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【C++】15.二叉搜索树

一、二叉搜索树的概念

二叉搜索树又称二叉排序树，它或者是一棵空树，或者是具有以下性质的二叉树:

  • 若它的左子树不为空，则左子树上所有节点的值都小于根节点的值
  • 若它的右子树不为空，则右子树上所有节点的值都大于根节点的值
  • 它的左右子树也分别为二叉搜索树

二、二叉搜索树的分析与实现

我们接下来的操作以这张图为例：
在这里插入图片描述

2.1 查找

  • 从根开始比较，查找，比根大则往右边走查找，比根小则往左边走查找
  • 最多查找高度次，走到到空，还没找到，这个值不存在
bool find(const K& key)
{
	Node* cur = root;
	while (cur)
	{
		if (cur->_key < key)//小于向右找
		{
			cur = cur->_right;
		}
		else if (cur->_key > key)//大于向左找
		{
			cur = cur->_left;
		}
		else//等于就找到
		{
			return true;
		}
	}
	//出了循环就找不到了
	return false;
}

2.2 插入

  • 树为空，则直接新增节点，赋值给root指针
  • 树不空，按二叉搜索树性质查找插入位置，插入新节点
bool Insert(const K& key)
{
	if (root == nullptr)
	{
		root = new Node(key);
		return true;
	}
	Node* cur = root;
	Node* parent = nullptr;
	while (cur)
	{
		if (cur->_key < key)//小于向右找
		{
			parent = cur;
			cur = cur->_right;
		}
		else if (cur->_key > key)//大于向左找
		{
			parent = cur;
			cur = cur->_left;
		}
		else//等于就找到,不能重复就返回假
		{
			return false;
		}
	}
	//出了循环就找不到了，开始插入
	cur = new Node(key);
	if (cur->_key < parent->_key)
		parent->_left = cur;
	else
		parent->_right = cur;

	return true;
	
}

2.2 删除

首先查找元素是否在二叉搜索树中，如果不存在，则返回, 否则要删除的结点可能分下面四种情况：

  1. 要删除的结点无孩子结点
  2. 要删除的结点只有左孩子结点
  3. 要删除的结点只有右孩子结点
  4. 要删除的结点有左、右孩子结点

看起来有待删除节点有4中情况，实际情况a可以与情况b或者c合并起来，因此真正的删除过程如下：

  • 删除该结点且使被删除节点的双亲结点指向被删除节点的左孩子结点–直接删除
  • 删除该结点且使被删除节点的双亲结点指向被删除结点的右孩子结点–直接删除
  • 在它的右子树中寻找中序下的第一个结点(关键码最小)，用它的值填补到被删除节点中，再来处理该结点的删除问题–替换法删除
bool erase(const K& key)
{
	Node* cur = root;
	Node* parent=nullptr;

	while (cur)
	{
		if (cur->_key < key)//小于向右找
		{
			parent = cur;
			cur = cur->_right;
		}
		else if (cur->_key > key)//大于向左找
		{
			parent = cur;
			cur = cur->_left;
		}
		else//等于就找到
		{
			//0-1个孩子的情况
			//如果左子树为空
			if(cur->_left==nullptr)
			{
				//是否删除根节点
				if (parent == nullptr)
					root = root->_right;
				else
				{
					//说明cur是他的左子树
					if (parent->_left == cur)
						parent->_left = cur->_right;
					//说明cur是他的右子树
					else
						parent->_right = cur->_right;
				}		
				delete cur;
			}
			//如果他的右子树为空
			else if(cur->_right==nullptr)
			{
				if (parent = nullptr)
					root = root->_left;
				else
				{
					//说明cur是他的左子树
					if (parent->_left = cur)
						parent->_left = cur->_left;
					//说明cur是他的右子树
					else
						parent->_right = cur->_left;
				}
				delete cur;
			}
			//两个结点都不为空
			else
			{
				parent = cur;
				Node* rightmid = cur->_right;

				while (rightmid->_left)
				{
					parent = rightmid;
					rightmid = rightmid->_left;
				}
				cur->_key = rightmid->_key;
				if(parent->_right==rightmid)//右子树
					parent->_right = rightmid->_right;
				else//左子树
					parent->_left = rightmid->_right;
				delete rightmid;
			}
			return true;
		}
	}
	//出了循环就找不到了
	return false;
}

