摘要
本文深入探讨灰色系统理论中的优势分析、生成数技术及灰色建模方法。通过关联矩阵量化多因素交互影响，解析累加生成（AGO）、累减生成（IAGO）与均值生成的数据处理原理，详细推导GM(1,1)与GM(1,N)模型的灰微分方程、参数估计及白化过程，结合交通投资与疫情经济影响案例，展示灰色模型在动态系统预测中的实践应用。
关键词：优势分析 生成数 灰色模型 GM(1,1) 累加生成

一 优势分析

1.1 多因素关联矩阵构建

当系统存在多个参考数列（母因素）和比较数列（子因素）时，需通过优势分析识别关键影响因素。设：

• 母因素：$y_1,y_2,\dots ,y_m$（如国民收入、工业收入等）；
• 子因素：$x_1,x_2,\dots ,x_l$（如固定资产投资、科技投资等）。

计算每个子因素对母因素的关联度 $r_{ij}$，构建关联矩阵 $R=(r_{ij}{)}_{m\times l}$。根据矩阵元素大小判断优势因素：

1. 优势子因素：若某列元素显著大于其他列，如 $r_{i3}>r_{ij}(j\ne 3)$，则 $x_3$ 为优势子因素。
2. 优势母因素：若某行元素显著大于其他行，则该母因素对系统影响最大。

示例：地区经济投资分析

某地区6个母因素（$y_1$至$y_6$）与5个子因素（$x_1$至$x_5$）的关联矩阵如下：
$$R=\left[\begin{array}{ccccc}0.802& 0.761& 0.557& 0.810& 0.936\\ 0.689& 0.666& 0.529& 0.885& 0.800\\ 0.891& 0.858& 0.579& 0.577& 0.675\\ 0.678& 0.663& 0.568& 0.780& 0.731\\ 0.811& 0.774& 0.565& 0.804& 0.921\\ 0.743& 0.766& 0.562& 0.607& 0.632\end{array}\right]$$

分析结论：

• 第4行元素较小，说明商业收入受投资影响较弱，属自维持型行业；
• $r_{15}=0.936$ 最大，表明交通投资对国民收入影响最显著；
• 农业（$y_3$）与固投（$x_1$）、工投（$x_2$）关联度高，需多领域协同发展。

1.2 潜在优势因素识别

当关联矩阵呈“对角线以上零元素”结构时，例如：
$$R=\left[\begin{array}{ccccc}0.8& 0& 0& 0& 0\\ 0.6& 0.5& 0& 0& 0\\ 0.7& 0.7& 0.3& 0& 0\\ 0.4& 0.6& 0.7& 0.9& 0\\ 0.3& 0.8& 0.2& 0.7& 0.504\end{array}\right]$$

• 第1列元素全非零，$x_1$ 为潜在优势子因素；
• 第2列存在零元素，$x_2$ 为次潜在优势子因素。

二 生成数技术

2.1 累加生成（AGO）

将原始序列 $x^{(0)}$ 逐项累加，生成规律性更强的序列 $x^{(1)}$，公式为：
$$x^{(1)}(k)=\sum _{i=1}^k{x}^{(0)}(i),k=1,2,\dots ,n$$
作用：弱化随机性，凸显趋势性。例如，非负摆动序列经累加后转化为单调递增序列。

示例：原始序列与累加序列对比

• 原始序列：$x^{(0)}=(2,3,1,4)$
• 累加序列：$x^{(1)}=(2,5,6,10)$

2.2 累减生成（IAGO）

累减是累加的逆过程，用于还原生成数：
$$x^{(0)}(k)=x^{(1)}(k)-x^{(1)}(k-1),k=2,3,\dots ,n$$

2.3 均值生成

通过邻值生成数平滑数据波动，常见方法包括：

1. 紧邻均值生成：
   $$z^{(1)}(k)=0.5x^{(1)}(k)+0.5x^{(1)}(k-1),k=2,3,\dots ,n$$
2. 非紧邻均值生成：
   $${\overline{z}}^{(0)}(k)=0.5x^{(0)}(k+1)+0.5x^{(0)}(k-1)$$

应用场景：数据缺失时补充生成，或构建灰色模型背景值。

三 灰色模型 GM

3.1 GM(1,1)模型

3.1.1 模型定义

设原始序列 $x^{(0)}=(x^{(0)}(1),x^{(0)}(2),\dots ,x^{(0)}(n))$，其累加序列为 $x^{(1)}$，紧邻均值序列为 $z^{(1)}$。GM(1,1)的灰微分方程为：
$$x^{(0)}(k)+a{z}^{(1)}(k)=b$$
其中 $a$ 为发展系数，$b$ 为灰作用量。

3.1.2 参数估计

构造数据矩阵 $B$ 与向量 $Y$：
$$B=\left[\begin{array}{cc}-z^{(1)}(2)& 1\\ -z^{(1)}(3)& 1\\ ⋮& ⋮\\ -z^{(1)}(n)& 1\end{array}\right],Y=\left[\begin{array}{c}{x}^{(0)}(2)\\ x^{(0)}(3)\\ ⋮\\ x^{(0)}(n)\end{array}\right]$$
通过最小二乘法求解参数：
$$\hat{u}=(a,b{)}^T=(B^{T}B{)}^{-1}{B}^{T}Y$$

