数据结构·一篇搞定二叉树！

许久不见，甚是想念
😁
不煽情了，直入主题，来看看二叉树~

1.树概念及结构

1.1树的概念

树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因
为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。

有一个特殊的结点，称为根结点，根结点没有前驱结点
除根结点外，其余结点被分成M(M>0)个互不相交的集合T1、T2、……、Tm，其中每一个集合Ti(1<= i<=
m)又是一棵结构与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继
因此，树是递归定义的。

注意：树形结构中，子树之间不能有交集，否则就不是树形结构
在这里插入图片描述

1.2 树的相关概念

在这里插入图片描述

结点的度：一个结点含有的子树的个数称为该结点的度；如上图：A的为6
叶结点或终端结点：度为0的结点称为叶结点；如上图：B、C、H、I…等结点为叶结点
非终端结点或分支结点：度不为0的结点；如上图：D、E、F、G…等结点为分支结点
双亲结点或父结点：若一个结点含有子结点，则这个结点称为其子结点的父结点；如上图：A是B的父结点
孩子结点或子结点：一个结点含有的子树的根结点称为该结点的子结点；如上图：B是A的孩子结点
兄弟结点：具有相同父结点的结点互称为兄弟结点；如上图：B、C是兄弟结点
树的度：一棵树中，最大的结点的度称为树的度；如上图：树的度为6
结点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子结点为第2层，以此类推
树的高度或深度：树中结点的最大层次；如上图：树的高度为4
堂兄弟结点：双亲在同一层的结点互为堂兄弟；如上图：H、I互为兄弟结点
结点的祖先：从根到该结点所经分支上的所有结点；如上图：A是所有结点的祖先
子孙：以某结点为根的子树中任一结点都称为该结点的子孙。如上图：所有结点都是A的子孙
森林：由m（m>0）棵互不相交的树的集合称为森林；

1.3 树的表示

树结构相对线性表就比较复杂了，要存储表示起来就比较麻烦了，既然保存值域，也要保存结点和结点之间的关系，实际中树有很多种表示方式如：双亲表示法，孩子表示法、孩子双亲表示法以及孩子兄弟表示法等。我们这里就简单的了解其中最常用的孩子兄弟表示法。

typedef int DataType;
struct Node
{
struct Node* firstChild1; // 第一个孩子结点
struct Node* pNextBrother; // 指向其下一个兄弟结点
DataType data; // 结点中的数据域
};

在这里插入图片描述

2.二叉树概念及结构

2.1概念

一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合:

或者为空
由一个根结点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成

从上图可以看出：

二叉树不存在度大于2的结点
二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树

注意：对于任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成的：
在这里插入图片描述

2.2现实中的二叉树：

这个就很形象哈哈哈
在这里插入图片描述

2.3 特殊的二叉树：

满二叉树：一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。也就是
说，如果一个二叉树的层数为K，且结点总数是，则它就是满二叉树。
完全二叉树：完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点一一对应时称之为完全二叉树。要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。

在这里插入图片描述

2.4 二叉树的性质

若规定根结点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有 2^（i-1）个结点.
若规定根结点的层数为1，则深度为h的二叉树的最大结点数是 2^h.
对任何一棵二叉树, 如果度为0其叶结点个数为n0 , 度为2的分支结点个数为n2 ,则有 n0=n2 +1，分析如下：
.假设二叉树有N个结点
从总结点数角度考虑：N = n0 + n1 + n2 ①
从边的角度考虑，N个结点的任意二叉树，总共有N-1条边
因为二叉树中每个结点都有双亲，根结点没有双亲，每个节点向上与其双亲之间存在一条边
因此N个结点的二叉树总共有N-1条边
因为度为0的结点没有孩子，故度为0的结点不产生边; 度为1的结点只有一个孩子，故每个度为1的结
点产生一条边; 度为2的结点有2个孩子，故每个度为2的结点产生两条边，所以总边数为：
n1+2n2
故从边的角度考虑：N-1 = n1 + 2n2 ②
结合① 和 ②得：n0 + n1 + n2 = n1 + 2*n2 - 1
即：n0 = n2 + 1
若规定根结点的层数为1，具有n个结点的满二叉树的深度，h= . (ps：是log以2 为底，n+1为对数)
对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的数组顺序对所有结点从0开始编号，则对于序号为i的结点有：
若i>0，i位置结点的双亲序号：(i-1)/2；i=0，i为根结点编号，无双亲结点
若2i+1<n，左孩子序号：2i+1，2i+1>=n否则无左孩子
若2i+2<n，右孩子序号：2i+2，2i+2>=n否则无右孩子

