【高阶数据结构】AVL树

AVL树

1.AVL的概念
2.AVL树的实现
3.总代码
- 1.AVLTree.h
- 2.Test.cpp

1.AVL的概念

AVL树是最先发明的自平衡⼆叉查找树，AVL是⼀颗空树，或者具备下列性质的⼆叉搜索树：它的左右子树都是AVL树，且左右子树的高度差的绝对值不超过1。AVL树是一颗高度平衡搜索二叉树，通过控制高度差去控制平衡。
AVL树得名于它的发明者G.M.Adelson-Velsky和E.M.Landis是两个前苏联的科学家，他们在1962年的论文《An algorithm for the organization of information》中发表了它。
AVL树实现这里我们引入一个平衡因子（balance factor）的概念，每个结点都有一个平衡因子，任何结点的平衡因子等于右子树的高度减去左子树的高度，也就是说任何结点的平衡因子等于0/1/-1，AVL树并不是必须要平衡因子，但是有了平衡因子可以更方便我们去进行观察和控制树是否平衡，就像一个风向标一样。
思考一下为什么AVL树是高度平衡⼆叉搜索树，要求高度差不超过1，而不是高度差是0呢？0不是更好的平衡吗？画画图分析我们发现，不是不想这样设计，而是有些情况是做不到高度差是0的。比如一棵树是2个结点，4个结点等情况下，高度差最好就是1，无法做到高度差是0。
AVL树整体结点数量和分布和完全⼆叉树类似，高度可以控制在logN，那么增删查改的效率也可以控制在O(logN)，相比⼆叉搜索树有了本质的提升。

在这里插入图片描述

2.AVL树的实现

1.AVL树的结构

template<class k, class v>
struct AVLTreeNode
{	
	pair<k, v> _kv;  //键值对

	//需要parent指针，后序更新平衡因子可以看到
	AVLTreeNode<k, v>* _left;
	AVLTreeNode<k, v>* _right;
	AVLTreeNode<k, v>* _parent;

	int _bf = 0; //平衡因子
	
	AVLTreeNode(const pair<k, v>& kv)
		:_kv(kv)
		, _left(nullptr)
		, _right(nullptr)
		, _parent(nullptr)
		, _bf(0)
	{}
};

template<class K, class V>
class AVLTree
{
	typedef AVLTreeNode<K, V> Node;
	//using Node = AVLTreeNode<K, V>;

public:
	//...
	
private:
	Node* _root = nullptr;
};

2.AVL树的插入

插入一个值按⼆叉搜索树规则进行插入。
新增结点以后，只会影响祖先结点的高度，也就是可能会影响部分祖先结点的平衡因子，所以需要更新从新增结点->根结点路径上的平衡因子，实际中最坏情况下要更新到根，有些情况更新到中间就可以停止了，具体情况我们下面再详细分析。
更新平衡因子过程中没有出现问题，则插入结束。
更新平衡因子过程中出现不平衡，对不平衡子树旋转，旋转后本质调平衡的同时，本质降低了子树的高度，不会再影响上一层，插入结束。

1.更新平衡因子

平衡因子更新原则：

平衡因子 = 右子树高度 - 左子树高度。
只有子树高度变化才会影响当前结点平衡因子。
插入结点，会增加高度，所以新增结点在parent的右子树，parent的平衡因子+1，新增结点在parent的左子树，parent平衡因子-1。
parent所在子树的高度是否变化决定了是否会继续往上更新。

更新停止条件：

更新后parent的平衡因子等于0，更新中parent的平衡因子变化为 -1->0 或者 1->0，说明更新前parent子树一边高一边低，新增的结点插入在低的那边，插入后parent所在的子树高度不变，不会影响parent的父亲结点的平衡因子，更新结束。
更新后parent的平衡因子等于1或-1，更新前更新中parent的平衡因子变化为 0->1 或者 0->-1，说明更新前parent子树两边一样高，新增的插如结点后，parent所在的子树一边高一边低，parent所在的子树符合平衡要求，但是高度增加了1，会影响parent的父亲结点的平衡因高，所以要继续向上更新。
更新后parent的平衡因子等于2或-2，更新前更新中parent的平衡因子变化为 1->2 或者 -1->-2，说明更新前parent子树一边高一边低，新增的插入结点在高的那边，parent所在的子树高的那边更高了，破坏了平衡，parent所在的子树不符合平衡要求，需要旋转处理，旋转的目标有两个：1、把parent子树旋转平衡。2、降低parent子树的⾼度，恢复到插入结点以前的高度。所以旋转后也不需要继续往上更新，插入结束。
不断更新，更新到根，根的平衡因子是1或-1也停止了。

