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a2、
a
1
a^1
a1的乘积:
a
11
=
a
8
2
1
=
a
8
×
a
2
×
a
1
a^{11} = a^{8+2+1} = a^8 × a^2 × a^1
a11=a8+2+1=a8×a2×a1。其中
a
1
、
a
2
、
a
4
、
a
8
a1、a2、a4、a8
a1、a2、a4、a8…的幂次都是2的倍数,所有的幂ai都是倍乘关系,可以逐级递推,在代码中用 a *= a实现。
(2)幂次用二进制分解。如何把11分解为8+2+1?利用数的二进制的特征,
n
=
1
1
10
=
101
1
2
=
2
3
2
1
2
0
=
8
2
1
n = 11_{10} = 1011_2 = 23+21+2^0 = 8+2+1
n=1110=10112=23+21+20=8+2+1,只需要把n按二进制逐位处理就可以了。
(3)如何跳过那些没有的幂次?例如1011需要跳过
a
4
a^4
a4。做个判断即可,用二进制的位运算实现,用到了n & 1和n >>= 1这两个位运算。
n & 1:取n的最后一位,并且判断这一位是否需要跳过。
n >>= 1:把n右移一位,目的是把刚处理过的n的最后一位去掉。
以
n
=
101
1
2
n=1011_2
n=10112为例,步骤如下:
n=1011,计算n & 1得1,最后一位是1,对应 a1。n >>= 1,右移一位,更新n=101。
n=101,计算n & 1得1,最后一位是1,对应 a2。n >>= 1,更新n=10。
n=10,计算n & 1得0,最后一位是0,跳过a4。n >>= 1,更新n=1。
n=1,计算n & 1得1,最后一位是1,对应a8。n >>= 1,更新n=0,结束。
下面是快速幂的代码。
C++代码
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll; //用long long,比int的范围大
ll fastPow(ll a, ll n, ll m){
ll ans = 1;
a %= m; //能在一定程度上防止下面的a\*a越界
while(n) {
if(n & 1) ans = (ans\*a) % m; //取模
a = (a\*a) % m; //取模
n >>= 1;
}
return ans;
}
int main(){
ll a,n,m; cin >> a >> n>> m; //m是模
printf("%lld^%lld mod %lld=%lld",a,n,m,fastPow(a,n,m));
return 0;
}
``
java代码
```java
import java.util.Scanner;
public class Main {
public static long fastPow(long a, long n, long m) {
long ans = 1;
a %= m;
while (n > 0) {
if ((n & 1) == 1) ans = (ans \* a) % m;
a = (a \* a) % m;
n >>= 1;
}
return ans;
}
public static void main(String[] args) {
Scanner sc = new Scanner(System.in);
long a = sc.nextLong();
long n = sc.nextLong();
long m = sc.nextLong();
System.out.printf("%d^%d mod %d=%d", a, n, m, fastPow(a, n, m));
}
}
python代码
def fastPow(a, n, m):
ans = 1
while n:
if n & 1: ans \*= a
a = (a \* a) % m
n >>= 1
return ans % m
a, n, m = map(int, input().split())
print(str(a) + '^' + str(n) + ' mod ' + str(m) + '=' + str(fastPow(a, n, m)))
再做一题。
越狱
问题描述:监狱有n个房间,每个房间关押一个犯人,有m种宗教,每个犯人会信仰其中一种。如果相邻房间的犯人的宗教相同,就可能发生越狱,求有多少种状态可能发生越狱。答案对100,003取模。
输入:输入只有一行两个整数,分别代表宗教数m和房间数n。1≤m≤
1
0
8
10^8
108, 1≤n≤
1
0
12
10^{12}
1012。
输出:输出一行一个整数代表答案。
输入样例:
2 3
输出样例:
6
这是一道简单的组合数学问题。直接算越狱的方案数不方便,可以用总方案数减去不越狱的方案数,就是答案。
(1)总方案数。一个房间可以有m种宗教,所以n个房间一共有
m
n
m^n
mn种方案。
(2)不越狱的方案数,就是任意两个相邻房间都不同的方案数。第1间有m种宗教;第2间不能和第1间相同,所以有m-1种;第3间还是有m-1种,因为它不能和第2间相同,但是可以和第1间相同;第4间、第5间、…、第n间也都是m-1种。所以不越狱的方案数一共是
m
(
m
−
1
)
n
−
1
m(m-1)^{n-1}
m(m−1)n−1。
答案是
m
n
−
m
(
m
−
1
)
n
−
1
mn-m(m-1){n-1}
mn−m(m−1)n−1,因为n很大,需要用快速幂计算。下面的代码,注意17~19行的取模处理。
C++代码
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll; //用long long,比int的范围大
