1.二叉搜索树的概念

二叉搜索树又称二叉排序树，它或者是一棵空树，或者是具有以下性质的二叉树:

• 若它的左子树不为空，则左子树上所有结点的值都小于等于根结点的值

• 若它的右子树不为空，则右子树上所有结点的值都大于等于根结点的值.

• 它的左右子树也分别为二叉搜索树

• 二叉搜索树中可以支持插入相等的值，也可以不支持插入相等的值，具体看使用场景定义，后续我们学习map/set/multimap/multiset系列容器底层就是二叉搜索树，其中map/set不支持插入相等值，multimap/multiset支持插入相等值

左子树比根小，右子树比根大

主要功能是搜索、排序

那么我们怎么进行查找操作呢？

因为我们这里的是搜索二叉树，左子树比根节点小，右子树比根节点大，

我们现在想去找这个4，4比8小，那么我们就没必要去右子树进行查找了，我们直接在左子树进行查找就行了

然后4比3大，那么我们直接在右子树上面找

4比6小，直接在左子树上找，然后就找到了

那么我们在搜索二叉树中进行数据的查找的话，那么我们只需要寻找高度次就可以找到对应的数据了

有点像之前学习的二分查找，效率是logN

但是存在缺陷：

1.要求有序

2.底层结构要求是数组，头部或者中间插入删除数据效率很低

排序的话那么就是按照中序遍历的话，那么整个排序出来的数组就是升序的，所以搜索二叉树的功能之一是排序

2.二叉树搜索的性能分析

最优情况下，二叉搜索树为完全二叉树(或者接近完全二叉树)，其高度为:log2N

最差情况下，二叉搜索树退化为单支树(或者类似单支)，其高度为:N

所以综合而言二叉搜索树增删查改时间复杂度为:0(N)

那么这样的效率显然是无法满足我们需求的，我们后续课程需要继续讲解二叉搜索树的变形，平衡二叉搜索树AVL树和红黑树，才能适用于我们在内存中存储和搜索数据。另外需要说明的是，二分查找也可以实现0(log2N)级别的查找效率，但是二分查找有两大缺陷:1.需要存储在支持下标随机访问的结构中，并且有序。

2.插入和删除数据效率很低，因为存储在下标随机访问的结构中，插入和删除数据一般需要挪动数据。

这里也就体现出了平衡二又搜索树的价值。

下面两个都是二叉搜索树

二叉树效率不错的前提是左右节点比较均衡接近完全二叉树

3.二叉搜索树的插入

插入的具体过程如下:

1.树为空，则直接新增结点，赋值给root指针

2.树不空，按二叉搜索树性质，插入值比当前结点大往右走，插入值比当前结点小往左走，找到空位置，插入新结点。

3.如果支持插入相等的值，插入值跟当前结点相等的值可以往右走，也可以往左走，找到空位置，插(要注意的是要保持逻辑一致性，插入相等的值不要一会往右走，一会往左走)入新结点。

#pragma once
#include<iostream>
using namespace std;

template<class k>

struct BSTNode
{
	k _key;
	BSTNode<k>* _left;
	BSTNode<k>* _right;

	BSTNode(const k&key)
		:_key(key)
		,_left(nullptr)
		,_right(nullptr)
	{ }
};

template<class k>
class BSTree
{
	typedef BSTNode<k> Node;//内部进行简化下
public:
	bool Insert(const k& key)
	{
		if (_root == nullptr)//说明这棵树都是空的
		{
			_root = new Node(key);
			return true;
		}

		//如果根不是空的话，我们进行插入的操作
		Node* parent = nullptr;//父节点默认给空
		Node* cur = _root;
		while (cur)
		{
			if (cur->_key < key)// 如果插入的值大于当前节点的值的话，那么我们就走右子树

