注意：前缀和表示以nums[0]为起始位置，一直到遍历位置所有元素组成的数组之和；
寻找数组的中心下标
题目解析
算法原理
解法一 ：暴力解法
在遍历到一个元素时，判断这个元素左右的元素之和是否相等即可；
每次遍历到一个元素，就要左边枚举一遍，右边枚举一遍；枚举一个元素的左右之和，时间复杂度为O(N)，所以暴力解法 O(N^2)；
解法二 ： 使用前缀和数组
预处理前缀和数组和后缀和数组
我们在求 [0, i -1] 和 [ i+1 , n - 1 ] 区间的元素之和，就是在求一段连续区间的和，这就可以利用前缀和的预处理；
注意：不要死记前缀和的 dp 公式，因为公式是适用于从下标为 1 的数组开始计数的，而当从下标为0的数组元素开始计数，就需要处理边界情况；
因为本题需要求前面区间的和与后面区间的和，所以我们可以调整一下前缀和数组的表达方式；
我们用 f 表示前缀和数组，g 表示后缀和数组：
f [i] 表示 [ 0 , i -1 ]区间的元素之和，而前面的 dp[ i ] 表示的是 [ 1 , i ] 区间的元素之和，这题这样微调，是因为数组从 0 下标开始，且前缀和数组的元素 f[ i ]，是不包括arr[ i ] 元素的求和值；
g [i] 表示 [ i+1 , n-1] 区间所有元素之和，之前是求[ i , n ] 区间的和，微调的原理同上；
递推公式：
使用前缀和数组和后缀和数组
我们可以在 [ 0 , n - 1 ] 区间，直接枚举预处理好的前缀和与后缀和数组，并且判断当前枚举的预处理数组元素 f [ i ] ,g[ i] 是否相等，相等返回最左边的中心下标，否则返回 -1；
处理细节问题
初始化问题
f ( 0 )
我们按照如上的方法去填 f[0] 时，会出现越界访问：
g ( 0 )
当 i = n-1 时，也会出现越界访问：
所以 g( n - 1 ) 同理也初始化为0；
填表顺序
编写代码
除自身以外数组的乘积
题目解析
算法原理
解法一 ：暴力解法
每遍历到一个数组元素，就计算一次这个数组中，除该元素外的所有元素的乘积，得到的结果返回对应下标的 answer 中；时间复杂度O(N^2)；
解法二 ： 使用前缀积数组
预处理前缀积数组＆后缀积数组
我们可以先看 nums 数组其中一个位置 nums[i] ：
定义前缀积数组＆后缀积数组：
解析 f[ i ] ＆ g[ i ]
f [ i ] 的含义＆递推公式
g [ i ] 的含义＆递推公式
前缀和方法是典型的以空间换时间，预处理操作虽然多创建了一个数组，但是时间复杂度会得到质的提升；
使用前缀积数组＆后缀积数组
创建一个与 nums 数组同等规模的数组 answer：
而在填 answer 时，只需要计算 answer [i] = f [i-1] * g [i+1] ；
处理细节问题
处理填 g[i] 时需要从后往前填外，还需要注意初始化问题：
编写代码
和为K的子数组
题目解析
算法原理
解法一 ：暴力解法
我们可以使用O(N^2) 的时间复杂度枚举出所有子数组：
当我们向后枚举到一个元素，使得和为k时，不能停止，也就需要向后继续枚举：
直到枚举完最后一个元素，此时起始下标的枚举才完成；所以这道题是不能用双指针（滑动窗口）来做优化的，因为这道题的不具备单调性， 每一个元素可正可负可为0，我们来模拟一下滑动窗口不能处理的情形：
窗口刚开始不合法，移动 right：
窗口合法，移动 left，移动 left 后如果不合法，停止移动 left，改为移动 right：
假设这个数组只有五个元素，并且 right < nums.length：
最终结果为3：
但是我们的预期情况： count=5，所以使用滑动窗口，必须保证单调性；每个元素的符号相同且不能为0，否则会遗漏一些子数组：
解法二 ： 使用前缀和数组 + 哈希表
预处理前缀和数组
引入一个概念：以 i 位置为结尾的所有子数组；
这个概念和暴力枚举相呼应，都是固定某一个位置，来枚举对应的情况 ；