ll fastPow(ll a, ll n, ll m){
ll ans = 1;
a %= m; //能在一定程度上防止下面的a\*a越界
while(n) {
if(n & 1) ans = (ans\*a) % m; //取模
a = (a\*a) % m; //取模
n >>= 1;
}
return ans;
}
int main(){
ll n,m; cin >> m>> n;
ll mod = 100003;
ll ans = fastPow(m,n,mod) - m%mod \* fastPow(m-1,n-1,mod)%mod;
if(ans<0) ans += mod; //ans可能是负的,变为正数
ans %= mod;
cout << ans;
return 0;
}
java代码
import java.util.Scanner;
public class Main {
public static long fastPow(long a, long n, long m) {
long ans = 1;
a %= m;
while (n > 0) {
if ((n & 1) == 1) ans = (ans \* a) % m;
a = (a \* a) % m;
n >>= 1;
}
return ans;
}
public static void main(String[] args) {
Scanner sc = new Scanner(System.in);
long m = sc.nextLong();
long n = sc.nextLong();
long mod = 100003;
long ans = fastPow(m, n, mod) - (m % mod) \* fastPow(m - 1, n - 1, mod) % mod;
if (ans < 0) ans += mod;
ans %= mod;
System.out.println(ans);
}
}
python代码
def fastPow(a, n, m):
ans = 1
while n:
if n & 1: ans \*= a
a = (a \* a) % m
n >>= 1
return ans % m
m, n = map(int, input().split())
mod = 100003
ans = fastPow(m, n, mod) - m \* fastPow(m - 1, n - 1, mod) % mod
if ans < 0: ans += mod
ans %= mod
print(ans)
3. 素数
素数(质数)是数论的基础内容,也是算法竞赛的常考知识点。下面介绍素数的判定、筛选、质因数分解的方法和代码。
3.1 小素数的判定
素数定义:只能被1和自己整除的正整数。前20个素数是:2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、3741、4347、53、59、61、67、71。素数的分布并不稀疏,小于一亿的素数有576万个。
如何判断一个数n是不是素数?当
n
≤
1
0
12
n ≤ 10^{12}
n≤1012时,用试除法:用[2, n-1]内的所有数去试着除n,如果都不能整除,就是素数。
很容易发现,试除法可以优化,把
[
2
,
n
−
1
]
[2, n-1]
[2,n−1]缩小到
[
2
,
n
]
[2,\sqrt{n}]
[2,n
]。因为如果n不是素数,那么它肯定有一个≤
n
\sqrt{n}
n
的因子,证明如下:若n=a×b,设a≤b,那么肯定有a≤
n
\sqrt{n}
n
。经过这个优化后,试除法的计算复杂度是O(
n
\sqrt{n}
n
),
n
≤
1
0
12
n ≤ 10^{12}
n≤1012时够用。下面是代码。
C++代码
bool is\_prime(long long n){
if(n <= 1) return false; //1不是素数
for(long long i=2; i <= sqrt(n); i++)
if(n % i == 0) return false; //能整除,不是素数
return true; //是素数
}
java代码
import java.util.Scanner;
public class Main {
public static boolean isPrime(long n) {
if (n <= 1) return false;
for (long i = 2; i <= Math.sqrt(n); i++)
if (n % i == 0) return false;
return true;
}
public static void main(String[] args) {
Scanner sc = new Scanner(System.in);
long n = sc.nextLong();
if (isPrime(n)) System.out.println("is prime");
else System.out.println("not prime");
}
}
python代码
import math
def is\_prime(n):
if n <= 1: return False
for i in range(2, int(math.sqrt(n)) + 1): # sqrt(n)或n\*\*0.5
if n % i == 0: return False
return True
n = int(input())
if is_prime(n): print("is prime")
else: print("not prime")