3.1.3 白化方程与预测

GM(1,1)的白化方程为一阶微分方程：
$$\frac{d{x}^{(1)}}{dt}+a{x}^{(1)}=b$$
其时间响应式为：
$${\hat{x}}^{(1)}(k+1)=\left(x^{(0)}(1)-\frac{b}{a}\right)e^{-ak}+\frac{b}{a}$$
还原预测值：
$${\hat{x}}^{(0)}(k+1)={\hat{x}}^{(1)}(k+1)-{\hat{x}}^{(1)}(k)$$

示例：交通噪声预测

某城市1986–1992年噪声数据 $x^{(0)}=(71.1,72.4,72.4,72.1,71.4,72.0,71.6)$，建立GM(1,1)模型：

1. 累加生成：
   $$x^{(1)}=(71.1,143.5,215.9,288,359.4,431.4,503)$$
2. 紧邻均值生成：
   $$z^{(1)}=(107.3,179.7,251.95,323.7,395.4,467.2)$$
3. 参数估计：
   $$\hat{a}=0.0023,\hat{b}=72.6573$$
4. 预测方程：
   $${\hat{x}}^{(1)}(k+1)=-30929e^{-0.0023k}+31000$$
5. 残差检验：平均相对误差仅0.2%，模型精度高。

3.2 GM(1,N)模型

3.2.1 模型定义

GM(1,N)描述多变量间动态关系，适用于系统受多个因素驱动的场景。设系统特征序列为 $x_1^{(0)}$，相关因素序列为 $x_2^{(0)},\dots ,x_N^{(0)}$，其灰微分方程为：
$$x_1^{(0)}(k)+a{z}_1^{(1)}(k)=\sum _{i=2}^N{b}_i{x}_i^{(1)}(k)$$

3.2.2 参数估计

构建矩阵 $B$ 与向量 $Y$：
$$B=\left[\begin{array}{cccc}-z_1^{(1)}(2)& x_2^{(1)}(2)& \cdots & x_N^{(1)}(2)\\ -z_1^{(1)}(3)& x_2^{(1)}(3)& \cdots & x_N^{(1)}(3)\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ -z_1^{(1)}(n)& x_2^{(1)}(n)& \cdots & x_N^{(1)}(n)\end{array}\right],Y=\left[\begin{array}{c}{x}_1^{(0)}(2)\\ x_1^{(0)}(3)\\ ⋮\\ x_1^{(0)}(n)\end{array}\right]$$
参数估计公式为：
$$\hat{u}=(a,b_2,\dots ,b_N{)}^T=(B^{T}B{)}^{-1}{B}^{T}Y$$

示例：疫情对经济指标的影响

分析SARS疫情对某市商品零售额的影响：

1. 数据预处理：计算1997–2002年月度均值，构建GM(1,1)预测2003年数据；
2. 比例分配：按历史月度比例分配年预测值，得到各月预测值；
3. 影响评估：对比预测值与实际值，4–6月零售额损失60.1亿元，与专家估计一致。

MATLAB代码示例

GM(1,1)模型实现

clc, clear  
x0 = [71.1, 72.4, 72.4, 72.1, 71.4, 72.0, 71.6];  
n = length(x0);  
x1 = cumsum(x0);  % 累加生成  
B = [-0.5*(x1(1:end-1) + x1(2:end))', ones(n-1,1)];  
Y = x0(2:end)';  
u = B \ Y;  % 参数估计  
a = u(1); b = u(2);  
% 白化方程求解  
syms t;  
x = dsolve('Dx + a*x = b', 'x(0) = x0(1)');  
x = subs(x, {'a','b'}, {u(1), u(2)});  
yuce = double(subs(x, 't', 0:n-1));  
x0_hat = [yuce(1), diff(yuce)];  % 累减还原  

优势分析实现

clc, clear  
load data.txt  % 加载投资与收入数据  
n = size(data, 1);  
for i = 1:n  
    data(i,:) = data(i,:) / data(i,1);  % 数据标准化  
end  
ck = data(6+1:end, :);  % 母因素数据  
bj = data(1:5, :);      % 子因素数据  
rho = 0.5;  
R = zeros(6, 5);  
for i = 1:6  
    for j = 1:5  
        t = bj(j,:) - ck(i,:);  
        mn = min(min(abs(t)));  
        mx = max(max(abs(t)));  
        ksi = (mn + rho*mx) ./ (abs(t) + rho*mx);  
        R(i,j) = mean(ksi);  
    end  
end  
disp('关联矩阵 R = '); disp(R);  

总结

优势分析通过关联矩阵揭示复杂系统的关键驱动因素，生成数技术为灰色建模提供数据基础，GM(1,1)与GM(1,N)模型分别适用于单变量预测与多变量耦合分析。后续章节将探讨灰色预测的高级模型（如Verhulst与GM(2,1)）及其在交通、经济等领域的应用。