所以无论是固定一个开头，还是固定一个末尾，都是可以枚举出所有子数组的；但是，如果我们和暴力解法一样，枚举 i 之前所有子数组，并且找出和为 k 的子数组，那么时间复杂度也没有提高；
因此，我们引入前缀和：
当枚举 i 位置时，其实我们已经知道以 i 位置为结尾的前缀和数组对应 i 位置的元素 sum[i] 是多少了：
所以，我们只需要找到一段区间的前缀和，让这个区间的前缀和等于 sum[i] - k 即可；
所以问题就转化成：在 [ 0 , i-1 ] 区间内，有多少个前缀和为 sum[i] - k 的子数组；
但是，我们不能直接创建一个前缀和数组 sum ，然后直接在 sum 中找前缀和为 sum[i] - k 的子数组，这样的做复杂度不如暴力解法；
而哈希表用于快速查找某一个数，因此我们可以把前缀和塞入哈希表，然后把前缀和元素的出现个数，也放入哈希表中；
处理细节问题
1. 前缀和加入哈希表的时机
第一种时机
把前缀和数组一股脑算出来，然后放入哈希表中，然后从前往后遍历哈希表，找出 sum[i]-k 元素对应的 val；
这种做法其实是不行的，因为我们是要在 [ 0 , i - 1 ]区间内，找出值为 sum[i]-k 的前缀和元素；如果把前缀和数组一股脑算出来，再塞入哈希表，那么就会统计 i 位置之后的前缀和，此时从总体上看，就会计算重复；
第二个时机
在计算 sum[i] 之前，先别把前缀和元素塞入哈希表中，哈希表只保存 [ 0 , i - 1 ]区间的前缀和元素；在计算 sum[i] 时，才把 i 位置的前缀和元素塞入哈希表；
也就是每计算一个元素的前缀和，就塞入一次哈希表，而不是把所有前缀和数组的元素计算完毕，再一次性把这些元素塞入哈希表；
2. 不用真的创建一个前缀和数组
回忆我们前缀和数组元素的计算公式：
3. 如果整个前缀和等于 k 呢？
如果我们在计算 i 位置的前缀和数组，发现 i 位置的前缀和的所有子数组中，只有整个数组之和才等于 k；
根据刚刚的类比转化，程序就会去 [ 0 , -1 ] 区间找和为 0 的前缀和数组，但是没有这个区间，我们该如何处理呢？
所以对于这种情况，我们需要在进行正式的处理哈希表之前，先初始化一个元素hash.put(0,1)；
这样初始化，当在遍历 i 位置之前所有前缀和为 sum[i] - k 的元素时，如果发现有 [ 0 , i ]这个区间的前缀和数组也满足和等于sum[i] - k ，提前初始化 key = 0 的桶 val=1 ，就可以避免这种情况被忽略;
编写代码
模拟一下上面代码的运行过程，会对这道题的算法原理有更深刻的理解，代码虽然简单，但是算法原理非常绕，需要结合算法原理，反复模拟代码运行过程，才能理解本题的思想：
和可被K整除的子数组
题目解析
算法原理
解法一 ：暴力解法
暴力枚举出所有子数组，把所有子数组的和相加，再判断这些和中能被 k 整除的子数组；这道题的元素也就是可以<=0，不存在单调性，因此也不能使用滑动窗口解题；
补充知识
(1) 同余定理
(2) java [ 负数 % 正数 ] 的结果以及修正
修正：
把对负数 % 出的最终负数结果修改成正数，如 a % p (a < 0 ，p > 0)，得到的最终结果为负数，只需要再加一个 p 即可修正；
正负统一：
如果 a %p 时 a > 0 ，我们为了使用方便，依旧会对余数 + p，但是会造成误差，所以无论 a 是否为正数，都先修正，再把修正结果整体再 % p（注意，不是除以 p）
解法二 ： 使用前缀和数组 + 哈希表
预处理前缀和数组
对于下面的绿色部分，就是我们要找的，在 [ 0 , i -1 ] 区域中的一个符合要求的子数组， 而符合要求的子数组，要满足元素之和 % k = 0：
通过对绿色部分子数组的表达式的进行进一步的转换，我们发现了下面这个条件：
而 sum % k = x % k，也可以反过来推出绿色部分元素之和 % k = 0；
所以，问题就转换成：求在 [ 0 , i -1 ] 区间内，找到有多少给前缀和 x 通过与 k 取余， x%k=sum%k，进而就能反推出绿色部分的子数组；
处理细节问题