下面有几个练习题大家可以做做：

某二叉树共有 399 个结点，其中有 199 个度为 2 的结点，则该二叉树中的叶子结点数为（）
A 不存在这样的二叉树
B 200
C 198
D 199
2.下列数据结构中，不适合采用顺序存储结构的是（）
A 非完全二叉树
B 堆
C 队列
D 栈
3.在具有 2n 个结点的完全二叉树中，叶子结点个数为（）
A n
B n+1
C n-1
D n/2
4.一棵完全二叉树的结点数位为531个，那么这棵树的高度为（）
A 11
B 10
C 8
D 12
5.一个具有767个结点的完全二叉树，其叶子结点个数为（）
A 383
B 384
C 385
D 386

答案：
1.B
2.A
3.A
4.B
5.B

2.5 二叉树的存储结构

二叉树一般可以使用两种结构存储，一种顺序结构，一种链式结构。

顺序存储
顺序结构存储就是使用数组来存储，一般使用数组只适合表示完全二叉树，因为不是完全二叉树会有空间的浪费。而现实中使用中只有堆才会使用数组来存储，关于堆我们后面的章节会专门讲解。二叉树顺序存储在物理上是一个数组，在逻辑上是一颗二叉树。
链式存储
二叉树的链式存储结构是指，用链表来表示一棵二叉树，即用链来指示元素的逻辑关系。通常的方法是链表中每个结点由三个域组成，数据域和左右指针域，左右指针分别用来给出该结点左孩子和右孩子所在的链结点的存储地址。链式结构又分为二叉链和三叉链，当前我们学习中一般都是二叉链，后面课程学到高阶数据结构如红黑树等会用到三叉链。

在这里插入图片描述

typedef int BTDataType;
// 二叉链
struct BinaryTreeNode
{
struct BinTreeNode* left; // 指向当前结点左孩子
struct BinTreeNode* right; // 指向当前结点右孩子
BTDataType data; // 当前结点值域
}
// 三叉链
struct BinaryTreeNode
{
struct BinTreeNode* parent; // 指向当前结点的双亲
struct BinTreeNode* left; // 指向当前结点左孩子
struct BinTreeNode* right; // 指向当前结点右孩子
BTDataType data; // 当前结点值域
}；

3.二叉树顺序结构及实现

3.1 二叉树的顺序结构

普通的二叉树是不适合用数组来存储的，因为可能会存在大量的空间浪费。而完全二叉树更适合使用顺序结构存储。现实中我们通常把堆(一种二叉树)使用顺序结构的数组来存储，需要注意的是这里的堆和操作系统虚拟进程地址空间中的堆是两回事，一个是数据结构，一个是操作系统中管理内存的一块区域分段。
在这里插入图片描述

3.2 堆的概念及结构

堆是一种特殊的树形数据结构，通常用于实现优先队列。堆可以分为两种主要类型：最大堆和最小堆。

最大堆：对于每个节点，节点的值总是大于或等于其子节点的值。根节点是最大值。
最小堆：对于每个节点，节点的值总是小于或等于其子节点的值。根节点是最小值。

结构特点：

完全二叉树：堆是一种完全二叉树，即除了最后一层，其余所有层都是满的，且最后一层的节点从左到右排列。
数组表示：堆通常用数组来实现，根节点在索引0，子节点的索引可以通过公式计算：对于一个节点在索引i，其左子节点在索引2i+1，右子节点在索引2i+2。