			{
				parent = cur;
				cur = cur->_right;
			}
			else if (cur->_key > key)// 如果插入的值小于当前节点的值的话，那么我们就走左子树
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_left;
			}
			else//如果这个值已经存在的话，我们直接返回false
			{
				return false;
			}
		}
		//出了循环，那么就说cur走到了空了
		cur = new Node(key);//我们申请的空间给了一个局部变量，实际上并没有进行插入操作了
		if (parent->_key<key)//如果插入的值比父节点大的话
		{
			parent->_right = cur;
		}
		else
		{
			parent->_left = cur;
		}
		return true;
	}

	void InOrder()//我们在私有中进行实现，然后在公有中进行包装一下，我们在外面调用直接进行这个函数的调用就行了
	{
		_InOrder(_root);
	}
private:
	void _InOrder(Node* root)//中序遍历
	{
		if (root == nullptr)
		{
			return;
		}
		_InOrder(root->_left);
		cout << root->_key << " ";
		_InOrder(root->_right);
	}

	Node* _root = nullptr;

};  

4.二叉搜索树的查找

1.从根开始比较，查找x，x比根的值大则往右边走查找，x比根值小则往左边走查找。

2.最多查找高度次，走到到空，还没找到，这个值不存在。

3.如果不支持插入相等的值，找到x即可返回

4.如果支持插入相等的值，意味着有多个x存在，一般要求查找中序的第一个x。如下图，查找3，要找到1的右孩子的那个3返回

#pragma once
#include<iostream>
using namespace std;

template<class k>

struct BSTNode
{
	k _key;
	BSTNode<k>* _left;
	BSTNode<k>* _right;

	BSTNode(const k&key)
		:_key(key)
		,_left(nullptr)
		,_right(nullptr)
	{ }
};

template<class k>
class BSTree
{
	typedef BSTNode<k> Node;//内部进行简化下
public:
	bool Insert(const k& key)
	{
		if (_root == nullptr)//说明这棵树都是空的
		{
			_root = new Node(key);
			return true;
		}

		//如果根不是空的话，我们进行插入的操作
		Node* parent = nullptr;//父节点默认给空
		Node* cur = _root;
		while (cur)
		{
			if (cur->_key < key)// 如果插入的值大于当前节点的值的话，那么我们就走右子树

			{
				parent = cur;
				cur = cur->_right;
			}
			else if (cur->_key > key)// 如果插入的值小于当前节点的值的话，那么我们就走左子树
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_left;
			}
			else//如果这个值已经存在的话，我们直接返回false
			{
				return false;
			}
		}
		//出了循环，那么就说cur走到了空了
		cur = new Node(key);//我们申请的空间给了一个局部变量，实际上并没有进行插入操作了
		if (parent->_key<key)//如果插入的值比父节点大的话
		{
			parent->_right = cur;
		}
		else
		{
			parent->_left = cur;
		}
		return true;
	}

	void InOrder()//我们在私有中进行实现，然后在公有中进行包装一下，我们在外面调用直接进行这个函数的调用就行了
	{
		_InOrder(_root);
	}

	bool Find(const k& key)
	{
		Node* cur = _root;
		while (cur)
		{
			if (cur->_key < key)//如果当前节点的值小于我们要找的值的话，那么我们取右子树找
			{
				cur = cur->_right;
			}
			else if(cur->_key > key)
			{
				cur = cur->_left;
			}
			else
			{
				return true;
			}
		}
		//出了循环的话还没有找到的话
		return false;
	}
private:
	void _InOrder(Node* root)//中序遍历
	{
		if (root == nullptr)
		{
			return;
		}
		_InOrder(root->_left);
		cout << root->_key << " ";
		_InOrder(root->_right);
	}

	Node* _root = nullptr;

};  

如果要求我们进行3的查找的话，并且这个3存在2两个，那么我们查找中序的第一个三就行了

5.二叉搜索树的删除

首先查找元素是否在二叉搜索树中，如果不存在，则返回false。

如果查找元素存在则分以下四种情况分别处理:(假设要删除的结点为N)

1.要删除结点N左右孩子均为空

2.要删除的结点N左孩子位空，右孩子结点不为空

3.要删除的结点N右孩子位空，左孩子结点不为空

4.要删除的结点N左右孩子结点均不为空对应以上四种情况的解决方案:

1.把N结点的父亲对应孩子指针指向空，直接删除N结点(情况1可以当成2或者3处理，效果是一样的)

2.把N结点的父亲对应孩子指针指向N的右孩子，直接删除N结点

3.把N结点的父亲对应孩子指针指向N的左孩子，直接删除N结点

4.无法直接删除N结点，因为N的两个孩子无处安放，只能用替换法删除。找N左子树的值最大结点R(最右结点)或者N右子树的值最小结点R(最左结点)替代N，因为这两个结点中任意一个，放到N的位置，都满足二叉搜索树的规则。替代N的意思就是N和R的两个结点的值交换，转而变成删除R结点，R结点符合情况2或情况3，可以直接删除。

当前节点是要删除的，如果当前节点的左是空的，并且当前节点是父亲节点的右节点的话，我们直接让我们的父亲节点指向我们的要删除节点的右节点

				if (cur->_left == nullptr)//cur的左为空
				{
					//左子树为空的话，要删除当前节点
					//那么我们让父亲指向右节点
					if (cur == parent->_right)
					{
						parent->_right = cur->_right;
					}
				}

现在我们要删除3这个节点的话

我们需要找到右子树中的最小节点

那么我们就在右子树中的左边进行最小节点的寻找操作

我们这里从6开始进行寻找，直到我们的左节点为空的话，我们就停下来

那么我们在6这里停下来，然后4就是3这个树中的最小的节点了

Node* minRight = cur->_right;
while (minRight->_left)
{
				minRight = minRight->_left;
}

但是我们这里删除的3是没有问题的，那么我们删除8呢？

删除8的话用程序代码就会报错了

我们要删除的8没有父节点了

因为我们这里的8的左节点是空，所以我们就没进行这个循环操作了

然后直接将10和8这两个节点的值进行交换了

交换完成之后我们对minRightParent进行操作，但是我们从一开始就是没有这个minRightParent节点的，所以这里是个坑

我们需要在一开始就对minRightParent进行初始化操作，不然的话因为我们跳过了循环，没有进行循环中的初始化操作，下面的代码就会崩

Node* minRightParent = cur;

初始化完成之后我们进行一个判断，乳沟我们的parent的左节点是最小的节点的话，我们就让我们的parent的左节节点变成最小节点的右节点，否则的话就是parent的右节点变成最小节点的右节点

				else//左右都不为空
				{
					//找右子树最小节点(最左边的)来替代我的位置
					Node* minRightParent = cur;

					Node* minRight = cur->_right;
					while (minRight->_left)
					{
						minRightParent = minRight;
						//然后进行minRight的移动
						minRight = minRight->_left;
					}
					//先将当前要删除的节点和右子树中最小的节点中的值进行交换
					//然后将最小节点的那个节点进行删除了
					cur->_key = minRight->_key;
					//这个最小节点的左边是空的
					if (minRightParent->_left == minRight)
					{
						minRightParent->_left = minRight->_right;
					}
					else
					{
						minRightParent->_right = minRight->_right;

					}
					delete minRight;
				}

那么考虑到父亲是否存在的这个问题了，我们之前的前两种情况我们需要重新进行判断了

我们现在需要删除8这个节点，

因为我们的8是第一个节点，所以是没有父亲节点的，我们进行下面的while循环就直接找到了我们的8这个节点，我们并没有进行循环中前面的两个条件判断，所以我们没有对parent进行更新操作

