大家好啊，我是小象٩(๑òωó๑)۶
我的博客：Xiao Xiangζั͡ޓއއ

很高兴见到大家，希望能够和大家一起交流学习，共同进步。

这一节我们来学习递归的相关知识

一、什么是递归

函数递归是C语言中一种重要的编程技术，它允许一个函数在其定义中调用自身。 递归通常用于解决那些可以分解为类似子问题的问题，通过递归调用，函数能够逐步简化问题直到达到一个简单的情况（称为基准情形），从而解决整个问题。
递归其实是⼀种解决问题的方法，在C语言中，递归就是函数自己调用自己。
来举一个简单的例子

#include<stdio.h>
int main()
{
	printf("xiaofeixiang");
	main();//main函数又调用的main函数
	return 0
}

上述就是一个简单的递归程序，只不过上面的递归只是为了演示递归的基本形式，不是为了解决问题，代码最终也会陷入死递归，导致栈溢出（Stack overflow）。

栈溢出（Stack Overflow）是C语言编程中常见的一个问题，它发生在程序运行过程中，当往栈里存放的数据超过了栈所能容纳的最大容量时，就会导致程序出现异常行为。

1.1 递归的思想

把一个大型复杂问题层层转化为一个与原问题相似，但规模较小的子问题来求解；直到子问题不能再被拆分，递归就结束了。所以递归的思考方式就是把大事化小的过程。
递归中的递就是递推的意思，归就是回归的意思， 接下来慢慢来体会。

二、递归的限制条件

递归的基本要素
基准情形（Base Case）：

递归函数必须有一个或多个基准情形，这些情形不需要递归调用就能直接解决。基准情形防止了无限递归。
也就是说：递归存在限制条件，当满足这个限制条件的时候，递归便不再继续。

任何一次函数调用都会申请内存中栈区的资源，函数是可以递归的，但不能无限递归，因为栈区可能提供不了那么多资源去进行函数调用。

递归情形（Recursive Case）：

递归函数在基准情形之外，通过调用自身来解决问题。每次递归调用通常会将问题规模缩小。
也就是说**每次递归调用之后越来越接近这个限制条件** 。

在下面的例子中，我们逐步体会这2个限制条件。

三、递归的举例

举例1：求n的阶乘

关于阶乘的介绍： 一个正整数的 阶乘（factorial） 是 所有小于及等于该数的正整数的积 ，并且0的阶乘为1。 自然数n的阶乘写作n!。

题目：计算n的阶乘（不考虑溢出），n的阶乘就是1~n的数字累积相乘。

分析与代码的实现

我们知道n的阶乘的公式： n！ = n ∗ (n − 1)!
举个例子：

    5! = 5*4*3*2*1
    4! = 4*3*2*1
 所以：5！= 5*4！     

这样的思路就是把一个较大的问题，转换为一个与原问题相似，但规模较小的问题来求解的。
当 n==0 的时候，n的阶乘是1，其余n的阶乘都是可以通过公式计算。
n的阶乘的递归公式如下：

那我们就可以写出函数Fact求n的阶乘，假设Fact(n)就是求n的阶乘，那么Fact(n-1)就是求n-1的阶乘,那么我们就可以写出一个自定义函数：

int fact(int n)
{
	if (n == 0)
		return 1;
	else
		return n * fact(n - 1);
}

我们再写一个测试代码：

#include<stdio.h>
int fact(int n)
{
	if (n == 0)
		return 1;
	else
		return n * fact(n - 1);
}
int main()
{
	int n = 0;
	scanf("%d", &n);
	int ret = fact(n);
	printf("%d", ret);
	return 0;
}

运行结果（这里不考虑n太大的情况，n太大存在溢出）：

可能很多人对这里还不太理解，我们来画个图：

我们再来举一个例子：

举例2：顺序打印一个整数的每一位

输入一个整数m，按照顺序打印整数的每一位。

比如：
输入：1234 输出：1 2 3 4
输入：520 输出：5 2 0

分析与代码的实现

这个题目，放在我们面前，首先想到的是，怎么得到这个数的每一位呢？
1、如果n是一位数，n的每一位就是自己
2、如果n是超过1位数的话，就得拆分每一位

我们之前学过，1234%10就能得到4，然后1234/10得到123，这就相当于去掉了4然后继续对123%10，就得到了3，再除10去掉3，以此类推不断的%10 和 /10 操作，直到1234的每一位都得到；但是这里有个问题就是得到的数字顺序是倒着的