以下是三幅图的平衡因子更新过程：

更新到10结点，平衡因子为2，10所在的子树已经不平衡，需要旋转处理：
更新到中间结点，3为根的子树高度不变，不会影响上一层，更新结束：
最坏更新到根停止：

bool Insert(const pair<K, V>& kv)
{
	//根节点为空时
	if (_root == nullptr)
	{
		_root = new Node(kv);
		return true;
	}

	//根节点不为空时
	Node* parent = nullptr;
	Node* cur = _root;
		
	while (cur)
	{
		if (cur->_kv.first < kv.first)
		{
			parent = cur;
			cur = cur->_right;
		}
		else if (cur->_kv.first > kv.first)
		{
			parent = cur;
			cur = cur->_left;
		}
		else
		{
			return false;
		}
	}

	//插入新节点
	cur = new Node(kv);
	if (parent->_kv.first < kv.first)
	{
		parent->_right = cur;
	}
	else
	{
		parent->_left = cur;
	}
	cur->_parent = parent;

	//更新平衡因子
	while (parent)
	{
		if (parent->_left == cur)
		{
			parent->_bf--;
		}
		else
		{
			parent->_bf++;
		}

		if (parent->_bf == 0)
		{
			break;
		}
		else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1)
		{
			cur = parent;
			parent = parent->_parent;
		}
		else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2)
		{
			//4种旋转情况
			if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1)
			{
				RotateR(parent);
			}
			else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1)
			{
				RotateL(parent);
			}
			else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1)
			{
				RotateLR(parent);
			}
			else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1)
			{
				RotateRL(parent);
			}
			break;
		}
		else
		{
			assert(false);
		}
	}
	return true;
}

2.旋转

保持搜索树的规则。
让旋转的树重新变回平衡状态，其次降低旋转树的⾼度。
旋转总共分为四种，左单旋/右单旋/左右双旋/右左双旋。

1.右单旋

下面的抽象图展示的是10为根的树，有a/b/c抽象为三棵高度为h的子树(h>=0)，a/b/c均符合AVL树的要求。10可能是整棵树的根，也可能是一个整棵树中局部的子树的根。这里a/b/c是高度为h的子树，是一种概括抽象表示，它代表了所有右单旋的场景，实际右单旋形态有很多种，具体下图进行了详细描述。
在a子树中插入一个新结点，导致a字树的高度从h变成h+1，不断向上更新平衡因子，导致10的平衡因子从-1变成-2，10为根的树左右高度差超过1，违反平衡规则。10为根的树左边太高了，需要往右边旋转，控制两棵树的平衡。
旋转核心步骤，因为5<b子树的值<10，将b变成10的左子树，10变成5的右子树，5变成这棵树新的根，符合搜索树的规则，控制了平衡，同时这棵的高度恢复到了插入之前的h+2，符合旋转原则。如果插入之前10整棵树的一个局部子树，旋转后不会再影响上一层，插入结束了。

下面给3幅图观察具体的旋转过程：

在这里插入图片描述

void RotateR(Node* parent)
{
	Node* subL = parent->_left;
	Node* subLR = subL->_right;

	parent->_left = subLR;
	if(subLR)
		subLR->_parent = parent;

	//记录parent的父节点
	Node* pParent = parent->_parent; 

	subL->_right = parent;
	parent->_parent = subL;

	//当parent是根节点时
	if (parent == _root)
	{
		_root = subL;
		subL->_parent = nullptr;
	}
	else //当parent不是根节点时
	{
		subL->_parent = pParent;
		if (pParent->_left == parent)
			pParent->_left = subL;
		else
			pParent->_right = subL;
	}

