完全背包和01背包问题唯一不同的地方就是，每种物品有无限件。
dp[i][j]:表示前i件(包含第i件)物品能让容量为j的背包获得的最大价值
1.不放第i件物品,这里和01背包一样,dp[i][j]=dp[i-1][j]
2.放第i件物品,这里和01背包有区别,由于每件物品可以反复取,dp[i][j]=d[i][j-weight[i]]+value[i] ,01背包由于只能放一次,故当前方程由上一件物品得出,为dp[i][j]=d[i-1][j-weight[i]]+value[i]
用一维dp数组解决完全背包:
dp[i]表示容量为i的背包能装的最大价值
dp[i]=max(dp[i],dp[i-weight[i]]+value[i]);
注意:
完全背包的两重循环可以交换位置,右递归方程式可知,dp[i] 是根据 下标i之前所对应的dp[i]计算出来的。 只要保证下标j之前的dp[j]都是经过计算的就可以了。在完全背包中，对于一维dp数组来说，其实两个for循环嵌套顺序是无所谓的！当然二维数组的for循环嵌套顺序也是无所谓的
52. 携带研究材料（第七期模拟笔试）
时间限制：1.000S 空间限制：128MB
题目描述
小明是一位科学家，他需要参加一场重要的国际科学大会，以展示自己的最新研究成果。他需要带一些研究材料，但是他的行李箱空间有限。这些研究材料包括实验设备、文献资料和实验样本等等，它们各自占据不同的重量，并且具有不同的价值。
小明的行李箱所能承担的总重量为 N，问小明应该如何抉择，才能携带最大价值的研究材料，每种研究材料可以选择无数次，并且可以重复选择。
输入描述
第一行包含两个整数，N，V，分别表示研究材料的种类和行李空间
接下来包含 N 行，每行两个整数 wi 和 vi，代表第 i 种研究材料的重量和价值
输出描述
输出一个整数，表示最大价值。
输入示例
4 5
1 2
2 4
3 4
4 5输出示例
10提示信息
第一种材料选择五次，可以达到最大值。
数据范围：
1 <= N <= 10000;
1 <= V <= 10000;
1 <= wi, vi <= 10^9.
二维数组:
import java.util.*;
class Main{
public static void main(String[] args){
Scanner scanner = new Scanner(System.in);
int n= scanner.nextInt();
int m= scanner.nextInt();
int[][] dp=new int[n][m+1];
int[] w=new int[n];
int[] v=new int[n];
for(int i=0;i<n;i++){
w[i]=scanner.nextInt();
v[i]=scanner.nextInt();
}
//初始化
for(int i=w[0];i<=m;i++){
dp[0][i]=dp[0][i-w[0]]+v[0];
}
for(int i=1;i<n;i++){
for(int j=1;j<=m;j++){
if(j>=w[i])
dp[i][j]=Math.max(dp[i-1][j],dp[i][j-w[i]]+v[i]);
else{
dp[i][j]=dp[i-1][j];
}
}
}
System.out.println(dp[n-1][m]);
}
}一维数组:
import java.util.*;
class Main{
public static void main(String[] args){
Scanner scanner = new Scanner(System.in);
int n= scanner.nextInt();
int m= scanner.nextInt();
int[] dp=new int[m+1];
int[] w=new int[n];
int[] v=new int[n];
for(int i=0;i<n;i++){
w[i]=scanner.nextInt();
v[i]=scanner.nextInt();
}
//初始化
for(int i=w[0];i<=m;i++){
dp[i]=dp[i-w[0]]+v[0];
}
for(int i=1;i<n;i++){
for(int j=1;j<=m;j++){
if(j>=w[i])
dp[j]=Math.max(dp[j],dp[j-w[i]]+v[i]);
}
}
System.out.println(dp[m]);
}
}给你一个整数数组 coins 表示不同面额的硬币，另给一个整数 amount 表示总金额。
请你计算并返回可以凑成总金额的硬币组合数。如果任何硬币组合都无法凑出总金额，返回 0 。
假设每一种面额的硬币有无限个。
题目数据保证结果符合 32 位带符号整数。
示例 1：
输入：amount = 5, coins = [1, 2, 5] 输出：4 解释：有四种方式可以凑成总金额： 5=5 5=2+2+1 5=2+1+1+1 5=1+1+1+1+1
示例 2：
输入：amount = 3, coins = [2] 输出：0 解释：只用面额 2 的硬币不能凑成总金额 3 。
示例 3：
输入：amount = 10, coins = [10] 输出：1
提示：
1 <= coins.length <= 3001 <= coins[i] <= 5000coins中的所有值 互不相同0 <= amount <= 5000
思路:
动态规划五部曲:
1.确定dp数组以及下标的含义
dp[i]:凑成总金额i的总组合数
2.确定递推公式
dp[j] += dp[j - coins[i]];
3.dp数组的初始化
首先dp[0]一定要为1，dp[0] = 1是 递归公式的基础。如果dp[0] = 0 的话，后面所有推导出来的值都是0了。