应用：

尽可能高效地获取最大或最小值。
常用于排序算法（例如堆排序）和优先队列的实现。

在这里插入图片描述
下面有几个练习题大家可以做做：

1.下列关键字序列为堆的是：（）
A 100,60,70,50,32,65
B 60,70,65,50,32,100
C 65,100,70,32,50,60
D 70,65,100,32,50,60
E 32,50,100,70,65,60
F 50,100,70,65,60,32
2.已知小根堆为8,15,10,21,34,16,12，删除关键字 8 之后需重建堆，在此过程中，关键字之间的比较次
数是（）。
A 1
B 2
C 3
D 4
3.一组记录排序码为(5 11 7 2 3 17),则利用堆排序方法建立的初始堆为
A(11 5 7 2 3 17)
B(11 5 7 2 17 3)
C(17 11 7 2 3 5)
D(17 11 7 5 3 2)
E(17 7 11 3 5 2)
F(17 7 11 3 2 5)
4.最小堆[0,3,2,5,7,4,6,8],在删除堆顶元素0之后，其结果是（）
A[3，2，5，7，4，6，8]
B[2，3，5，7，4，6，8]
C[2，3，4，5，7，8，6]
D[2，3，4，5，6，7，8]

1.A
2.C
3.C
4.C

3.3 堆的实现

3.2.1 堆向下调整算法

现在我们给出一个数组，逻辑上看做一颗完全二叉树。我们通过从根结点开始的向下调整算法可以把它调整成一个小堆。向下调整算法有一个前提：左右子树必须是一个堆，才能调整。

int array[] = {27,15,19,18,28,34,65,49,25,37};

在这里插入图片描述

void AdjustDown(HPDataType* a, int n, int parent)
{
    int child = parent * 2 + 1;
    while (child < n)
    {
        // 选取较大的子节点
        if (child + 1 < n && a[child + 1] > a[child])
        {
            child++;
        }

        if (a[child] > a[parent])
        {
            Swap(&a[child], &a[parent]);
            parent = child;
            child = parent * 2 + 1;
        }
        else
        {
            break;
        }
    }
}

3.2.2堆的创建

下面我们给出一个数组，这个数组逻辑上可以看做一颗完全二叉树，但是还不是一个堆，现在我们通过算法，把它构建成一个堆。根结点左右子树不是堆，我们怎么调整呢？这里我们从倒数的第一个非叶子结点的子树开始调整，一直调整到根结点的树，就可以调整成堆。

int a[] = {1,5,3,8,7,6};

在这里插入图片描述

3.2.3 建堆时间复杂度

因为堆是完全二叉树，而满二叉树也是完全二叉树，此处为了简化使用满二叉树来证明(时间复杂度本来看的就是近似值，多几个结点不影响最终结果)：
在这里插入图片描述

因此：建堆的时间复杂度为O(N)。

3.2.4 堆的插入

先插入一个10到数组的尾上，再进行向上调整算法，直到满足堆
在这里插入图片描述

3.2.5 堆的删除

删除堆是删除堆顶的数据，将堆顶的数据根最后一个数据一换，然后删除数组最后一个数据，再进行向下调整算法
在这里插入图片描述

3.2.6 堆的代码实现

typedef int HPDataType;
typedef struct Heap
{
HPDataType* _a;
int _size;
int _capacity;
}Heap;
// 堆的构建
void HeapCreate(Heap* hp, HPDataType* a, int n);
// 堆的销毁
void HeapDestory(Heap* hp);
// 堆的插入
void HeapPush(Heap* hp, HPDataType x);
// 堆的删除
void HeapPop(Heap* hp);
// 取堆顶的数据
HPDataType HeapTop(Heap* hp);
// 堆的数据个数
int HeapSize(Heap* hp);
// 堆的判空
int HeapEmpty(Heap* hp);

如下：

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

// 交换两个元素
void Swap(HPDataType* a, HPDataType* b)
{
    HPDataType tmp = *a;
    *a = *b;
    *b = tmp;
}

// 上滤操作（堆的插入）
void AdjustUp(HPDataType* a, int child)
{
    int parent = (child - 1) / 2;
    while (child > 0)
    {
        if (a[parent] < a[child])
        {
            Swap(&a[parent], &a[child]);
            child = parent;
            parent = (child - 1) / 2;
        }
        else
        {
            break;
        }
    }
}

// 下滤操作（堆的删除）
void AdjustDown(HPDataType* a, int n, int parent)
{
    int child = parent * 2 + 1;
    while (child < n)
    {
        // 选取较大的子节点
        if (child + 1 < n && a[child + 1] > a[child])
        {
            child++;
        }

        if (a[child] > a[parent])
        {
            Swap(&a[child], &a[parent]);
            parent = child;
            child = parent * 2 + 1;
        }
        else
        {
            break;
        }
    }
}