三、二叉搜素树的应用

3.1 key模型：主要用于确定key是否存在

后续的<set>容器就是key模型
比如：给一个单词word，判断该单词是否拼写正确。

代码如下：

//BSTree.h
//树节点
template<class K>
struct TreeNode
{
	K _key;
	TreeNode<K>* _left;
	TreeNode<K>* _right;
	TreeNode(const K& key = K()) :_key(key), _left(nullptr), _right(nullptr) {}
};


template<class K>
class BSTree
{
	typedef TreeNode<K> Node;
public:
	BSTree() = default;
	BSTree(const BSTree<K>& r):root(r.root){}
	~BSTree()
	{
		destory(root);
		root = nullptr;
	}


	bool find(const K& key)
	{
		Node* cur = root;
		while (cur)
		{
			if (cur->_key < key)//小于向右找
			{
				cur = cur->_right;
			}
			else if (cur->_key > key)//大于向左找
			{
				cur = cur->_left;
			}
			else//等于就找到
			{
				return true;
			}
		}
		//出了循环就找不到了
		return false;
	}
	bool Insert(const K& key)
	{
		if (root == nullptr)
		{
			root = new Node(key);
			return true;
		}
		Node* cur = root;
		Node* parent = nullptr;
		while (cur)
		{
			if (cur->_key < key)//小于向右找
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_right;
			}
			else if (cur->_key > key)//大于向左找
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_left;
			}
			else//等于就找到,不能重复就返回假
			{
				return false;
			}
		}
		//出了循环就找不到了，开始插入
		cur = new Node(key);
		if (cur->_key < parent->_key)
			parent->_left = cur;
		else
			parent->_right = cur;

		return true;

	}
	bool erase(const K& key)
	{
		Node* cur = root;
		Node* parent = nullptr;

		while (cur)
		{
			if (cur->_key < key)//小于向右找
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_right;
			}
			else if (cur->_key > key)//大于向左找
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_left;
			}
			else//等于就找到
			{
				//0-1个孩子的情况
				//如果左子树为空
				if (cur->_left == nullptr)
				{
					//是否删除根节点
					if (parent == nullptr)
						root = root->_right;
					else
					{
						//说明cur是他的左子树
						if (parent->_left == cur)
							parent->_left = cur->_right;
						//说明cur是他的右子树
						else
							parent->_right = cur->_right;
					}
					delete cur;
				}
				//如果他的右子树为空
				else if (cur->_right == nullptr)
				{
					if (parent = nullptr)
						root = root->_left;
					else
					{
						//说明cur是他的左子树
						if (parent->_left = cur)
							parent->_left = cur->_left;
						//说明cur是他的右子树
						else
							parent->_right = cur->_left;
					}
					delete cur;
				}
				//两个结点都不为空
				else
				{
					parent = cur;
					Node* rightmid = cur->_right;

					while (rightmid->_left)
					{
						parent = rightmid;
						rightmid = rightmid->_left;
					}
					cur->_key = rightmid->_key;
					if (parent->_right == rightmid)//右子树
						parent->_right = rightmid->_right;
					else//左子树
						parent->_left = rightmid->_right;
					delete rightmid;
				}
				return true;
			}
		}
		//出了循环就找不到了
		return false;
	}
	void InOrder()
	{
		_InOrder(root);
		cout << endl;
	}
private:
	Node* root;
	void _InOrder(Node* root)
	{
		if (root == nullptr)
		{
			return;
		}
		_InOrder(root->_left);
		cout << root->_key << " ";
		_InOrder(root->_right);
	}
	void destory(Node* root)
	{
		if (root == nullptr)
			return;
		destory(root->_left);
		destory(root->_right);
		delete root;
	}
};