4.确定遍历顺序
本题中我们是外层for循环遍历物品（钱币），内层for遍历背包（金钱总额），还是外层for遍历背包（金钱总额），内层for循环遍历物品（钱币）呢？
这里不是普通的完全背包问题,因为纯完全背包求得装满背包的最大价值是多少，和凑成总和的元素有没有顺序没关系
题目中求的硬币组合数,不是排列数,也就是说凑成3块,{1,2}和{2,1}是同一种情况
对于
amount = 5, coins = [1, 2, 5]
1).外层for循环遍历物品（钱币），内层for遍历背包（金钱总额）:
这是在求组合数:
2).外层for遍历背包（金钱总额），内层for循环遍历物品（钱币） :
这是在求排列数(一维数组):
例如求和为3时,求出了三种结果:{1,1,1}{1,2}{2,1}
综上,采用
代码参考:外层for循环遍历物品（钱币），内层for遍历背包（金钱总额）
class Solution {
public int change(int amount, int[] coins) {
int[][] dp=new int[coins.length][amount+1];
//初始化
dp[0][0]=1;
for(int i=coins[0];i<=amount;i++){
dp[0][i]=dp[0][i-coins[0]];
}
for(int i=1;i<coins.length;i++){
for(int j=0;j<=amount;j++){
if(j>=coins[i])
dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i][j-coins[i]];
else{
dp[i][j]=dp[i-1][j];
}
}
}
return dp[coins.length-1][amount];
}
}class Solution {
public int change(int amount, int[] coins) {
int[] dp=new int[amount+1];
//初始化
dp[0]=1;
for(int i=0;i<coins.length;i++){
for(int j=coins[i];j<=amount;j++){
dp[j]+=dp[j-coins[i]];
}
}
return dp[amount];
}
}
给你一个由 不同 整数组成的数组 nums ，和一个目标整数 target 。请你从 nums 中找出并返回总和为 target 的元素组合的个数。
题目数据保证答案符合 32 位整数范围。
示例 1：
输入：nums = [1,2,3], target = 4 输出：7 解释： 所有可能的组合为： (1, 1, 1, 1) (1, 1, 2) (1, 2, 1) (1, 3) (2, 1, 1) (2, 2) (3, 1) 请注意，顺序不同的序列被视作不同的组合。
示例 2：
输入：nums = [9], target = 3 输出：0
提示：
1 <= nums.length <= 2001 <= nums[i] <= 1000nums中的所有元素 互不相同1 <= target <= 1000
思路:
外层for遍历背包（数的和），内层for循环遍历物品 :
这是在求排列数(只能用一维数组):
class Solution {
public int combinationSum4(int[] nums, int target) {
int[] dp=new int[target+1];
dp[0]=1;
//遍历背包容量
for(int i=0;i<=target;i++){
//遍历数组
for(int j=0;j<nums.length;j++){
if(i>=nums[j]){
dp[i]+=dp[i-nums[j]];
}
}
}
return dp[target];
}
}爬楼梯（进阶版）
时间限制：1.000S 空间限制：128MB
题目描述
假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。
每次你可以爬至多m (1 <= m < n)个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？
注意：给定 n 是一个正整数。
输入描述
输入共一行，包含两个正整数，分别表示n, m
输出描述
输出一个整数，表示爬到楼顶的方法数。
输入示例
3 2
输出示例
3
提示信息
数据范围：
1 <= m < n <= 32;
当 m = 2，n = 3 时，n = 3 这表示一共有三个台阶，m = 2 代表你每次可以爬一个台阶或者两个台阶。
此时你有三种方法可以爬到楼顶。
1 阶 + 1 阶 + 1 阶段
1 阶 + 2 阶
2 阶 + 1 阶
思路:本题与完全背包类似 ,可翻译为1到m个物品,重量分别是1,2....m,每个物品可以取多次,装满背包有多少种方法,注意2,1和1,2,是两种,这是完全背包的排列问题
import java.util.*;
class Main{
public static void main(String[] args){
int n,m;
Scanner scanner = new Scanner(System.in);
n=scanner.nextInt();
m=scanner.nextInt();
int[] dp=new int[n+1];//爬到i阶的方法数
//初始化
dp[0]=1;
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=1;j<=m&&j<=i;j++){
dp[i]+=dp[i-j];
}
}
System.out.println(dp[n]);
}
}