	//更新平衡因子
	subL->_bf = 0;
	parent->_bf = 0;
}

2.左单旋

下图展示的是10为根的树，有a/b/c抽象为三棵高度为h的子树(h>=0)，a/b/c均符合AVL树的要求。10可能是整棵树的根，也可能是一个整棵树中局部的子树的根。这里a/b/c是高度为h的子树，是一种概括抽象表示，它代表了所有右单旋的场景，实际右单旋形态有很多种，具体跟下面右单旋类似。
在a子树中插入一个新结点，导致a子树的高度从h变成h+1，不断向上更新平衡因子，导致10的平衡因子从1变成2，10为根的树左右高度差超过1，违反平衡规则。10为根的树右边太高了，需要往左边旋转，控制两棵树的平衡。
旋转核心步骤，因为10<b子树的值<15，将b变成10的右子树，10变成15的左子树，15变成这棵树新的根，符合搜索树的规则，控制了平衡，同时这棵的高度恢复到了插入之前的h+2，符合旋转原则。如果插入之前10整棵树的一个局部子树，旋转后不会再影响上一层，插入结束了。

下面给3幅图观察具体的旋转过程：

void RotateL(Node* parent)
{
	Node* subR = parent->_right;
	Node* subRL = subR->_left;

	parent->_right = subRL;
	if(subRL)
		subRL->_parent = parent;

	//记录parent的父节点
	Node* pParent = parent->_parent;

	subR->_left = parent;
	parent->_parent = subR;

	//当parent是根节点时
	if (parent == _root)
	{
		_root = subR;
		subR->_parent = nullptr;
	}
	else //当parent不是根节点时
	{
		subR->_parent = pParent;
		if (pParent->_left == parent)
			pParent->_left = subR;
		else
			pParent->_right = subR;
	}

	//更新平衡因子
	parent->_bf = 0;
	subR->_bf = 0;
}

3.左右双旋

先看一个例子：左边高时，如果插入的位置在5的右子树，以10为顶点采用右单旋无法解决问题，右单旋后，树依旧不平衡。如下图：
右单旋解决的纯粹的左边高，10为跟的子树不再是单纯的左边高，对于10是左边高，但是对于5是右边高，需要用两次旋转才能解决，先以5为旋转点进行一个左单旋，再以10为旋转点进行一个右单旋，之后这棵树就平衡了。如下图：

再来看一个例子：左边高时，如果插入的位置在8的左子树，以10为顶点采用右单旋无法解决问题，右单旋后，树依旧不平衡。
左右双旋解决：先以5为旋转点进行一个左单旋，再以10为旋转点进行一个右单旋，之后这棵树就平衡了。如下图：

最后看一个例子：左边高时，如果插入的位置在8的右子树，以10为顶点采用右单旋无法解决问题，右单旋后，树依旧不平衡。
左右双旋解决：先以5为旋转点进行一个左单旋，再以10为旋转点进行一个右单旋，之后这棵树就平衡了。如下图：

不同的场景，平衡因子的更新规则也不相同。如下三幅图：

场景一：5的右孩子8的平衡因子为0时：
场景二：5的右孩子8的平衡因子为-1时：

场景三：5的右孩子8的平衡因子为1时：

具体图转换为抽象图如下：

当h>=1时，新增结点插入在e子树，e子树高度从h-1变成h，并不断更新8->5->10平衡因子，引发旋转，其中8的平衡因子为-1。旋转后8和5平衡因子为0，10平衡因子为1。
当h>=1时，新增结点插入在f子树，f子树高度从h-1变为h，并不断更新8->5->10平衡因子，引发旋转，其中8的平衡因子为1。旋转后8和10平衡因子为0，5平衡因子为-1。
当h==0时，a/b/c都是空树，8自己就是一个新增结点，不断更新5->10平衡因子，引发旋转，其中8的平衡因子为0。旋转后8和10和5平衡因子均为0。

在这里插入图片描述

void RotateLR(Node* parent)
{
	Node* subL = parent->_left;
	Node* subLR = subL->_right;
	int bf = subLR->_bf;

