d i a g (J 1 (λ i), J 2 (λ i), \dots, J k i (λ i),)

$J_i(\lambda _i) = diag( J_1(\lambda_i), J_2(\lambda_i), \dots,J_{k_i}(\lambda_i), )$

$J_{k_i}(\lambda _i), i=1,2, \dots,k_i$ 被称为 Jardon 子块。

对应的：

P i = (P i (1), P i (2), \dots, P i (k i)

$P_i=(P_i(1),P_i(2),\dots,P_i(k_i)$

J k i (λ i) = ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ λ i 00 \dots 0 1 λ i 0 \dots 0 01 λ i \dots 0 \dots \dots \dots \dots \dots 0001 λ i ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ \in C k i * k i

$J_ {k_i} (\lambda_i) = \begin{bmatrix} \lambda _i & 1 & 0 & \dots & 0\\ 0 & \lambda _i & 1& \dots & 0\\ 0&0 & \lambda _i & \dots & 0\\ \dots & \dots & \dots & \dots & 1\\ 0 & 0 & 0 & \dots & \lambda _i \end{bmatrix} \in C^{k_i * k_i}$

求解方法：

1、求矩阵的特征值 $\lambda _i$ 及每个特征值的重数 $m_i$ 。

计算特征值 $\lambda _i$ 的指标 $k_i$ , 即 $rank(A- \lambda _i I)^{k_i} = rank(A- \lambda _i I)^{k_i+1}$ 成立的最小正整数 $k_i$ ,也就是 $\lambda _i$ 对应的约当块的最大阶数。

2、计算特征值 $\lambda _i$ 对应的Jardon 块的个数及阶数。

r t = r a n k (A - λ i I) t, t = 0, 1, 2, \dots, k i

$r_t = rank(A- \lambda _i I)^t, t=0,1,2,\dots,k_i$

δ t = r t - 1 + r t + 1 - 2 r t

$\delta _t = r_{t-1} + r_{t+1} - 2 r_{t}$

δt $\delta _t$ 为

λi $\lambda _i$ 对应的

t $t$ 阶约当块的个数

Jt(λi） $J_t ( \lambda _i ）$

3、计算 $P$ 矩阵。

先求 $P_i, i=1,2, \dots,s$ 。

先求 $P_i{t} ,t=1,2,\dots,k_i$

对 $t$ 阶约旦子块，求

(A - λ i I) t x = 0

$(A- \lambda _i I )^t x=0$ 的非零解（唯一）

x $x$ ,

P i t = (x, (A - λ i I) x, \dots, (A - λ i I) t - 1 x)

$P_i{t}=(x,(A- \lambda _i I )x,\dots, (A- \lambda _i I )^{t-1}x)$

进过组合，就可以得到变换矩阵 P <script type="math/tex" id="MathJax-Element-7880">P</script>

矩阵的 Jordan 标准型

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