// 堆的构建
void HeapCreate(Heap* hp, HPDataType* a, int n)
{
    hp->_a = (HPDataType*)malloc(sizeof(HPDataType) * n);
    if (hp->_a == NULL)
    {
        perror("malloc fail");
        return;
    }
    hp->_size = hp->_capacity = n;
    memcpy(hp->_a, a, sizeof(HPDataType) * n);
    // 从最后一个非叶子节点开始下滤，构建堆
    for (int i = (n - 2) / 2; i >= 0; --i)
    {
        AdjustDown(hp->_a, hp->_size, i);
    }
}

// 堆的销毁
void HeapDestory(Heap* hp)
{
    free(hp->_a);
    hp->_a = NULL;
    hp->_size = hp->_capacity = 0;
}

// 堆的插入
void HeapPush(Heap* hp, HPDataType x)
{
    if (hp->_size == hp->_capacity)
    {
        int newCapacity = hp->_capacity == 0 ? 4 : hp->_capacity * 2;
        HPDataType* tmp = (HPDataType*)realloc(hp->_a, sizeof(HPDataType) * newCapacity);
        if (tmp == NULL)
        {
            perror("realloc fail");
            return;
        }
        hp->_a = tmp;
        hp->_capacity = newCapacity;
    }
    hp->_a[hp->_size++] = x;
    AdjustUp(hp->_a, hp->_size - 1);
}

// 堆的删除
void HeapPop(Heap* hp)
{
    if (HeapEmpty(hp))
    {
        return;
    }
    Swap(&hp->_a[0], &hp->_a[hp->_size - 1]);
    hp->_size--;
    AdjustDown(hp->_a, hp->_size, 0);
}

// 取堆顶的数据
HPDataType HeapTop(Heap* hp)
{
    return hp->_a[0];
}

// 堆的数据个数
int HeapSize(Heap* hp)
{
    return hp->_size;
}

// 堆的判空
int HeapEmpty(Heap* hp)
{
    return hp->_size == 0;
}

那么堆可以用来干嘛呢？
比如排序
堆排序（Heap Sort）是一种高效的排序算法，基于堆数据结构。堆排序的基本思想是：将待排序的序列构建成一个堆（通常是一个最大堆），然后将堆顶元素（最大值）与堆尾元素交换，再将堆的规模减少1，然后对剩下的堆进行调整，使其再次成为一个最大堆。重复这个过程直到堆的规模为1，此时序列已经有序。

堆排序的主要步骤如下：

构建最大堆：将待排序的序列构建成一个最大堆。
交换堆顶元素和堆尾元素：将堆顶元素（当前最大值）与堆的最后一个元素交换位置，然后将堆的规模减少1。
调整堆：对剩下的堆进行调整，使其再次成为一个最大堆。

重复步骤2和3，直到堆的规模为1。

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

// 交换两个元素
void Swap(int* a, int* b)
{
    int tmp = *a;
    *a = *b;
    *b = tmp;
}

// 下滤操作（堆的调整）
void AdjustDown(int* a, int n, int parent)
{
    int child = parent * 2 + 1;
    while (child < n)
    {
        // 选取较大的子节点
        if (child + 1 < n && a[child + 1] > a[child])
        {
            child++;
        }

        if (a[child] > a[parent])
        {
            Swap(&a[child], &a[parent]);
            parent = child;
            child = parent * 2 + 1;
        }
        else
        {
            break;
        }
    }
}

// 堆排序
void HeapSort(int* a, int n)
{
    // 构建最大堆
    for (int i = (n - 2) / 2; i >= 0; --i)
    {
        AdjustDown(a, n, i);
    }

    // 进行堆排序
    for (int i = n - 1; i > 0; --i)
    {
        Swap(&a[0], &a[i]);            // 交换堆顶元素和堆尾元素
        AdjustDown(a, i, 0);           // 调整堆
    }
}

// 打印数组
void PrintArray(int* a, int n)
{
    for (int i = 0; i < n; ++i)
    {
        printf("%d ", a[i]);
    }
    printf("\n");
}

// 主函数
int main()
{
    int a[] = {10, 7, 8, 9, 1, 5};
    int n = sizeof(a) / sizeof(int);

    printf("Original array:\n");
    PrintArray(a, n);

