DRNN 神经网络的 Jacobian 信息辨识

1. 基本原理

Jacobian 矩阵用于描述多输入多输出系统中输入和输出之间的偏导关系，其形式为：

对于 DRNN（Dynamic Recurrent Neural Network），其动态特性使得 y(t)\mathbf{y}(t)y(t) 依赖于当前输入 x(t) 和状态反馈 s(t−1)。
Jacobian 的计算扩展为：

1. 离线/在线训练数据获取

   • 离线模式：使用大量输入输出数据对 Jacobian 进行估计。
   • 在线模式：实时更新 Jacobian 矩阵，用于动态调节控制参数。

3. 实现步骤

以下提供一个基于 C++ 和 Eigen 库的实现示例。

3.1 激活函数的导数

使用 Tanh 激活函数为例：

double tanhDerivative(double x) {
    double tanhVal = tanh(x);
    return 1.0 - tanhVal * tanhVal;
}

3.2 DRNN 类的扩展

在前向传播的基础上添加 Jacobian 计算方法。

#include <Eigen/Dense>
#include <vector>
#include <iostream>
#include <cmath>

using namespace std;
using namespace Eigen;

class DRNN {
private:
    MatrixXd Wx, Ws; // 输入权值和状态反馈权值
    VectorXd b;      // 偏置
    VectorXd state;  // 当前隐藏状态
    VectorXd z;      // 网络输入（激活前）
    double learningRate;

public:
    DRNN(int inputSize, int outputSize, double lr)
        : Wx(MatrixXd::Random(outputSize, inputSize)),
          Ws(MatrixXd::Random(outputSize, outputSize)),
          b(VectorXd::Random(outputSize)),
          state(VectorXd::Zero(outputSize)),
          z(VectorXd::Zero(outputSize)),
          learningRate(lr) {}

    // 前向传播
    VectorXd forward(const VectorXd& input) {
        z = Wx * input + Ws * state + b;    // 网络输入
        state = z.unaryExpr([](double x) { return tanh(x); }); // 激活函数
        return state;
    }

    // 计算 Jacobian 矩阵
    MatrixXd computeJacobian(const VectorXd& input) {
        // 激活函数的导数
        VectorXd activationDeriv = z.unaryExpr([](double x) { return 1.0 - tanh(x) * tanh(x); });

        // 对角矩阵表示激活函数导数
        MatrixXd diagActivationDeriv = activationDeriv.asDiagonal();

        // 计算 Jacobian
        return diagActivationDeriv * Wx;
    }
};

3.3 主程序测试

使用 DRNN 模拟系统的 Jacobian 信息辨识。

int main() {
    // 初始化 DRNN
    int inputSize = 2, outputSize = 2;
    DRNN drnn(inputSize, outputSize, 0.01);

    // 测试输入
    VectorXd input(inputSize);
    input << 1.0, -0.5;

    // 前向传播
    VectorXd output = drnn.forward(input);
    cout << "Output: " << output.transpose() << endl;

    // 计算 Jacobian
    MatrixXd jacobian = drnn.computeJacobian(input);
    cout << "Jacobian Matrix:\n" << jacobian << endl;

    return 0;
}

. 结果分析

• 输出结果：通过 forward 获取输出值 y(t)\mathbf{y}(t)y(t)；
• Jacobian 矩阵：通过 computeJacobian 计算出当前时刻输入对输出的敏感性。

示例结果

假设随机初始化权值和输入：

Output: 0.7616  -0.4621
Jacobian Matrix:
 0.4190   0.0123
-0.0007   0.3101

5. 应用场景

• 动态控制：利用 Jacobian 辨识信息动态调整控制器参数。
• 解耦控制：辅助设计多输入多输出系统的解耦控制。
• 非线性系统建模：在线估计系统的非线性动态特性。

总结

基于 DRNN 的 Jacobian 信息辨识是一种有效的动态建模和控制工具。通过实时计算 Jacobian，能够捕捉系统的输入输出动态关系，广泛应用于复杂非线性、多变量系统的优化控制与解耦设计。