数组篇算法一：二分查找详解

零、问题描述

给定一个 n个元素有序的（升序）整型数组 nums 和一个目标值 target，编写一个函数搜索 nums 中的 target。若目标值存在返回下标，否则返回 -1。
示例：
输入：nums = [-1,0,3,5,9,12], target = 9
输出：4

一、算法适用条件

1. 有序性：数组必须按升序或降序排列（通常假设升序）。
2. 唯一性（非必须）：若数组有重复元素，需明确查找目标（如第一个/最后一个匹配项）。

二、算法步骤

1. 定义搜索区间

• 初始区间：一般为整个数组
  • 左边界 left = 0
  • 右边界 right 可取 len(nums)-1（闭区间）或 len(nums)（左闭右开）

2. 循环缩小范围

• 计算中间位置：
  mid = left + (right - left) // 2 （避免整数溢出）
• 比较 nums[mid] 与 target：
  • nums[mid] == target → 找到目标，返回索引
  • nums[mid] < target → 目标在右半区间，更新 left
  • nums[mid] > target → 目标在左半区间，更新 right

3. 终止条件

• 找到目标值，直接返回
• 若循环结束未找到，返回 -1

三、两种实现方式

方式1：闭区间写法 [left, right]

核心要点：

• right 初始为 len(nums)-1
• 循环条件：while left <= right
• 边界更新：right = mid - 1

def binary_search(nums, target):
    left, right = 0, len(nums) - 1
    while left <= right:
        mid = left + (right - left) // 2
        if nums[mid] == target:
            return mid
        elif nums[mid] < target:
            left = mid + 1
        else:
            right = mid - 1
    return -1

方式2：左闭右开写法 [left, right)

核心要点：

• right 初始为 len(nums)
• 循环条件：while left < right
• 边界更新：right = mid

def binary_search(nums, target):
    left, right = 0, len(nums)
    while left < right:
        mid = left + (right - left) // 2
        if nums[mid] == target:
            return mid
        elif nums[mid] < target:
            left = mid + 1
        else:
            right = mid
    return -1

总结对比：

四、变体问题

1. 查找第一个等于 target 的位置

核心逻辑：当 nums[mid] >= target 时，继续向左半区间搜索。

def find_first(nums, target):
    left, right = 0, len(nums) - 1
    while left <= right:
        mid = left + (right - left) // 2
        if nums[mid] >= target:
            right = mid - 1
        else:
            left = mid + 1
    return left if left < len(nums) and nums[left] == target else -1

2. 查找最后一个等于 target 的位置

核心逻辑：当 nums[mid] <= target 时，继续向右半区间搜索。

def find_last(nums, target):
    left, right = 0, len(nums) - 1
    while left <= right:
        mid = left + (right - left) // 2
        if nums[mid] <= target:
            left = mid + 1
        else:
            right = mid - 1
    return right if right >= 0 and nums[right] == target else -1

3. 查找第一个大于等于 target 的位置

应用场景：插入位置问题（如 LeetCode 35）

def lower_bound(nums, target):
    left, right = 0, len(nums) - 1
    while left <= right:
        mid = left + (right - left) // 2
        if nums[mid] >= target:
            right = mid - 1
        else:
            left = mid + 1
    return left  # 若 target 大于所有元素，返回 len(nums)

五、经典例题

1. LeetCode 704. 二分查找
   • 直接应用标准二分查找模板
2. LeetCode 34. 在排序数组中查找元素的第一个和最后一个位置
   • 结合变体问题中的第一个/最后一个位置查找
3. LeetCode 35. 搜索插入位置
   • 等价于查找第一个大于等于 target 的位置

六、注意事项

1. 避免死循环：确保区间更新能缩小范围（如 left = mid + 1 而非 left = mid）。
2. 处理越界情况：返回插入位置时需检查 left 是否超出数组范围。
3. 验证有序性：若数组未排序，需先排序（时间复杂度升至 O(n log n)）。
4. 重复元素处理：明确需求是找第一个、最后一个还是任意位置。