    HeapSort(a, n);

    printf("Sorted array:\n");
    PrintArray(a, n);

    return 0;
}

还有一个图示可以看看：
在这里插入图片描述

4.二叉树链式结构及实现

4.1二叉树的遍历

4.1.1 前序、中序以及后序遍历

前序遍历(Preorder Traversal 亦称先序遍历)——访问根结点的操作发生在遍历其左右子树之前。
中序遍历(Inorder Traversal)——访问根结点的操作发生在遍历其左右子树之中（间）。
后序遍历(Postorder Traversal)——访问根结点的操作发生在遍历其左右子树之后。

由于被访问的结点必是某子树的根，所N(Node）、L(Left subtree）和R(Right subtree）又可解释为根、根的左子树和根的右子树。NLR、LNR和LRN分别又称为先根遍历、中根遍历和后根遍历。

// 二叉树前序遍历
void PreOrder(BTNode* root);
// 二叉树中序遍历
void InOrder(BTNode* root);
// 二叉树后序遍历
void PostOrder(BTNode* root);

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

// 定义二叉树节点结构体
typedef struct BTNode {
    char data;                         // 节点数据
    struct BTNode* left;               // 左子节点指针
    struct BTNode* right;              // 右子节点指针
} BTNode;

// 二叉树前序遍历（递归）
void PreOrder(BTNode* root) {
    if (root == NULL) {
        return;
    }
    printf("%c ", root->data);         // 访问根节点
    PreOrder(root->left);              // 递归遍历左子树
    PreOrder(root->right);             // 递归遍历右子树
}

// 二叉树中序遍历（递归）
void InOrder(BTNode* root) {
    if (root == NULL) {
        return;
    }
    InOrder(root->left);               // 递归遍历左子树
    printf("%c ", root->data);         // 访问根节点
    InOrder(root->right);              // 递归遍历右子树
}

// 二叉树后序遍历（递归）
void PostOrder(BTNode* root) {
    if (root == NULL) {
        return;
    }
    PostOrder(root->left);             // 递归遍历左子树
    PostOrder(root->right);            // 递归遍历右子树
    printf("%c ", root->data);         // 访问根节点
}

// 主函数
int main() {
    // 创建一个简单的二叉树
    //        A
    //       / \
    //      B   C
    //     / \
    //    D   E
    BTNode* A = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));
    BTNode* B = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));
    BTNode* C = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));
    BTNode* D = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));
    BTNode* E = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));

    A->data = 'A';
    B->data = 'B';
    C->data = 'C';
    D->data = 'D';
    E->data = 'E';

    A->left = B;
    A->right = C;
    B->left = D;
    B->right = E;
    C->left = C->right = NULL;
    D->left = D->right = NULL;
    E->left = E->right = NULL;

    printf("PreOrder: ");
    PreOrder(A);
    printf("\n");

    printf("InOrder: ");
    InOrder(A);
    printf("\n");

    printf("PostOrder: ");
    PostOrder(A);
    printf("\n");

    // 释放二叉树所占用的内存
    free(A);
    free(B);
    free(C);
    free(D);
    free(E);

    return 0;
}

在这里插入图片描述

4.1.2 层序遍历

层序遍历：除了先序遍历、中序遍历、后序遍历外，还可以对二叉树进行层序遍历。设二叉树的根结点所在层数为1，层序遍历就是从所在二叉树的根结点出发，首先访问第一层的树根结点，然后从左到右访问第2层上的结点，接着是第三层的结点，以此类推，自上而下，自左至右逐层访问树的结点的过程就是层序遍历。
在这里插入图片描述
咱们可以用上队列：

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <stdbool.h>

// 定义二叉树节点结构体
typedef struct BTNode {
    char data;                         // 节点数据
    struct BTNode* left;               // 左子节点指针
    struct BTNode* right;              // 右子节点指针
} BTNode;

// 定义队列节点结构体
typedef struct QueueNode {
    BTNode* data;                      // 队列节点数据
    struct QueueNode* next;            // 队列节点的下一个节点指针
} QueueNode;

// 定义队列结构体
typedef struct {
    QueueNode* front;                  // 队列头指针
    QueueNode* rear;                   // 队列尾指针
} Queue;