试除法还可以继续优化。
[
2
,
n
]
[2,\sqrt{n}]
[2,n
]可以继续缩小,如果提前算出
[
2
,
n
]
[2,\sqrt{n}]
[2,n
]内的所有素数,那么用这些素数来除n就行了,因为
[
2
,
n
]
[2,\sqrt{n}]
[2,n
]中的合数已经被素数除过了。下一节的埃氏筛法就用到这一原理。
选数
问题描述:已知n 个整数a1、a2、…、an,以及1个整数k(k<n)。从n个整数中任选k个整数相加,可分别得到一系列的和。例如当n = 4, k= 3,4个整数分别为3、7、12、19时,可得全部的组合与它们的和为:
3+7+12=22
3+7+19=29
7+12+19=38
3+12+19=34
现在,要求你计算出和为素数共有多少种。
例如上例,只有一种的和为素数:3+7+19=29。
输入:第一行两个空格隔开的整数n, k(1≤n≤ 20,k<n)。第二行n个整数,分别为a1、a2、…、an,1≤ai≤5×106。
输出:输出一个整数表示种类数。
输入样例:
4 3
3 7 12 19
输出样例:
1
本题是一道简单的综合题:DFS+素数判定。先用DFS从n个数中任选k个,然后求和并判断是否为素数。
从n个数中选k个,且这k个数没有顺序关系,这是组合问题。选数的思路是:
(1)选第1个数,这个数可以是n个数中的任何一个,设选了ai。i从1到n遍历。
(2)选第2个数,此时选位置i后面的数,因为这样做可以避免重复。例如样例的{3, 7, 12, 19},若当前的组合选了{3, 12},那么下一次只能选后面的19,不能回头选7,这样会重复,因为{3, 7, 12}这个组合在前面已经选过了。
(3)按上述方法选其他数,直到满k个。
下面的代码,请注意DFS是如何执行的。第18行dfs()继续选下一个数,并且下一个数的位置在已经选的数后面。
C++代码
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,k;
int a[25];
int ans; //如果担心 int不够,可以改为 long long
bool is\_prime(int s){ //判断s是否为素数。s很小,用int够了
if(s <= 1) return false;
for(int i=2; i <= sqrt(s); i++)
if(s % i == 0) return false;
return true;
}
void dfs(int cnt, int sum, int p){ //选了cnt个,和为sum;下一个从a[p]开始选
if(cnt == k){ //已经选了k个
if(is\_prime(sum)) ans++;
return ;
}
for(int i = p; i < n; i++)
dfs(cnt+1, sum+a[i], i+1); //继续选下一个,并且下一个在a[i]后面
return ;
}
int main(){
cin >> n >> k;
for(int i=0; i<n; i++) cin >> a[i];
dfs(0, 0, 0);
cout << ans;
return 0;
}
java代码
import java.util.Scanner;
public class Main {
static int n, k;
static int[] a;
static int ans;
public static void main(String[] args) {
Scanner sc = new Scanner(System.in);
n = sc.nextInt();
k = sc.nextInt();
a = new int[n];
for (int i = 0; i < n; i++) a[i] = sc.nextInt();
dfs(0, 0, 0);
System.out.println(ans);
sc.close();
}
static boolean isPrime(int s) {
if (s <= 1) return false;
for (int i = 2; i <= Math.sqrt(s); i++)
if (s % i == 0) return false;
return true;
}
static void dfs(int cnt, int sum, int p) {
if (cnt == k) {
if (isPrime(sum)) ans++;
return;
}
for (int i = p; i < n; i++)
dfs(cnt + 1, sum + a[i], i + 1);
}
}
python代码
n, k = map(int, input().split())
a = list(map(int, input().split()))
ans = 0
def is\_prime(s):
if s <= 1: return False
for i in range(2, int(s \*\* 0.5) + 1):
if s % i == 0: return False
return True
def dfs(cnt, sum, p):
global ans
if cnt == k:
if is_prime(sum): ans += 1
return
for i in range(p, n):
dfs(cnt + 1, sum + a[i], i + 1)
dfs(0, 0, 0)
print(ans)
3.2 素数筛
素数筛用来解决这个问题:给定正整数n,求2~n内所有的素数。
可以用上一节的素数判定方法,一个个地判断,计算复杂度是O()。这个计算量有点大,有没有更快的方法?