我们直接进入到else中，但是因为我们parent没有更新，所以后面的和parent相关的代码就会报错了

那么我们这里直接将root进行更新操作就行了，然后10就成为新的root了

完整的删除代码

	bool Erase(const k& key)
	{
		Node* parent = nullptr;//父节点默认给空
		Node* cur = _root;
		while (cur)
		{
			if (cur->_key < key)// 如果插入的值大于当前节点的值的话，那么我们就走右子树
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_right;
			}
			else if (cur->_key > key)// 如果插入的值小于当前节点的值的话，那么我们就走左子树
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_left;
			}
			else//找到了这个值，我们进行删除的操作
			{
				//因为左边是空的，并且我们要删除当前节点，所以我们直接让父亲指向我们的右边
				if (cur->_left == nullptr)//cur的左为空，右边不是空的
				{
				//if (parent == nullptr)
					if (cur==_root)
					{
						//如果父亲节点是空的话
						//因为我们要删除的节点是我们的根节点，
						// 那么我们的parent就不会进行更新了
						//所以我们要单独进行考虑这种情况
						_root = cur->_right;
					}
					else
					{
						//左子树为空的话，要删除当前节点
//那么我们让父亲指向右节点
						if (cur == parent->_right)
						{
							parent->_right = cur->_right;
						}
						else//当前节点是父亲节点的左节点的话
						{
							parent->_left = cur->_right;
						}
					}
					delete cur;//将当前节点释放了

				}
				else if (cur->_right == nullptr)//cur的右为空
				{
					if (cur == _root)//和上面一样，删除的节点是根节点
					{
						_root = cur->_left;
					}
					else
					{
						//右子树为空的话，要删除当前节点
//那么我们让父亲指向左节点
						if (cur == parent->_right)
						{
							parent->_right = cur->_left;
						}
						else//当前节点是父亲节点的左节点的话
						{
							parent->_left = cur->_left;
						}
					}
					delete cur;//将当前节点释放了

				}
				else//左右都不为空
				{
					//找右子树最小节点(最左边的)来替代我的位置
					Node* minRightParent = cur;

					Node* minRight = cur->_right;
					while (minRight->_left)
					{
						minRightParent = minRight;
						//然后进行minRight的移动
						minRight = minRight->_left;
					}
					//先将当前要删除的节点和右子树中最小的节点中的值进行交换
					//然后将最小节点的那个节点进行删除了
					cur->_key = minRight->_key;
					//这个最小节点的左边是空的
					if (minRightParent->_left == minRight)
					{
						minRightParent->_left = minRight->_right;
					}
					else
					{
						minRightParent->_right = minRight->_right;

					}
					delete minRight;
				}
				return true;
			}
		}
		return false;

	}

6.二叉搜索树的场景

key的搜索场景

只有key作为关键码，结构中只需要存储key即可，关键码即为需要搜索到的值，搜索场景只需要判断key在不在。key的搜索场景实现的二叉树搜索树支持增删查，但是不支持修改，修改key破坏搜索树结构了。

场景1:小区无人值守车库，小区车库买了车位的业主车才能进小区，那么物业会把买了车位的业主的车牌号录入后台系统，车辆进入时扫描车牌在不在系统中，在则抬杆，不在则提示非本小区车辆，无法进入。

场景2:检查一篇英文文章单词拼写是否正确，将词库中所有单词放入二叉搜索树，读取文章中的单词，查找是否在二叉搜索树中，不在则波浪线标红提示。

7.2 key/value搜索场景:

每一个关键码key，都有与之对应的值value，value可以任意类型对象。树的结构中(结点)除了需要存储key还要存储对应的value，增/删/查还是以key为关键字走二叉搜索树的规则进行比较，可以快速查

找到key对应的value。key/alue的搜索场景实现的二叉树搜索树支持修改，但是不支持修改key，修改key破坏搜索树性质了，可以修改value。

场景1:简单中英互译字典，树的结构中(结点)存储key(英文)和vlaue(中文)，搜索时输入英文，则同时查找到了英文对应的中文。

场景2:商场无人值守车库，入口进场时扫描车牌，记录车牌和入场时间，出口离场时，扫描车牌，查找入场时间，用当前时间-入场时间计算出停车时长，计算出停车费用，缴费后抬杆，车辆离场。

场景3:统计一篇文章中单词出现的次数，读取一个单词，查找单词是否存在，不存在这个说明第一次出现，(单词，1)，单词存在，则++单词对应的次数。

可以进行次数的统计操作的