1 工程意义
一个含源线性一端口电路，当所接负载不同时，一端口电路传输给负载的功率就不同，讨论负载为何值时能从电路获取最大功率，及最大功率的值是多少的问题是有工程意义的。
2 公式推导
如图所示， U s U_s Us 为电压源电压， R s R_s Rs 为电源的内阻， R L R_L RL 是负载。
假设电路中流过的电流为
I
L
I_L
IL，则负载
R
L
R_L
RL 所获得的的功率
P
L
P_L
PL 为：
P
L
=
I
L
2
R
L
=
(
U
s
R
s
+
R
L
)
2
R
L
=
U
s
2
R
s
+
R
L
⋅
R
L
R
s
+
R
L
P_L = I_L^2 R_L=(\frac {U_s}{R_s+R_L})^2 R_L=\frac {U_s^2}{R_s+R_L}\cdot \frac {R_L}{R_s+R_L}
PL=IL2RL=(Rs+RLUs)2RL=Rs+RLUs2⋅Rs+RLRL将上式进行拆分，规定
P
S
P_S
PS 为电源发出的功率，
η
\eta
η 为传输效率，则：
{
P
S
=
U
s
2
R
s
+
R
L
η
=
R
L
R
s
+
R
L
\begin{cases}P_S=\frac {U_s^2}{R_s+R_L} \\ \eta = \frac {R_L}{R_s+R_L}\end{cases}
{PS=Rs+RLUs2η=Rs+RLRL将
R
L
R_L
RL 看为变量，则
P
L
P_L
PL 随着
R
L
R_L
RL 值的变化而变化，函数
P
L
P_L
PL 对变量
R
L
R_L
RL 进行求导，在导数为 0 处可以获得最大功率。
d
P
L
d
R
L
=
U
s
2
(
R
s
+
R
L
)
2
−
2
⋅
U
s
2
R
L
⋅
(
R
s
+
R
L
)
(
R
s
+
R
L
)
4
=
U
s
2
[
(
R
s
+
R
L
)
2
−
2
⋅
R
L
⋅
(
R
s
+
R
L
)
(
R
s
+
R
L
)
4
]
=
0
\frac {{\rm d}P_L}{{\rm d}R_L} = \frac {U_s^2(R_s+R_L)^2-2\cdot U_s^2R_L\cdot (R_s+R_L)}{(R_s+R_L)^4} =U_s^2[\frac{(R_s+R_L)^2-2\cdot R_L\cdot (R_s+R_L)}{(R_s+R_L)^4}]=0
dRLdPL=(Rs+RL)4Us2(Rs+RL)2−2⋅Us2RL⋅(Rs+RL)=Us2[(Rs+RL)4(Rs+RL)2−2⋅RL⋅(Rs+RL)]=0求解上式，可得到如下表达式：
(
R
s
+
R
L
)
2
=
2
⋅
R
L
⋅
(
R
s
+
R
L
)
(R_s+R_L)^2=2\cdot R_L\cdot (R_s+R_L)
(Rs+RL)2=2⋅RL⋅(Rs+RL)解得：
R
L
=
R
s
R_L=R_s
RL=Rs
R
L
R_L
RL 所获得的的最大功率为：
P
L
m
a
x
=
U
s
2
R
s
(
2
R
s
)
2
=
U
s
2
4
R
s
P_{L \ \rm max}=\frac {U_s^2R_s}{(2R_s)^2}=\frac {U_s^2}{4R_s}
PL max=(2Rs)2Us2Rs=4RsUs2
综上，当负载电阻
R
L
=
R
s
R_L=R_s
RL=Rs 时，负载可以获得最大功率，这种情况称为
R
L
R_L
RL 与
R
s
R_s
Rs 匹配。
3 特殊说明
- 最大功率传输定理用于一端口电路给定负载电阻可调的情况。
- 一端口等效电阻消耗的功率一般并不等于端口内部消耗的功率，因此当负载获取最大功率时，电路的传输效率并不一定是50%。
- 计算最大功率问题结合应用戴维宁定理或诺顿定理最方便。
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