容易想到用“筛子”,把非素数筛掉,剩下的就是素数。例如用2去筛2~n内的数,一次可以把所有的偶数筛掉。
有两种素数筛:埃氏筛、欧拉筛。埃氏筛的计算复杂度是O(nloglogn);欧拉筛的复杂度是O(n),不可能更快了。埃氏筛的编码简单,一般情况下也够用。
埃氏筛的操作很简单。下面以初始数列{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13}为例,说明它的操作步骤。
(1)记录最小的素数2,然后筛掉2的倍数,得{2, 3, 4 , 5, 6 , 7, 8 , 9, 10 , 11, 12 , 13}。
(2)记录下一个素数3,然后筛掉3的倍数,得{2, 3, 4 , 5, 6 , 7, 8 , 9 , 10 , 11, 12 , 13}。
(3)记录下一个素数5,然后筛掉5的倍数,得{2, 3, 4 , 5, 6 , 7, 8 , 9 , 10 , 11, 12 , 13}。
继续以上步骤,直到结束。
下面是代码,其中visit[i]记录数i的状态,如果visit[i] = true,表示它被筛掉了,不是素数。用prime[]存放素数,例如prime[1]=2,是第一个素数。
C++代码
const int N = 1e7; //定义空间大小,1e7约10M
int prime[N+1]; //存放素数,它记录visit[i] = false的项
bool visit[N+1]; //visit[i] = true表示i被筛掉,不是素数
int E\_sieve(int n) { //埃氏筛法,计算[2, n]内的素数
int k=0; //统计素数个数
for(int i=0; i<=n; i++) visit[i]= false; //初始化
for(int i=2; i<=n; i++) { //从第一个素数2开始。可优化(1)
if(!visit[i]) {
prime[++k] = i; //i是素数,存储到prime[]中
for(int j=2\*i; j<=n; j+=i) //i的倍数,都不是素数。可优化(2)
visit[j] = true; //标记为非素数,筛掉
}
}
return k; //返回素数个数
}
java代码
public class Main {
public static int N = 10000000; // 定义空间大小,1e7约10M
public static int[] prime = new int[N + 1];
// 存放素数,它记录visit[i] = false的项
public static boolean[] visit = new boolean[N + 1];
// visit[i] = true表示i被筛掉,不是素数
public static int E\_sieve(int n) { // 埃氏筛法,计算[2, n]内的素数
int k = 0; // 统计素数个数
for (int i = 0; i <= n; i++) visit[i] = false; // 初始化
for (int i = 2; i <= n; i++) { // 从第一个素数2开始。可优化(1)
if (!visit[i]) {
prime[++k] = i; // i是素数,存储到prime[]中
for (int j = 2\*i; j<=n; j+=i) //i的倍数都不是素数。优化(2)
visit[j] = true; // 标记为非素数,筛掉
}
}
return k; // 返回素数个数
}
public static void main(String[] args) {
int n = 100;
int primeCount = E\_sieve(n);
System.out.println("cnt of prime:" + primeCount);
System.out.print("list of prime:");
for (int i = 1; i <= primeCount; i++)
System.out.print(prime[i] + " ");
}
}
python代码
N = 10000000 # 定义空间大小,1e7约10M
prime = [0] \* (N + 1) # 存放素数,它记录visit[i] = false的项
visit = [False] \* (N + 1) # visit[i] = True表示i被筛掉,不是素数
def E\_sieve(n):
k = 0 # 统计素数个数
visit[0: n + 1] = [False] \* (n + 1) # 初始化
for i in range(2, n + 1): # 从第一个素数2开始。可优化(1)
if not visit[i]:
k += 1
prime[k] = i # i是素数,存储到prime[]中
