抓拍题解

2024“钉耙编程”中国大学生算法设计超级联赛（3）

抓拍

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Problem Description

学校里有 n 名同学，初始时第 i 位同学从 (xi,yi) 出发，以每秒 1 米的速度散步。

同学们散步的方向有东南西北四种可能。假设有一位同学正在位于 (0,0)，则下一秒︰

- 如果向东走，到达 (1,0)
- 如果向西走，到达 (−1,0)
- 如果向南走，到达 (0,−1)
- 如果向北走，到达 (0,1)

假设散步过程会进行无限长的时间，同学们散步的方向不会改变，并且忽略碰撞的情况（允许某个时刻多人在同一个点，互不影响）。

现在你可以选择某个非负整数秒时刻抓拍照片。

一张照片可以用长方形 ((e,n),(w,s)) 表示，东北角为 (e,n)，西南角为 (w,s)。

只有抓拍的照片包含了所有同学时，我们才称这张照片是完美的。

请选择某个时刻抓拍一张完美的照片，使得照片的周长最小。

Input

第一行一个整数 n (1≤n≤2×105)，代表人数。

接下来 n 行，第 i 行包含两个整数 xi,yi (−109≤xi,yi≤109) 和一个字符 di ，由空格分隔，描述第 i 位同学。

di 是 ‘E’, ‘W’, ‘S’, ‘N’ 之一，分别代表第 i 位同学散步的方向是东、西、南、北。

Output

输出一行一个整数，代表最短的完美照片的周长。

Sample Input

5
0 2 E
0 6 S
2 0 N
2 6 S
4 4 W

Sample Output

8

不同于官方题解，博主采用贡献值的方法，以空间换时间达到$O(n)$的时间复杂度，调试较麻烦但时间复杂度似乎有所降低
首先最小矩形周长肯定为$2\ast (max(x)+max(y)-min(x)-min(y))$
我们关注每一条边，以西边为例，我们仅需关注最西边向东的点$We$，最西边向西的点$Ww$，最西边不做东西运动的点$wd$

我们依次计算每个边的三个参数，并计算初始周长

int Ee=-1E9-1,We=1E9+1,Ww=1E9+1,Ew=-1E9-1,Nn=-1E9-1,Sn=1E9+1,Ns=-1E9-1,Ss=1E9+1,wd=1E9+1,sd=1E9+1,ed=-1E9-1,nd=-1E9-1;
 int maxe=-1E9-1,maxw=1E9+1,maxn=-1E9-1,maxs=1E9+1;
 for(int i=0;i<n;i++)
 {
     cin>>x>>y>>d;
     maxe=max(x,maxe);
     maxn=max(y,maxn);
     maxs=min(y,maxs);
     maxw=min(x,maxw);
     if(d=='E')
     {
         Ee=max(x,Ee);
         We=min(x,We);
         nd=max(y,nd);
         sd=min(y,sd);
     }
     else if(d=='W')
     {
         Ww=min(Ww,x);
         Ew=max(Ew,x);
         nd=max(y,nd);
         sd=min(y,sd);
     }
     else if(d=='N')
     {
         Nn=max(y,Nn);
         Sn=min(y,Sn);
         ed=max(ed,x);
         wd=min(ed,y);
     }
     else
     {
         Ss=min(y,Ss);
         Ns=max(y,Ns);
         ed=max(ed,x);
         wd=min(wd,y);
     }

而在$We$向$Ww$和$wd$靠近的时候，对边长的贡献为每格**-1**，而在超过$wd$但未超过$Ww$的阶段，边长贡献为0，而超过$Ww$以后贡献为**+1此处有一个细节，就是当两个人面对面交错的时候可能会出现0贡献的情况因此开一个mo数组，当对向出现交错的情况补充1贡献**
每次对最小差值进行情况分析，当贡献$<=0$的时候退出计算

vector<int>ze(4),pl(4),mo(4,0);
    if(Ww>We)
    {
        pl[0]=(Ww-We)/2;
    }
    else pl[0]=-1;
    if(We<wd)
    {
        ze[0]=wd-We;
    }
    else ze[0]=-1;
    if(pl[0]>=0&&pl[0]<ze[0]&&(Ww-We)%2)mo[0]=1;

    if(Ew>Ee)
    {
        pl[1]=(Ew-Ee)/2;
    }
    else pl[1]=-1;
    if(Ew>ed)
    {
        ze[1]=Ew-ed;
    }
    else ze[1]=-1;
    if(pl[1]>=0&&pl[1]<ze[1]&&(Ew-Ee)%2)mo[1]=1;

    if(Ns>Nn)
    {
        pl[2]=(Ns-Nn)/2;
    }
    else pl[2]=-1;
    if(Ns>nd)
    {
        ze[2]=Ns-nd;
    }
    else ze[2]=-1;
    if(pl[2]>=0&&pl[2]<ze[2]&&(Ns-Nn)%2)mo[2]=1;

    if(Ss>Sn)
    {
        pl[3]=(Ss-Sn)/2;
    }
    else pl[3]=-1;
    if(sd>Sn)
    {
        ze[3]=sd-Sn;
    }
    else ze[3]=-1;
    if(pl[3]>=0&&pl[3]<ze[3]&&(sd-Sn)%2)mo[3]=1;
    int cnt=0;
    for(int i=0;i<4;i++)
    {
        if(pl[i]>0&&ze[i]>0)cnt++;
        else if(pl[i]<0&&ze[i]>0)cnt--;
        else if(pl[i]==0&&ze[i]>0)cnt+=mo[i];
    }
    while(cnt){
        cnt=0;
        int minn=1E9+1;
        for(int i=0;i<3;i++)
        {
            if(ze[i]>0)minn=min(minn,ze[i]);
            if(pl[i]>0)minn=min(minn,pl[i]);
        }
        for(int i=0;i<4;i++)
        {

            if(pl[i]>0&&ze[i]>0)
            {
                if(i/2)lengthn-=minn;
                else lengthe-=minn;