但是我们有了灵感，我们发现其实一数字的最低位是最容易得到的，通过%10就能得到，那我们假设想写一个函数Print来打印n的每⼀位，如下表示：

Print(n)
如果n是1234，那表示为
Print(1234) //打印1234的每一位

其中1234中的4可以通过%10得到，那么
Print(1234)就可以拆分为两步：
1. Print(1234/10) //打印123的每一位
2. printf(1234%10) //打印4
完成上述2步，那就完成了1234每一位的打印

那么Print(123)又可以拆分为Print(123/10) + printf(123%10)

以此类推下去，就有

   Print(1234)
==>Print(123)         + printf(4)
==>Print(12)     + printf(3)
==>Print(1)   + printf(2)
==>printf(1)

直到被打印的数字变成一位数的时候，就不需要再拆分，递归结束，这样做代码就会从最下面的1开始往上面打印
那么代码完成也就比较清楚：

我们首先来写自定义函数：

void print(int n)
{
	if (n > 9)
	{
		print(n / 10);
	}
	printf("%d ", n % 10);

}

接下来我们来看代码演示：

#include<stdio.h>
void print(int n)
{
	if (n > 9)
	{
		print(n / 10);
	}
	printf("%d ", n % 10);

}
int main()
{
	int n = 0;
	scanf("%d", &n);
	print(n);
	return 0;
}

看看结果：

在这个解题的过程中，我们就是使用了大事化小的思路
把Print(1234) 打印1234每一位，拆解为首先Print(123)打印123的每一位，再打印得到的4把Print(123) 打印123每⼀位，拆解为首先Print(12)打印12的每一位，再打印得到的3直到Print打印的是一位数，直接打印就行。

我们再来画图推演一下：

四、递归与迭代

我们来理解一下迭代的含义，其实说白了，迭代就是循环：
迭代（Iteration）
迭代是一种使用循环结构（如 for 循环、while 循环）来重复执行代码块的编程技术。迭代通常依赖于循环变量来追踪进度，并在满足特定条件时停止循环。

递归是⼀种很好的编程技巧，但是和很多技巧一样，也是可能被误用的，就像举例1一样，看到推导的公式，很容易就被写成递归的形式：

int fact(int n)
{
	if (n == 0)
		return 1;
	else
		return n * fact(n - 1);
}

factt函数是可以产生正确的结果，但是在递归函数调用的过程中涉及一些运行时的开销。

在C语言中每一次函数调用，都需要为本次函数调用在内存的栈区，申请一块内存空间来保存函数调用期间的各种局部变量的值，这块空间被称为运行时堆栈，或者函数栈帧。
函数不返回，函数对应的栈帧空间就一直占用，所以如果函数调用中存在递归调用的话，每一次递归函数调用都会开辟属于自己的栈帧空间，直到函数递归不再继续，开始回归，才逐层释放栈帧空间。
所以如果采用函数递归的方式完成代码，递归层次太深，就会浪费太多的栈帧空间，也可能引起栈溢出（stack overflow） 的问题。

所以如果不想使用递归，就得想其他的办法，通常就是迭代的方式（通常就是循环的方式）。
比如：计算 n 的阶乘，也是可以产生1~n的数字累计乘在一起的。

int test(int n)
{
	int i = 0;
	int ret = 1;
	for (i = 1; i <= n; i++)
	{
		ret *= i;
	}
	return ret;
}

像这样，我们可以创建个ret变量，然后让他去与i相乘，而i在每次循环都会＋1，直到小于我们输出的值，这样也可以实现一个数的阶乘

代码演示：

#include<stdio.h>

int test(int n)
{
	int i = 0;
	int ret = 1;
	for (i = 1; i <= n; i++)
	{
		ret *= i;
	}
	return ret;
}
int main()
{
	int a = 0;
	scanf("%d", &a);
	int b = test(a);
	printf("%d", b);
	return 0;