// 初始化队列
void InitQueue(Queue* q) {
    q->front = q->rear = NULL;
}

// 判断队列是否为空
bool IsEmpty(Queue* q) {
    return q->front == NULL;
}

// 入队操作
void EnQueue(Queue* q, BTNode* node) {
    QueueNode* newNode = (QueueNode*)malloc(sizeof(QueueNode));
    newNode->data = node;
    newNode->next = NULL;
    if (IsEmpty(q)) {
        q->front = q->rear = newNode;
    } else {
        q->rear->next = newNode;
        q->rear = newNode;
    }
}

// 出队操作
void DeQueue(Queue* q) {
    if (IsEmpty(q)) {
        return;
    }
    QueueNode* temp = q->front;
    q->front = q->front->next;
    if (q->front == NULL) {
        q->rear = NULL;
    }
    free(temp);
}

// 获取队列头元素
BTNode* Front(Queue* q) {
    if (IsEmpty(q)) {
        return NULL;
    }
    return q->front->data;
}

// 层序遍历
void LevelOrder(BTNode* root) {
    if (root == NULL) {
        return;
    }
    Queue q;
    InitQueue(&q);
    EnQueue(&q, root);
    while (!IsEmpty(&q)) {
        BTNode* node = Front(&q);
        printf("%c ", node->data);
        DeQueue(&q);
        if (node->left) {
            EnQueue(&q, node->left);
        }
        if (node->right) {
            EnQueue(&q, node->right);
        }
    }
}

// 主函数
int main() {
    // 创建一个简单的二叉树
    //        A
    //       / \
    //      B   C
    //     / \
    //    D   E
    BTNode* A = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));
    BTNode* B = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));
    BTNode* C = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));
    BTNode* D = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));
    BTNode* E = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));

    A->data = 'A';
    B->data = 'B';
    C->data = 'C';
    D->data = 'D';
    E->data = 'E';

    A->left = B;
    A->right = C;
    B->left = D;
    B->right = E;
    C->left = C->right = NULL;
    D->left = D->right = NULL;
    E->left = E->right = NULL;

    printf("LevelOrder: ");
    LevelOrder(A);
    printf("\n");

    // 释放二叉树所占用的内存
    free(A);
    free(B);
    free(C);
    free(D);
    free(E);

    return 0;
}

下面有几个练习题大家可以做做：

1.某完全二叉树按层次输出（同一层从左到右）的序列为 ABCDEFGH 。该完全二叉树的前序序列为（）
A .ABDHECFG
B .ABCDEFGH
C. HDBEAFCG
D. HDEBFGCA
2.二叉树的先序遍历和中序遍历如下：先序遍历：EFHIGJK;中序遍历：HFIEJKG.则二叉树根结点为（）
A. E
B. F
C. G
D. H
3.设一课二叉树的中序遍历序列：badce，后序遍历序列：bdeca，则二叉树前序遍历序列为____。
A. adbce
B. decab
C. debac
D. abcde
4.某二叉树的后序遍历序列与中序遍历序列相同，均为 ABCDEF ，则按层次输出（同一层从左到右）的序列为
A. FEDCBA
B. CBAFED
C. DEFCBA
D. ABCDEF

1.A
2.A
3.D
4.A

4.2 结点个数以及高度等

// 二叉树结点个数
int BinaryTreeSize(BTNode* root);
// 二叉树叶子结点个数
int BinaryTreeLeafSize(BTNode* root);
// 二叉树第k层结点个数
int BinaryTreeLevelKSize(BTNode* root, int k);
// 二叉树查找值为x的结点
BTNode* BinaryTreeFind(BTNode* root, BTDataType x);

代码如下：

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

// 定义二叉树节点结构体
typedef struct BTNode {
    int data;                          // 节点数据
    struct BTNode* left;               // 左子节点指针
    struct BTNode* right;              // 右子节点指针
} BTNode;

// 二叉树结点个数
int BinaryTreeSize(BTNode* root) {
    if (root == NULL) {
        return 0;
    }
    return 1 + BinaryTreeSize(root->left) + BinaryTreeSize(root->right);
}

// 二叉树叶子结点个数
int BinaryTreeLeafSize(BTNode* root) {
    if (root == NULL) {
        return 0;
    }
    if (root->left == NULL && root->right == NULL) {
        return 1;
    }
    return BinaryTreeLeafSize(root->left) + BinaryTreeLeafSize(root->right);
}

// 二叉树第k层结点个数
int BinaryTreeLevelKSize(BTNode* root, int k) {
    if (root == NULL || k < 1) {
        return 0;
    }
    if (k == 1) {
        return 1;
    }
    return BinaryTreeLevelKSize(root->left, k - 1) + BinaryTreeLevelKSize(root->right, k - 1);
}