为了保证蓝线部分两边的取模结果都为正数，需要对结果进行修正，并且正负统一；
所以问题最终转换成：在 [ 0 , i -1 ] 区间内，找到前缀和被 k 取模后（也就是前缀和除以k后，得到的余数结果），余数结果等于 (sum % k + k) %k 的所有子数组；
我们不需要真的去创建前缀和数组，而是定义一个变量，这个变量也不是用来存前缀和，而是存前缀和除以 k 后，得到的余数，并且在哈希表中的 key 也表示这个余数；
并且，把余数加入到哈希表中的时机，也是在遍历一个元素，就插入一次；
总结
编写代码
用数组模拟哈希表
模拟代码实现过程：
连续数组
题目解析
算法原理
如果要统计 0 和 1 的个数，来求出相同数量的最长连续子数组，那么这道题还是有一定难度的；
解法 ： 使用前缀和数组 + 子数组
处理细节问题
1. 哈希表中存什么？
对于哈希表的 key 和 val 存的是什么，我们可以查看上图，如果要算绿色区域的数组，我们就要知道两段红色区域的数组之和，如果两端红数组之和相等，绿数组即为我们所求；
因此，我们需要下面的红数组的下标；
2. 什么时候存入哈希表？
当前 i 位置所绑定的前缀和要存入哈希表中，而当遍历完[0 , i -1 ] 区域所有符合要求的子数组，并且返回最长的子数组时，我们再把当前 i 位置所绑定的前缀和存入哈希表；
3. 如果有重复的 <sum , i > ，如何存 ？
4. 默认的前缀和为 0 该如何存？
当我们发现整个数组的前缀和 sum=0，就需要在 [ 0 , -1 ] 区域初始化，但是没有这个区间，上面的报错，就是因为没有处理好初始化问题；
前面的题都是存 sum，以及sum 出现次数，但是这个题每个桶的类型是 < sum , index >，所以这道题 hash.put(0, -1)；
5. 长度怎么算？
因为 sum 重复不会更新 index 对应的 val，
编写代码
无论是使用三目运算符代替创建 -1 ，1数组，还是对于是否更新 ret ，以及更新的 ret 操作，都更简洁；
矩阵区域和
题目解析
我们演示示例一求answer矩阵的一个元素 answer[0][0]：
并且，如果扩展的矩阵超出原始边界，超出的元素格子都不考虑：
如果要求 answer[1][0]，求法同理，扩展宽度根据 k 的值来决定：
算法原理
解法 ： 使用二维前缀和
预处理前缀和数组
递推公式
回顾快速求出二维前缀和递推公式：
处理细节问题
(1) 处理边界情况
求 answer[i][j]，我们需要知道它在 mat 矩阵表示的区域 ，并且通过坐标表达出 answer[i][j] 向外扩展 k 个区域得到的矩阵，在 mat 矩阵所对应的区域：
但是我们还需要处理可能出现的越界问题，设向上扩展的边界坐标 ( x1, y1 )，向下扩展的边界坐标为 (x2,y2)：
如果 answer[i][j] 在向外扩展的时候，越过了 mat 矩阵的原始边界，是需要收缩扩展范围至原始边界的，所以我们求扩展边界可以这样求：
（2) 下标的映射关系
在学二维前缀和模板的时候，为了在预处理二维前缀和数组 dp 时，避免处理一些边界情况，方便初始化，我们是建立的矩阵是从 dp[1][1]~dp[m][n]计数的，但是这道题是 dp[0][0]~dp[m-1][n-1]计数的；
为了方便我们初始化，避免过度地把精力花在初始化问题和处理边界情况上，我们必须对 dp 数组多加一行，多加一列：
多加一行一列之和，我们是先根据 mat 来填 dp 表，再通过 dp 表填 answer，所以，在给 dp 表加上一行一列后，就会出现 mat 和 dp 的下标映射关系问题：
我们在求 dp[i][j] 时，在调整后，就变成找 mat[i-1][j-1] 对应的矩阵和，因此，我们的递推公式也会发送改变：
在通过 mat 填写好 dp 表之后，我们需要通过 dp 表来填写 answer ，所以 dp 与 answer 的下标映射关系为 dp [i][j] 对应 answer[i-1][j-1]
使用前缀和数组
编写代码