	RotateL(parent->_left);
	RotateR(parent);
	
	//更新平衡因子
	if (bf == -1)
	{
		subLR->_bf = 0;
		subL->_bf = 0;
		parent->_bf = 1;
	}
	else if (bf == 1)
	{
		subLR->_bf = 0;
		subL->_bf = -1;
		parent->_bf = 0;
	}
	else if(bf == 0)
	{
		subLR->_bf = 0;
		subL->_bf = 0;
		parent->_bf = 0;
	}
	else
	{
		assert(false);
	}
}

4.右左双旋

先看一个例子：右边高时，如果插入的位置在5的左子树，以10为顶点采用右单旋无法解决问题，右单旋后，树依旧不平衡。如下图：
左单旋解决的纯粹的右边高，5为跟的子树不再是单纯的右边高，对于5是右边高，但是对于10是左边高，需要用两次旋转才能解决，先以10为旋转点进行一个右单旋，再以5为旋转点进行一个左单旋，之后这棵树就平衡了。如下图：

再来看一个例子：右边高时，如果插入的位置在8的左子树，以5为顶点采用左单旋无法解决问题，左单旋后，树依旧不平衡。如下图：
右左双旋解决：先以10为旋转点进行一个右单旋，再以5为旋转点进行一个左单旋，之后这棵树就平衡了。如下图：

最后看一个例子：右边高时，如果插入的位置在8的右子树，以5为顶点采用左单旋无法解决问题，左单旋后，树依旧不平衡。如下图：
右左双旋解决：先以5为旋转点进行一个右单旋，再以10为旋转点进行一个左单旋，之后这棵树就平衡了。如下图：

不同的场景，平衡因子的更新规则也不相同。如下三幅图：

场景一：10的左孩子8的平衡因子为0时：
场景二：10的左孩子8的平衡因子为-1时：
场景三：10的左孩子8的平衡因子为1时：

具体图转换为抽象图如下：

当h>=1时，新增结点插入在e子树，e子树高度从h-1变为h，并不断更新12->15->10平衡因子，引发旋转，其中12的平衡因子为-1。旋转后10和12平衡因子为0，15平衡因子为1。
当h>=1时，新增结点插入在f子树，f子树高度从h-1变为h，并不断更新12->15->10平衡因子，引发旋转，其中12的平衡因子为1。旋转后15和12平衡因子为0，10平衡因子为-1。
当h==0时，a/b/c都是空树，12自己就是一个新增结点，不断更新15->10平衡因子，引发旋转，其中12的平衡因子为0，旋转后10和12和15平衡因子均为0。

在这里插入图片描述

void RotateRL(Node* parent)
{
	Node* subR = parent->_right;
	Node* subRL = subR->_left;
	int bf = subRL->_bf;

	RotateR(parent->_right);
	RotateL(parent);
	
	//更新平衡因子
	if (bf == -1)
	{
		subRL->_bf = 0;
		parent->_bf = 0;
		subR->_bf = 1;
	}
	else if (bf == 1)
	{
		subRL->_bf = 0;
		parent->_bf = -1;
		subR->_bf = 0;
	}
	else if (bf == 0)
	{
		subRL->_bf = 0;
		parent->_bf = 0;
		subR->_bf = 0;
	}
	else
	{
		assert(false);
	}
}

3.AVL树的查找

按照⼆叉搜索树逻辑实现即可，搜索效率为O(logN)

Node* Find(const K& key)
{
	Node* cur = _root;
	while (cur)
	{
		if (cur->_kv.first < key)
		{
			cur = cur->_right;
		}
		else if (cur->_kv.first > key)
		{
			cur = cur->_left;
		}
		else
		{
			return cur;
		}
	}
	return nullptr;
}

4.AVL树的平衡检测

我们实现的AVL树是否合格，可以通过检查左右子树高度差的的程序进行反向验证，同时检查⼀下结点的平衡因子更新是否出现了问题。

public:
	int Height()
	{
		return _Height(_root);
	}

	bool IsAVLTree()
	{
		return _IsAVLTree(_root);
	}
	
private:
	int _Height(Node* root)
	{
		if (root == nullptr) return 0;

		int leftHelght = _Height(root->_left);
		int rightHelght = _Height(root->_right);

		return max(leftHelght, rightHelght) + 1;
	}

	bool _IsAVLTree(Node* root)
	{
		//空树也是AVL树
		if (root == nullptr) return true;