for j in range(2\*i, n+1, i): # i的倍数都不是素数。可优化(2)
visit[j] = True # 标记为非素数,筛掉
return k # 返回素数个数
n = 100
primeCount = E_sieve(n)
print("cnt of prime:", primeCount)
print("list of prime", end="")
for i in range(1, primeCount + 1): print(prime[i], end=" ")
上述代码有2处可以优化:
(1)用来做筛除的数2、3、5…等,最多到就
n
\sqrt{n}
n
可以了。例如,求n = 100以内的素数,用2、3、5、7筛就足够了。其原理和试除法一样:非素数k,必定可以被一个小于等于
k
\sqrt{k}
k
的素数整除,被筛掉。这个优化很大。
(2)for(int j=2*i; j<=n; j+=i) 中的j = 2*i优化为 j = i*i。例如i = 5时,2*5、3*5、4*5已经在前面i = 2, 3, 4的时候筛过了。这个优化较小。
下面给出优化后的代码。
C++代码
int E\_sieve(int n) {
for(int i = 0; i <= n; i++) visit[i]= false;
for(int i = 2; i<=sqrt(n); i++) //筛掉非素数
if(!visit[i])
for(int j=i\*i; j<=n; j+=i) visit[j] = true; //标记为非素数
//下面记录素数
int k=0; //统计素数个数
for(int i = 2; i <= n; i++)
if(!visit[i]) prime[++k] = i; //存素数,prime[1]=2, prime[2]=3...
return k; //返回素数个数
}
java代码
public class Main {
public static int N = 10000000; // 定义空间大小,1e7约10M
public static int[] prime = new int[N + 1];
// 存放素数,它记录visit[i] = false的项
public static boolean[] visit = new boolean[N + 1];
// visit[i] = true表示i被筛掉,不是素数
public static int E\_sieve(int n) {
for (int i = 0; i <= n; i++) visit[i] = false;
for (int i = 2; i <= Math.sqrt(n); i++) // 筛掉非素数
if (!visit[i])
for (int j = i \* i; j <= n; j += i)
visit[j] = true; // 标记为非素数
// 下面记录素数
int k = 0; // 统计素数个数
for (int i = 2; i <= n; i++)
if (!visit[i])
prime[++k] = i; // 存素数,prime[1]=2, prime[2]=3...
return k; // 返回素数个数
}
public static void main(String[] args) {
int n = 100;
int primeCount = E\_sieve(n);
System.out.println("cnt of prime:" + primeCount);
System.out.print("list of prime:");
for (int i = 1; i <= primeCount; i++)
System.out.print(prime[i] + " ");
}
}
python代码
import math
N = 10000000 # 定义空间大小,1e7约10M
prime = [0] \* (N + 1) # 存放素数,它记录visit[i] = false的项
visit = [False] \* (N + 1) # visit[i] = True表示i被筛掉,不是素数
def E\_sieve(n):
for i in range(n + 1): visit[i] = False
for i in range(2, int(math.sqrt(n)) + 1): # 筛掉非素数
if not visit[i]:
for j in range(i \* i, n + 1, i):
visit[j] = True # 标记为非素数
# 下面记录素数
k = 0 # 统计素数个数
for i in range(2, n + 1):
if not visit[i]:
k += 1
prime[k] = i # 存素数,prime[1]=2, prime[2]=3...