}

上述代码是能够完成任务，并且效率是比递归的方式更好的。
事实上，我们看到的许多问题是以递归的形式进行解释的，这只是因为它比非递归的形式更加清晰，但是这些问题的迭代实现往往比递归实现效率更高。
当一个问题非常复杂，难以使用迭代的方式实现时，此时递归实现的简洁性便可以补偿它所带来的运行时开销。

举例3：求第n个斐波那契数

斐波那契数列是一个非常著名的数列，它的特点是从第三项开始，每一项都等于前两项之和。其数列的前几项通常为：0、1、1、2、3、5、8、13、21、34、……。

斐波那契数列的应用 数学领域：斐波那契数列在数论、组合数学等领域有广泛应用，例如用于研究黄金分割比等数学概念。
自然界：许多自然现象中都存在斐波那契数列，比如植物的叶序、花瓣数量、松果的鳞片排列等，都与斐波那契数列有密切关系。
计算机科学：在算法设计、数据结构等方面，斐波那契数列常被用作示例或基础算法，如在动态规划问题中，斐波那契数列的思想可以用来解决很多最优子结构问题。
金融领域：斐波那契数列在金融市场分析中也有一定应用，比如黄金分割线常被用于分析股价走势等。

我们也能举出更加极端的例子，就像计算第n个斐波那契数，是不适合使用递归求解的，但是斐波那契数的问题通过是使用递归的形式描述的，如下：

看到这公式，很容易诱导我们将代码写成递归的形式，如下所示：

int test(int n)
{
	if (n <= 2)
		return 1;
	else
		return test(n - 1) + test(n - 2);
}

代码演示：

#include<stdio.h>
int test(int n)
{
	if (n <= 2)
		return 1;
	else
		return test(n - 1) + test(n - 2);
}
int main()
{
	int a = 0;
	scanf("%d", &a);
	int b = test(a);
	printf("%d", b);
	return 0;
}

我们输入8的时候，我们可以很快得到结果

当我们n输入为80的时候，需要很长时间才能算出结果，
而且内存占用贼高：

这个计算所花费的时间，是我们很难接受的，这也说明递归的写法是非常低效的，那是为什么呢？

其实递归程序会不断的展开，在展开的过程中，我们很容易就能发现，在递归的过程中会有重复计算，而且递归层次越深，冗余计算就会越多。我们可以测试：

#include<stdio.h>
int count = 0;
int test(int n)
{
	if (n == 3)
		count++;
	if (n <= 2)
		return 1;
	else
		return test(n - 1) + test(n - 2);
}
int main()
{
	int a = 0;
	scanf("%d", &a);
	int b = test(a);
	printf("%d\n", b);
	printf("count = %d\n", count);
	return 0;
}

这里我们看到了，在计算第40个斐波那契数的时候，使用递归方式，第3个斐波那契数就被重复计算了39088169次，这些计算是非常冗余的。所以斐波那契数的计算，使用递归是非常不明智的，我们就得想迭代的方式解决。
我们知道斐波那契数的前2个数都1，然后前2个数相加就是第3个数，那么我们从前往后，从小到大计算就行了。
这样就有下面的代码：

nt test(int n)
{
	int a = 1;
	int b = 1;
	int c = 1;
	while (n > 2)
	{
		c = a + b;
		a = b;
		b = c;
		n--;
	}
	return c;
}

代码演示：

#include<stdio.h>
int test(int n)
{
	int a = 1;
	int b = 1;
	int c = 1;
	while (n > 2)
	{
		c = a + b;
		a = b;
		b = c;
		n--;
	}
	return c;
}
int main()
{
	int a = 0;
	scanf("%d", &a);
	int b = test(a);
	printf("%d", b);
	return 0;
}

看看结果：

迭代的方式去实现这个代码，效率就要高出很多了。
有时候，递归虽好，但是也会引入一些问题，所以我们一定不要迷恋递归，适可而止就好。

五、结尾

这一课的内容就到这里了，下节课继续学习操作符的其他一些知识
如果内容有什么问题的话欢迎指正，有什么问题也可以问我！