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算法中的背包问题详解:部分背包与0-1背包

1. 背包问题概述

背包问题是组合优化中的经典问题,其核心目标是:在给定容量的背包中装入一组物品,使得物品的总价值最大化。根据物品是否可分割或重复选择,背包问题分为多个变种,其中最常见的两种是:

  • 部分背包问题(Fractional Knapsack)

  • 0-1背包问题(0-1 Knapsack)

其他变种包括完全背包、多重背包、分组背包等,本文重点讨论前两者。

2. 部分背包问题(Fractional Knapsack)

2.1 定义与特点

  • 问题描述:给定一个容量为 WW 的背包和 nn 件物品,每件物品有重量 wiwi​ 和价值 vivi​。允许选择物品的任意比例(例如取物品的50%),求背包能容纳的最大总价值。

  • 关键特点

    • 物品可分割(如液体、粉末)。

    • 贪心算法可获得最优解。

2.2 贪心算法解决策略

由于物品可分割,最优策略是优先选择单位重量价值最高的物品。步骤如下:

  1. 计算每件物品的价值密度:viwiwi​vi​​。

  2. 按价值密度降序排列所有物品。

  3. 依次装入物品,若当前物品可完整放入,则全取;否则取部分填满背包。

伪代码示例:
Sort items by v_i/w_i in descending order
total_value = 0
remaining_capacity = W

for each item in sorted list:
    if remaining_capacity >= item.weight:
        total_value += item.value
        remaining_capacity -= item.weight
    else:
        fraction = remaining_capacity / item.weight
        total_value += fraction * item.value
        break
return total_value

2.3 实例分析

示例:背包容量 W=50W=50,物品如下:

物品重量价值
A1060
B20100
C30120
  1. 计算价值密度:

    • A: 66, B: 55, C: 44

  2. 按降序排列:A → B → C

  3. 装入过程:

    • 装入A(10→剩余40,价值+60)

    • 装入B(20→剩余20,价值+100)

    • 剩余容量20,装入C的 20303020​,价值+80

    • 总价值:60+100+80=24060+100+80=240

2.4 复杂度分析

  • 时间复杂度:O(nlog⁡n)O(nlogn)(排序占主导)。

  • 空间复杂度:O(1)O(1)(原地排序)。

2.5 应用场景

  • 资源切割(如木材、金属)。

  • 时间分配(如任务调度中选择收益最高的部分任务)。

  • 物流运输中装载可分割货物。


3. 0-1背包问题(0-1 Knapsack)

3.1 定义与特点

  • 问题描述:给定容量为 WW 的背包和 nn 件物品,每件物品只能选择放入(1)或不放入(0),求最大总价值。

  • 关键特点

    • 物品不可分割。

    • 动态规划是经典解法,贪心算法无法保证最优。

3.2 动态规划解决策略

动态规划通过构建二维表记录子问题的最优解,核心思想是状态转移

状态定义

设 dp[i][j]dp[i][j] 表示前 ii 件物品在容量 jj 下的最大价值。

状态转移方程

dp[i][j]={dp[i−1][j]if wi>jmax⁡(dp[i−1][j],dp[i−1][j−wi]+vi)otherwisedp[i][j]={dp[i−1][j]max(dp[i−1][j],dp[i−1][j−wi​]+vi​)​if wi​>jotherwise​

伪代码示例:
Initialize dp[n+1][W+1] with zeros

for i from 1 to n:
    for j from 1 to W:
        if w[i-1] > j:
            dp[i][j] = dp[i-1][j]
        else:
            dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j - w[i-1]] + v[i-1])
return dp[n][W]

3.3 空间优化技巧

二维数组可优化为一维数组,通过逆序更新避免覆盖旧值:

dp = [0] * (W + 1)
for i in range(n):
    for j in range(W, w[i]-1, -1):
        dp[j] = max(dp[j], dp[j - w[i]] + v[i])
return dp[W]

3.4 实例分析

示例:背包容量 W=4W=4,物品如下:

物品重量价值
1115
2320
3430

动态规划表(简化版):

容量01234
物品0015151515
物品1015152035
物品2015152035

最优解:物品1(15) + 物品2(20) = 35。

3.5 复杂度分析

  • 时间复杂度:O(nW)O(nW)(伪多项式时间,与输入规模相关)。

  • 空间复杂度:O(W)O(W)(优化后)。

3.6 应用场景

  • 货物装载(如卡车运输不可拆分的货物)。

  • 投资决策(选择互斥项目)。

  • 密码学中的子集和问题。

4. 部分背包与0-1背包的对比

特征部分背包0-1背包
物品是否可分割
最优解算法贪心算法动态规划
时间复杂度O(nlog⁡n)O(nlogn)O(nW)O(nW)
适用场景可分割资源不可分割物品
是否总能得到最优解

5. 扩展:其他背包问题变种

  1. 完全背包:每件物品可无限次选择。

  2. 多重背包:每件物品有数量限制。

  3. 多维背包:背包有多个容量约束(如重量和体积)。

  4. 分组背包:物品分组,每组只能选一件。

6. 总结

部分背包问题和0-1背包问题在算法设计中具有重要地位。前者通过贪心算法高效解决,后者依赖动态规划处理更复杂的约束。理解它们的区别与联系,有助于在实际问题中选择合适的策略。未来可进一步探索其他变种问题,以适应更广泛的应用场景。