return k # 返回素数个数
n = 100
primeCount = E_sieve(n)
print("cnt of prime:", primeCount)
print("list of prime", end="")
for i in range(1, primeCount + 1): print(prime[i], end=" ")
埃氏筛的计算复杂度:2的倍数被筛掉,计算n/2次;3的倍数被筛掉,计算n/3次;5的倍数被筛掉,n/5次…;总计算量等于n/2+n/3+n/5+n/7+n/11+…,约为O(nloglogn)。计算量很接近线性的O(n),已经相当好了。
空间复杂度:代码用到了bool visit[N+1]数组,当N =
1
0
7
10^7
107时,约10M。由于埃氏筛只能用于处理约n=
1
0
7
10^7
107的问题,10M空间是够用的。
埃氏筛可以算出[2, n]内的素数,不过更常见的应用场景是计算[L, R]区间内的素数,L、R极大,但R-L较小,此时也可以用埃氏筛。见下面的例题。
素数密度
问题描述:给定区间[L,R] (1≤L≤R<231,R-L≤106),请计算区间中素数的个数。
输入:第一行,两个正整数L和R。
输出:一行,一个整数,表示区间中素数的个数。
输入样例:
2 11
输出样例:
5
简单的思路是先分别筛出[2, L]和[2, R]内各有多少个素数,然后两者相减,就是[L,R]内的素数个数。但是由于L和R最大是
2
31
2^{31}
231,用埃氏筛会超时。
由于R-L≤
1
0
6
10^6
106很小,如果只在[L, R]范围内做素数筛,计算量很小。如何筛?前面提到,在[2, n]内做素数筛时,只用[2,
n
\sqrt{n}
n
]内的素数去筛就可以了。本题的的n是L、R,
R
\sqrt{R}
R
<50000,所以只需要先计算出50000以内的素数,然后用这些素数在[L, R]内筛去合数,剩下的就是素数。
还有一个编程问题需要解决。前面的埃氏筛代码,用visit[]数组记录被筛的情况,若visit[i] = true,表示数字i被筛去。本题的i<
2
31
2^{31}
231,如果仍然直接用visit[]数组记录,数组大小需要达到
2
31
2^{31}
231= 2G,空间肯定不够用。解决方案是记录在visit[1]visit[R-L+1]中,visit[1]记录L是否被筛,visit[2]记录L+1是否被筛,…,visit[R-L+1]记录R是否被筛。相关代码见2427行。
C++代码
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1e6+1;
int prime[50000]; //存放素数,p[1]=2,p[2]=3...
bool vis[N+1]; //vis[i]=true表示被筛掉,i不是素数
int E\_sieve(int n) {
for(int i = 0; i <= n; i++) vis[i]= false;
for(int i = 2; i<=sqrt(n); i++)
if(!vis[i])
for(int j=i\*i; j<=n; j+=i) vis[j] = true;
int k=0;
for(int i = 2; i <= n; i++)
if(!vis[i]) prime[++k] = i;
return k;
}
int main(){
int cnt = E\_sieve(50000); //先筛出50000内的所有素数
int L,R; cin >> L >> R;
if(L==1) L=2; //特判L=1的情况,1不是素数,让L从2开始
memset(vis,0,sizeof(vis)); //沿用vis,注意清空
for(int i=1;i<=cnt;i++){ //用筛出来的素数,在[L,R]中再筛一次
int p = prime[i];
long long start; //注意要用long long,因为L+p可能超过int
if((L+p-1)/p\*p > 2\*p) start = (L+p-1)/p\*p;//定位到第一个被筛的数
else start = 2\*p;
for(long long j=start;j<=R;j+=p) //用long long, j+=p可能超int
vis[j-L+1]=true; //筛掉。和第10行一样
}
int ans=0;
for(int i=1;i<=R-L+1;++i) //R-L+1为区间长度,区间内没被标记的数是素数
if(!vis[i]) ans++;
cout<<ans;
}
java代码
import java.util.Arrays;
import java.util.Scanner;
public class Main {
public static final int N = 1000001;
public static int[] prime = new int[50000];
public static boolean[] vis = new boolean[N + 1];
public static int E\_sieve(int n) {
Arrays.fill(vis, false);
for (int i = 2; i \* i <= n; i++)
if (!vis[i])
for (int j = i \* i; j <= n; j += i)
vis[j] = true;
int k = 0;
for (int i = 2; i <= n; i++)
if (!vis[i]) prime[++k] = i;
return k;
}
public static void main(String[] args) {
Scanner sc = new Scanner(System.in);
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第一份《Linux从入门到精通》466页
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内容简介
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