3.2 key/value模型：主要用于通过key来找到value

后续的<map>容器就是key/value模型
比如：停车场的停车费

//树节点
template<class K,class V>
struct TreeNode
{
	K _key;
	V _value;
	TreeNode<K,V>* _left;
	TreeNode<K,V>* _right;
	TreeNode(const K& key = K(),const V& value=V()) :_key(key),_value(value) ,_left(nullptr), _right(nullptr) {}
};


template<class K,class V>
class BSTree
{
	typedef TreeNode<K,V> Node;
public:
	BSTree() = default;
	BSTree(const BSTree<K,V>& r) :root(r.root) {}
	~BSTree()
	{
		destory(root);
		root = nullptr;
	}
	Node* find(const K& key)
	{
		Node* cur = root;
		while (cur)
		{
			if (cur->_key < key)//小于向右找
			{
				cur = cur->_right;
			}
			else if (cur->_key > key)//大于向左找
			{
				cur = cur->_left;
			}
			else//等于就找到
			{
				return cur;
			}
		}
		//出了循环就找不到了
		return nullptr;
	}
	bool Insert(const K& key,const V& value)
	{
		if (root == nullptr)
		{
			root = new Node(key,value);
			return true;
		}
		Node* cur = root;
		Node* parent = nullptr;
		while (cur)
		{
			if (cur->_key < key)//小于向右找
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_right;
			}
			else if (cur->_key > key)//大于向左找
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_left;
			}
			else//等于就找到,不能重复就返回假
			{
				return false;
			}
		}
		//出了循环就找不到了，开始插入
		cur = new Node(key,value);
		if (cur->_key < parent->_key)
			parent->_left = cur;
		else
			parent->_right = cur;

		return true;

	}
	bool erase(const K& key)
	{
		Node* cur = root;
		Node* parent = nullptr;

		while (cur)
		{
			if (cur->_key < key)//小于向右找
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_right;
			}
			else if (cur->_key > key)//大于向左找
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_left;
			}
			else//等于就找到
			{
				//0-1个孩子的情况
				//如果左子树为空
				if (cur->_left == nullptr)
				{
					//是否删除根节点
					if (parent == nullptr)
						root = root->_right;
					else
					{
						//说明cur是他的左子树
						if (parent->_left == cur)
							parent->_left = cur->_right;
						//说明cur是他的右子树
						else
							parent->_right = cur->_right;
					}
					delete cur;
				}
				//如果他的右子树为空
				else if (cur->_right == nullptr)
				{
					if (parent = nullptr)
						root = root->_left;
					else
					{
						//说明cur是他的左子树
						if (parent->_left = cur)
							parent->_left = cur->_left;
						//说明cur是他的右子树
						else
							parent->_right = cur->_left;
					}
					delete cur;
				}
				//两个结点都不为空
				else
				{
					parent = cur;
					Node* rightmid = cur->_right;

					while (rightmid->_left)
					{
						parent = rightmid;
						rightmid = rightmid->_left;
					}
					cur->_key = rightmid->_key;
					if (parent->_right == rightmid)//右子树
						parent->_right = rightmid->_right;
					else//左子树
						parent->_left = rightmid->_right;
					delete rightmid;
				}
				return true;
			}
		}
		//出了循环就找不到了
		return false;
	}
	void InOrder()
	{
		_InOrder(root);
		cout << endl;
	}
private:
	Node* root;
	void _InOrder(Node* root)
	{
		if (root == nullptr)
		{
			return;
		}
		_InOrder(root->_left);
		cout << root->_key << " " << root->_value << endl;
		_InOrder(root->_right);
	}
	void destory(Node* root)
	{
		if (root == nullptr)
			return;
		destory(root->_left);
		destory(root->_right);
		delete root;
	}
};

四、二叉搜索树性能分析

插入和删除操作都必须先查找，查找效率代表了二叉搜索树中各个操作的性能。
对有n个结点的二叉搜索树，若每个元素查找的概率相等，则二叉搜索树平均查找长度是结点在二叉搜索树的深度的函数，即结点越深，则比较次数越多。
但对于同一个关键码集合，如果各关键码插入的次序不同，可能得到不同结构的二叉搜索树：
在这里插入图片描述
最优情况下，二叉搜索树为完全二叉树(或者接近完全二叉树)，其平均比较次数为： l o g 2 N log_2 N log2​N
最差情况下，二叉搜索树退化为单支树(或者类似单支)，其平均比较次数为： N 2 \frac{N}{2} 2N​

悦读

道可道，非常道；名可名，非常名。 无名，天地之始，有名，万物之母。 故常无欲，以观其妙，常有欲，以观其徼。 此两者，同出而异名，同谓之玄，玄之又玄，众妙之门。

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