		//计算当前节点的平衡因子：即高度差
		int leftHelght = _Height(root->_left);
		int rightHelght = _Height(root->_right);
		int bf = rightHelght - leftHelght;

		//如果计算出来的平衡因子的绝对值大于1，则一定不是AVL树
		if (abs(bf) > 2)
		{
			cout << root->_kv.first << "高度差异常" << endl;
			return false;
		}

		//如果计算出来的平衡因子与root的平衡因子不相等时，则一定不是AVL树
		if (bf != root->_bf)
		{
			cout << root->_kv.first << "平衡因子异常" << endl;
			return false;
		}

		//只有左右子树都是AVL树时：该树一定是AVL树
		return _IsAVLTree(root->_left) && _IsAVLTree(root->_right);
	}

void TestAVLTree1()
{
	AVLTree<int, int> t;

	//常规的测试用例 
	//int a[] = { 16, 3, 7, 11, 9, 26, 18, 14, 15 };
	
	//特殊的带有双旋场景的测试用例 
	int a[] = { 4, 2, 6, 1, 3, 5, 15, 7, 16, 14 };
	for (auto e : a)
	{
		t.Insert({ e, e });
	}
	
	cout << t.IsAVLTree() << endl;
}

5.AVL树的性能分析

public:
	void InOrder()
	{
		_InOrder(_root);
		cout << endl;
	}
	
	int Size()
	{
		return _Size(_root);
	}
	
private:
	void _InOrder(Node* root)
	{
		if (root == nullptr) return;

		_InOrder(root->_left);
		cout << root->_kv.first << ":" << root->_kv.second << endl;
		_InOrder(root->_right);
	}
	
	int _Size(Node* root)
	{
		if (root == nullptr) return 0;

		return _Size(root->_left) + _Size(root->_right) + 1;
	}

void TestAVLTree2()
{
	const int N = 1000000;
	vector<int> v;
	v.reserve(N);
	srand(time(0));
	for (size_t i = 0; i < N; i++)
	{
		v.push_back(rand() + i);
	}

	size_t begin1 = clock();
	AVLTree<int, int> t;
	for (auto e : v)
	{
		t.Insert(make_pair(e, e));
	}
	size_t end1 = clock();

	cout << "Insert:" << end1 - begin1 << endl;
	cout << t.IsAVLTree() << endl;
	cout << t.Height() << endl;
	cout << t.Size() << endl;

	size_t begin2 = clock();
	//查找确定在的值 
	/*for (auto e : v)
	{
		t.Find(e);
	}*/

	//查找随机值
	for (size_t i = 0; i < N; i++)
	{
		t.Find((rand() + i));
	}
	size_t end2 = clock();
	cout << "Find:" << end2 - begin2 << endl;
}

6.AVL树的删除

删除等待更新…

3.总代码

1.AVLTree.h

#pragma once

#include<iostream>
#include<assert.h>
using namespace std;

template<class k, class v>
struct AVLTreeNode
{	
	pair<k, v> _kv;  //键值对

	//需要parent指针，后序更新平衡因子可以看到
	AVLTreeNode<k, v>* _left;
	AVLTreeNode<k, v>* _right;
	AVLTreeNode<k, v>* _parent;

	int _bf = 0; //平衡因子
	
	AVLTreeNode(const pair<k, v>& kv)
		:_kv(kv)
		, _left(nullptr)
		, _right(nullptr)
		, _parent(nullptr)
		, _bf(0)
	{}
};

template<class K, class V>
class AVLTree
{
	typedef AVLTreeNode<K, V> Node;
	//using Node = AVLTreeNode<K, V>;

public:
	bool Insert(const pair<K, V>& kv)
	{
		//根节点为空时
		if (_root == nullptr)
		{
			_root = new Node(kv);
			return true;
		}

