线性代数笔记<1>

第一章线性方程组

定义：由mn个数按照一定顺序构成的有m行及n列的数表 $⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ a 1, 1 a 2, 1 ⋮ a m, 1 a 1, 2 a 2, 2 ⋮ a m, 2 \dots \dots ⋮ \dots a 1, n a 2, n ⋮ a m, n ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟$ $\begin{pmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&\cdots&a_{1,n}\\a_{2,1}&a_{2,2}&\cdots&a_{2,n}\\\vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\a_{m,1}&a_{m,2}&\cdots&a_{m,n}\end{pmatrix}$ 称为mxn矩阵
通常用大写字母来表示矩阵，如A，B，C
一些特殊的矩阵
1. 方阵
2. 对角矩阵
3. 单位矩阵
4. 上三角矩阵
5. 下三角矩阵
矩阵相等，要求A，B矩阵有相同的型，且 $A_{i,j}=B_{i,j}$

将线性方程的系数对应到矩阵中，称
$⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ a 1, 1 a 2, 1 ⋮ a m, 1 a 1, 2 a 2, 2 ⋮ a m, 2 \dots \dots ⋮ \dots a 1, n a 2, n ⋮ a m, n ⎫ ⎭ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ (1)$ $\left\{\begin{matrix} a_{1,1}&a_{1,2}&\cdots&a_{1,n}\\a_{2,1}&a_{2,2}&\cdots&a_{2,n}\\\vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\a_{m,1}&a_{m,2}&\cdots&a_{m,n}\end{matrix}\right\} \tag{1}$ 为系数矩阵，而称 $⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ a 1, 1 a 2, 1 ⋮ a m, 1 a 1, 2 a 2, 2 ⋮ a m, 2 \dots \dots ⋮ \dots a 1, n a 2, n ⋮ a m, n b 1 b 2 ⋮ b n ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟$ $\begin{pmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&\cdots&a_{1,n}&b_{1}\\a_{2,1}&a_{2,2}&\cdots&a_{2,n}&b_{2}\\\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\a_{m,1}&a_{m,2}&\cdots&a_{m,n}&b_{n}\end{pmatrix}$ 为增广矩阵
而在线性方程中如果 $b_{i}$ 不全为0，则称这个线性方程为非齐次方程组(non-homogeneous linear equations)，如果 $b_{i}$ 全为0，则称方程组为齐次线性方程组（homogeneous linear equations）
对于齐次线性方程组，一定会有零解，可能存在非零解。
对于非齐次方程组，一定不会有零解，可能存在非零解

定义矩阵的初等行变换
- 换行交换第i行和第j行的位置，记为 $r_{i}\leftarrow\rightarrow r_{j}$
- 倍乘将第i行乘以不为0的数k,记为 $kr_{i}$ (k!=0)
- 倍加将第i行乘以一个数k，加在第j行 $kr_{i} + r_{j}$

可以利用矩阵的初等变换进行消元，一般采取“向下消元”的方式，把矩阵转化为行阶梯型矩阵。
形如：

⎛⎝⎜⎜⎜10001−3002−2101220⎞⎠⎟⎟⎟
称为行阶梯型矩阵满足一下几个要求：
1. 阶梯下方全为0
2. 每个台阶只有一行，台阶数即为非零行的行数
3. 阶梯线的竖线后面的第一个元素非零，该元素称为该非零行的元首
在矩阵 $A_{m*n}$ 的行阶梯型矩阵中，其非零行的行数称为矩阵 $A_{m*n}$ 的秩（rank）, 记为 $R(A)$ 或者 $r(A)$
设线性方程组的系数矩阵和增广矩阵分别为A，B，则该线性方程有解的充要条件是 $R(A) = R(B)$
类似初等行变换，有一个矩阵的初等列变换
- 换列交换第i列和第j列的位置，记为 $c_{i} \leftarrow\rightarrow c_{j}$
- 倍乘将第i列乘以一个不为0的数k,记为 $kc_{i}$
- 倍加将第i列乘以一个数k加在第i列，记为 $kc_{i} + c_{j}$
  注意：初等列变换与求解线性方程组的解没有直接联系
矩阵A经过若干次初等变换得到矩阵B，则称矩阵B与矩阵A等价，记为 $A \rightarrow B$

—》未完待续