// 二叉树查找值为x的结点
BTNode* BinaryTreeFind(BTNode* root, int x) {
    if (root == NULL) {
        return NULL;
    }
    if (root->data == x) {
        return root;
    }
    BTNode* result = BinaryTreeFind(root->left, x);
    if (result != NULL) {
        return result;
    }
    return BinaryTreeFind(root->right, x);
}

// 主函数
int main() {
    // 创建一个简单的二叉树
    //        1
    //       / \
    //      2   3
    //     / \
    //    4   5
    BTNode* n1 = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));
    BTNode* n2 = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));
    BTNode* n3 = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));
    BTNode* n4 = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));
    BTNode* n5 = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));

    n1->data = 1;
    n2->data = 2;
    n3->data = 3;
    n4->data = 4;
    n5->data = 5;

    n1->left = n2;
    n1->right = n3;
    n2->left = n4;
    n2->right = n5;
    n3->left = n3->right = NULL;
    n4->left = n4->right = NULL;
    n5->left = n5->right = NULL;

    printf("BinaryTreeSize: %d\n", BinaryTreeSize(n1));
    printf("BinaryTreeLeafSize: %d\n", BinaryTreeLeafSize(n1));
    printf("BinaryTreeLevelKSize(3): %d\n", BinaryTreeLevelKSize(n1, 3));
    BTNode* found = BinaryTreeFind(n1, 5);
    if (found != NULL) {
        printf("BinaryTreeFind(5): Found\n");
    } else {
        printf("BinaryTreeFind(5): Not Found\n");
    }

    // 释放二叉树所占用的内存
    free(n1);
    free(n2);
    free(n3);
    free(n4);
    free(n5);

    return 0;
}

4.3 二叉树基础练习

4.4 二叉树的创建和销毁

// 通过前序遍历的数组"ABD##E#H##CF##G##"构建二叉树
BTNode* BinaryTreeCreate(BTDataType* a, int n, int* pi);
// 二叉树销毁
void BinaryTreeDestory(BTNode** root);
// 判断二叉树是否是完全二叉树
int BinaryTreeComplete(BTNode* root);

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <string.h>

// 定义二叉树节点结构体
typedef struct BTNode {
    char data;                         // 节点数据
    struct BTNode* left;               // 左子节点指针
    struct BTNode* right;              // 右子节点指针
} BTNode;

// 通过前序遍历的数组构建二叉树
BTNode* BinaryTreeCreate(char* a, int n, int* pi) {
    if (a[*pi] == '#' || *pi >= n) {
        (*pi)++;
        return NULL;
    }
    BTNode* root = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));
    root->data = a[*pi];
    (*pi)++;
    root->left = BinaryTreeCreate(a, n, pi);
    root->right = BinaryTreeCreate(a, n, pi);
    return root;
}

// 二叉树销毁
void BinaryTreeDestory(BTNode* root) {
    if (root == NULL) {
        return;
    }
    BinaryTreeDestory(root->left);
    BinaryTreeDestory(root->right);
    free(root);
}

// 判断二叉树是否是完全二叉树
int BinaryTreeComplete(BTNode* root) {
    if (root == NULL) {
        return 1;
    }
    int complete = 1;
    BTNode* queue[100];                // 假设二叉树的节点数不超过100
    int front = 0, rear = 0;
    queue[rear++] = root;
    while (front < rear) {
        BTNode* node = queue[front++];
        if (node == NULL) {
            complete = 0;              // 遇到第一个空节点
        } else {
            if (!complete) {
                return 0;              // 如果已经遇到过空节点，则不是完全二叉树
            }
            queue[rear++] = node->left;
            queue[rear++] = node->right;
        }
    }
    return 1;
}

// 主函数
int main() {
    char* a = "ABD##E#H##CF##G##";
    int pi = 0;
    BTNode* root = BinaryTreeCreate(a, strlen(a), &pi);

    int isComplete = BinaryTreeComplete(root);
    printf("BinaryTreeComplete: %s\n", isComplete ? "Yes" : "No");

    BinaryTreeDestory(root);

    return 0;
}

那么我们下期再见咯~（排序）
很快很快哈哈

在这里插入图片描述