		//根节点不为空时
		Node* parent = nullptr;
		Node* cur = _root;
		
		while (cur)
		{
			if (cur->_kv.first < kv.first)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_right;
			}
			else if (cur->_kv.first > kv.first)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_left;
			}
			else
			{
				return false;
			}
		}

		//插入新节点
		cur = new Node(kv);
		if (parent->_kv.first < kv.first)
		{
			parent->_right = cur;
		}
		else
		{
			parent->_left = cur;
		}
		cur->_parent = parent;

		//更新平衡因子
		while (parent)
		{
			if (parent->_left == cur)
			{
				parent->_bf--;
			}
			else
			{
				parent->_bf++;
			}

			if (parent->_bf == 0)
			{
				break;
			}
			else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1)
			{
				cur = parent;
				parent = parent->_parent;
			}
			else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2)
			{
				//4种旋转情况
				if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1)
				{
					RotateR(parent);
				}
				else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1)
				{
					RotateL(parent);
				}
				else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1)
				{
					RotateLR(parent);
				}
				else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1)
				{
					RotateRL(parent);
				}
				break;
			}
			else
			{
				assert(false);
			}
		}
		return true;
	}

	Node* Find(const K& key)
	{
		Node* cur = _root;
		while (cur)
		{
			if (cur->_kv.first < key)
			{
				cur = cur->_right;
			}
			else if (cur->_kv.first > key)
			{
				cur = cur->_left;
			}
			else
			{
				return cur;
			}
		}
		return nullptr;
	}

	//右单旋
	void RotateR(Node* parent)
	{
		Node* subL = parent->_left;
		Node* subLR = subL->_right;

		parent->_left = subLR;
		if(subLR)
			subLR->_parent = parent;

		//记录parent的父节点
		Node* pParent = parent->_parent; 

		subL->_right = parent;
		parent->_parent = subL;

		//当parent是根节点时
		if (parent == _root)
		{
			_root = subL;
			subL->_parent = nullptr;
		}
		else //当parent不是根节点时
		{
			subL->_parent = pParent;
			if (pParent->_left == parent)
				pParent->_left = subL;
			else
				pParent->_right = subL;
		}

		//更新平衡因子
		subL->_bf = 0;
		parent->_bf = 0;
	}

	//左单旋
	void RotateL(Node* parent)
	{
		Node* subR = parent->_right;
		Node* subRL = subR->_left;

		parent->_right = subRL;
		if(subRL)
			subRL->_parent = parent;

		//记录parent的父节点
		Node* pParent = parent->_parent;

		subR->_left = parent;
		parent->_parent = subR;

		//当parent是根节点时
		if (parent == _root)
		{
			_root = subR;
			subR->_parent = nullptr;
		}
		else //当parent不是根节点时
		{
			subR->_parent = pParent;
			if (pParent->_left == parent)
				pParent->_left = subR;
			else
				pParent->_right = subR;
		}

		//更新平衡因子
		parent->_bf = 0;
		subR->_bf = 0;
	}

	//左右双旋
	void RotateLR(Node* parent)
	{
		Node* subL = parent->_left;
		Node* subLR = subL->_right;
		int bf = subLR->_bf;

		RotateL(parent->_left);
		RotateR(parent);

		//更新平衡因子
		if (bf == -1)
		{
			subLR->_bf = 0;
			subL->_bf = 0;
			parent->_bf = 1;
		}
		else if (bf == 1)
		{
			subLR->_bf = 0;
			subL->_bf = -1;
			parent->_bf = 0;
		}
		else if(bf == 0)
		{
			subLR->_bf = 0;
			subL->_bf = 0;
			parent->_bf = 0;
		}
		else
		{
			assert(false);
		}
	}

	//右左双旋
	void RotateRL(Node* parent)
	{
		Node* subR = parent->_right;
		Node* subRL = subR->_left;
		int bf = subRL->_bf;

		RotateR(parent->_right);
		RotateL(parent);