            }
            else if(pl[i]<0&&ze[i]>0)
            {
                if(i/2)lengthn-=minn;
                else lengthe-=minn;

            }
            else if(pl[i]==0&&ze[i]>0)
            {
                if(i/2)lengthn-=minn;
                else lengthe-=minn;
            }
        }
        for(int i=0;i<4;i++)
        {
            pl[i]-=minn;
            ze[i]-=minn;
            if(pl[i]>0&&ze[i]>0)cnt++;
            else if(pl[i]<0&&ze[i]>0)cnt--;
            else if(pl[i]==0&&ze[i]>0)cnt+=mo[i];
        }
    }

附AC代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long int
#define mod
int main()
{
    ios::sync_with_stdio(0),cin.tie(0),cout.tie(0);
    int n;
    cin>>n;
    int x,y;
    char d;
    int Ee=-1E9-1,We=1E9+1,Ww=1E9+1,Ew=-1E9-1,Nn=-1E9-1,Sn=1E9+1,Ns=-1E9-1,Ss=1E9+1,wd=1E9+1,sd=1E9+1,ed=-1E9-1,nd=-1E9-1;
    int maxe=-1E9-1,maxw=1E9+1,maxn=-1E9-1,maxs=1E9+1;
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        cin>>x>>y>>d;
        maxe=max(x,maxe);
        maxn=max(y,maxn);
        maxs=min(y,maxs);
        maxw=min(x,maxw);
        if(d=='E')
        {
            Ee=max(x,Ee);
            We=min(x,We);
            nd=max(y,nd);
            sd=min(y,sd);
        }
        else if(d=='W')
        {
            Ww=min(Ww,x);
            Ew=max(Ew,x);
            nd=max(y,nd);
            sd=min(y,sd);
        }
        else if(d=='N')
        {
            Nn=max(y,Nn);
            Sn=min(y,Sn);
            ed=max(ed,x);
            wd=min(ed,y);
        }
        else
        {
            Ss=min(y,Ss);
            Ns=max(y,Ns);
            ed=max(ed,x);
            wd=min(wd,y);
        }

    }
    ll lengthn=((ll)maxn-(ll)maxs);
    ll lengthe=(ll)maxe-(ll)maxw;
    vector<int>ze(4),pl(4),mo(4,0);
    if(Ww>We)
    {
        pl[0]=(Ww-We)/2;
    }
    else pl[0]=-1;
    if(We<wd)
    {
        ze[0]=wd-We;
    }
    else ze[0]=-1;
    if(pl[0]>=0&&pl[0]<ze[0]&&(Ww-We)%2)mo[0]=1;

    if(Ew>Ee)
    {
        pl[1]=(Ew-Ee)/2;
    }
    else pl[1]=-1;
    if(Ew>ed)
    {
        ze[1]=Ew-ed;
    }
    else ze[1]=-1;
    if(pl[1]>=0&&pl[1]<ze[1]&&(Ew-Ee)%2)mo[1]=1;

    if(Ns>Nn)
    {
        pl[2]=(Ns-Nn)/2;
    }
    else pl[2]=-1;
    if(Ns>nd)
    {
        ze[2]=Ns-nd;
    }
    else ze[2]=-1;
    if(pl[2]>=0&&pl[2]<ze[2]&&(Ns-Nn)%2)mo[2]=1;

    if(Ss>Sn)
    {
        pl[3]=(Ss-Sn)/2;
    }
    else pl[3]=-1;
    if(sd>Sn)
    {
        ze[3]=sd-Sn;
    }
    else ze[3]=-1;
    if(pl[3]>=0&&pl[3]<ze[3]&&(sd-Sn)%2)mo[3]=1;
    int cnt=0;
    for(int i=0;i<4;i++)
    {
        if(pl[i]>0&&ze[i]>0)cnt++;
        else if(pl[i]<0&&ze[i]>0)cnt--;
        else if(pl[i]==0&&ze[i]>0)cnt+=mo[i];
    }
    while(cnt){
        cnt=0;
        int minn=1E9+1;
        for(int i=0;i<3;i++)
        {
            if(ze[i]>0)minn=min(minn,ze[i]);
            if(pl[i]>0)minn=min(minn,pl[i]);
        }
        for(int i=0;i<4;i++)
        {

            if(pl[i]>0&&ze[i]>0)
            {
                if(i/2)lengthn-=minn;
                else lengthe-=minn;

            }
            else if(pl[i]<0&&ze[i]>0)
            {
                if(i/2)lengthn-=minn;
                else lengthe-=minn;

            }
            else if(pl[i]==0&&ze[i]>0)
            {
                if(i/2)lengthn-=minn;
                else lengthe-=minn;
            }
        }
        for(int i=0;i<4;i++)
        {
            pl[i]-=minn;
            ze[i]-=minn;
            if(pl[i]>0&&ze[i]>0)cnt++;
            else if(pl[i]<0&&ze[i]>0)cnt--;
            else if(pl[i]==0&&ze[i]>0)cnt+=mo[i];
        }
    }
    cout<<(ll)lengthe*2+(ll)lengthn*2;
    return 0;
}