图
1. 图的定义和术语
1.1 生活中的图
1.2 图的定义和术语
图由点和边连接组成，一些复杂的图中点和边会有相应的权值
1.2.1符号定义：G = (V,E)
节点集合V，其中的元素称为节点或者顶点
边集合E，其中的元素称为边
1.2.2 有向图和无向图
有向图中，一个点到另一个点的边指向性是单一的，例如A->B表示A有一条可以通向B的路，但不代表B也有一条可以通向A的路；无向图则表示AB互通
1.3 完全图、稀疏图和稠密图
1.3.1完全图：
有向完全图：任意两个顶点都有方向相反的有向边
无向完全图：任意两点都有边相连
1.3.2 稀疏图：
假设一幅图有n个节点m条边，当 m<nlog2n，即边的数量远小于节点的数量的图
1.3.3 稠密图：
假设一幅图有n个节点m条边，当 m>nlog2n，即边的数量远大于节点的数量的图
1.4 子图
对于一幅图G = (V,E)，若有另一幅图G' = (V',E')，当V包含V'、E包含E'时，G'是G的子图，可以用集合来理解G={1,2,3,4},G'={3,4}
1.5 邻接点
在图（有向图、无向图）中，若节点a和节点b是边e的两个端点，则a和b是邻接的，边e关联与点a和点b
1.6 度、入度和出度
1.6.1 对于无向图，只有度的概念
在无向图中，一个节点的度是指与该节点直接相连的边的数量。这个度量反映了节点的连接强度。
1.6.2 对于有向图则有入度和出度的概念
入度：在有向图中，一个节点的入度是指从其他节点指向该节点的边的数量。这反映了有多少其他节点指向该节点。
出度：相应地，一个节点的出度是指从该节点指向其他节点的边的数量。这反映了该节点对其他节点的控制或影响程度。
图中，OD代表出度、ID代表入度
1.7 权值与网
图中两个节点之间的边带上一个有意义的数，称为边的权值，即边权
1.8 路径与回路
图中V1V4的长度是8；V1V4V3V2V5的长度是两相邻的点之间边权的顺序和8+2+3+5=18
V0V1V2V3V4是一条简单路径
V0V1V5是一条简单回路
1.9 连通图
G1是无向图，容易两点均有边连接，即可到达，是连通图
G2中有三个独立的连通块，极大连通子图并不是最大连通子图，G2中有3个连通分量
1.10 生成树
生成树指的是连通图中的极小连通子图
每两个点之间都存在一条可达到路径，如果有边权则生成树是原图边权之和最小的子图
2. 图的储存结构
2.1 数组表示法（邻接矩阵）
2.1.1不带权简单图的邻接矩阵
2.1.2带权简单图的邻接矩阵
2.2 邻接表
2.2.1不带权邻接表
2.2.2带权邻接表
3. 图的遍历
对于图的遍历，要求是把一个图中的所有节点不重复、不遗漏地访问一次
不重复：图中可能存在环路，访问过的顶点避免重复访问
不遗漏：
按照一定次序进行访问，比如接下来提到的两种方法，深度优先搜索DFS、广度优先搜索BFS
保证不连通图的各个顶点均被访问到(遍历的过程存在回退的情况)
3.1 深度优先搜索DFS
DFS是基于栈的数据结构去实现，尽可能一条路走到底，如果还没完成全图的遍历再回退，然后选择可行路径继续走。
对于这个图，要求使用DFS，从V1出发，优先访问序号小的顶点，访问完全图
遍历过程：V1 V2 V4 V5 V6 V3 V7 V8(V9还没有访问，进行回退。回退到V7 V3 V6 V5此时V5与V9连通) V9
3.2 广度优先搜索 BFS
BFS是基于队列的数据结构实现，在python中通常使用优先队列，遍历时，先把起点加入队列，然后找寻与当前点连通的点中距离最近的继续加入队列，直到跑完全图。
遍历的策略
4. 图的应用
4.1 拓扑排序
拓扑排序针对有向无环图的顶点进行线性排列的算法，使得对于任何来自顶点A指向顶点B的边，A都在序列中出现在B之前。这样的排序存在于有向无环图中，而对于非有向无环图则不存在拓扑排序。
拓扑排序也可以用来检测图中有无成环
4.2 最小生成树
生成树是连通图的极小连通子图，多一条边就会成环，少一条边即无法构成连通图
生成树的代价：
G=(V,E)是一个无向连通图，代价是生成树上各边的边权和
生成树代价=9+49+11+1+21=91
最小生成树即是代价最小的生成树
上图中代价min=1+7+10+7+5=30
4.3 最短路问题
最短路径是两个顶点之间经历的边上边权之和最小的可达路径
4.3.1 Floyed
用于处理多源最短路，从多个点出发到一个点的最短路，可以存在负权边。
4.3.2 Dijkstra
用于处理单源最短路，从一个点出发到一个点的最短路，不可以存在负权边。