		//更新平衡因子
		if (bf == -1)
		{
			subRL->_bf = 0;
			parent->_bf = 0;
			subR->_bf = 1;
		}
		else if (bf == 1)
		{
			subRL->_bf = 0;
			parent->_bf = -1;
			subR->_bf = 0;
		}
		else if (bf == 0)
		{
			subRL->_bf = 0;
			parent->_bf = 0;
			subR->_bf = 0;
		}
		else
		{
			assert(false);
		}
	}

	void InOrder()
	{
		_InOrder(_root);
		cout << endl;
	}

	int Height()
	{
		return _Height(_root);
	}

	bool IsAVLTree()
	{
		return _IsAVLTree(_root);
	}

	int Size()
	{
		return _Size(_root);
	}

private:
	void _InOrder(Node* root)
	{
		if (root == nullptr) return;

		_InOrder(root->_left);
		cout << root->_kv.first << ":" << root->_kv.second << endl;
		_InOrder(root->_right);
	}

	int _Height(Node* root)
	{
		if (root == nullptr) return 0;

		int leftHelght = _Height(root->_left);
		int rightHelght = _Height(root->_right);

		return max(leftHelght, rightHelght) + 1;
	}

	bool _IsAVLTree(Node* root)
	{
		//空树也是AVL树
		if (root == nullptr) return true;

		//计算当前节点的平衡因子：即高度差
		int leftHelght = _Height(root->_left);
		int rightHelght = _Height(root->_right);
		int bf = rightHelght - leftHelght;

		//如果计算出来的平衡因子的绝对值大于1，则一定不是AVL树
		if (abs(bf) > 2)
		{
			cout << root->_kv.first << "高度差异常" << endl;
			return false;
		}

		//如果计算出来的平衡因子与root的平衡因子不相等时，则一定不是AVL树
		if (bf != root->_bf)
		{
			cout << root->_kv.first << "平衡因子异常" << endl;
			return false;
		}

		//只有左右子树都是AVL树时：该树一定是AVL树
		return _IsAVLTree(root->_left) && _IsAVLTree(root->_right);
	}

	int _Size(Node* root)
	{
		if (root == nullptr) return 0;

		return _Size(root->_left) + _Size(root->_right) + 1;
	}

private:
	Node* _root = nullptr;
};

2.Test.cpp

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1

#include<vector>

#include"AVLTree.h"

void TestAVLTree1()
{
	AVLTree<int, int> t;

	//常规的测试用例 
	//int a[] = { 16, 3, 7, 11, 9, 26, 18, 14, 15 };
	
	//特殊的带有双旋场景的测试用例 
	int a[] = { 4, 2, 6, 1, 3, 5, 15, 7, 16, 14 };
	for (auto e : a)
	{
		t.Insert({ e, e });
	}

	t.InOrder();
	cout << t.IsAVLTree() << endl;
}

void TestAVLTree2()
{
	const int N = 1000000;
	vector<int> v;
	v.reserve(N);
	srand(time(0));
	for (size_t i = 0; i < N; i++)
	{
		v.push_back(rand() + i);
	}

	size_t begin1 = clock();
	AVLTree<int, int> t;
	for (auto e : v)
	{
		t.Insert(make_pair(e, e));
	}
	size_t end1 = clock();

	cout << "Insert:" << end1 - begin1 << endl;
	cout << t.IsAVLTree() << endl;
	cout << t.Height() << endl;
	cout << t.Size() << endl;

	size_t begin2 = clock();
	//查找确定在的值 
	/*for (auto e : v)
	{
		t.Find(e);
	}*/

	//查找随机值
	for (size_t i = 0; i < N; i++)
	{
		t.Find((rand() + i));
	}
	size_t end2 = clock();
	cout << "Find:" << end2 - begin2 << endl;
}

int main()
{
	//TestAVLTree1();
	//TestAVLTree2();

	return 0;
}

【高阶数据结构】AVL树

AVL树

1.AVL的概念

2.AVL树的实现

1.AVL树的结构

2.AVL树的插入

1.更新平衡因子

2.旋转

1.右单旋

2.左单旋

3.左右双旋

4.右左双旋

3.AVL树的查找

4.AVL树的平衡检测

5.AVL树的性能分析

6.AVL树的删除

3.总代码

1.AVLTree.h

2.Test.cpp

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