记得小学的时候数学课本上有过一个兔子的故事,简单来说就是一对小兔子(一公一母)一个月后张成一对大兔子,接下来第二个月生下一对小兔子(也是一公一母),第三个月原本的大兔子再生一对,同时那对小兔子长大了,第四个月……
把上面的故事里的每个月的(包括第一个月)兔子对数写下来便得到了一个数列:
1,1,2,3,5,8,13,21...
这其中的规律很明显:
a1=a2=1
an+2=an+1+an
这样的一个数列
{an}
就是著名的斐波那契数列。
但问题在于这仅仅是它的递推公式,而且还有三个递推变量,怎么看都不爽。这时候就不禁让人想研究它的通项公式了。不急,一步一步来看它通项公式到底长什么样。
要解决一道数列的题目,三个递推变量怎么看都不顺眼,第一想法看看能不能干掉一个变量。简而言之,就是把两个变量看作一个整体,看看有没有相邻变量之间的关系。
首先是这个式子: an+2=an+1+an ,我们把它定为1式,试一试能不能把 an+1 拆成两部分给等式两边构成一个形如“ an+2+λan+1=(λ+1)(an+1+λan) ”的式子,这样 {an+1+λan} 这个数列就应该满足一种等比数列的性质,其中由于 a1=a2=1 得到首项应为 (1+λ) 。那么现在问题就是看看存不存在这个实数 λ ,如果有再想办法把它解出来。
我们假设1式可拆成 :
an+2+λan+1=(λ+1)(an+1+λan)
我们把上式称为2式,则整理后得到:
an+2=an+1+λ(1+λ)an
把得到的这个式子与1式比较一下发现只要对应项系数相等即可,也就是看看: λ(1+λ)=1 这个式子是否有解。结果真有,而且还有两个,分别是 −1+5√2 和 −1−5√2 。现将第一个解代入2式后得到:
an+2+−1+5‾‾√2an+1=1+5‾‾√2(an+1+−1+5‾‾√2an)
再由等比数列的性质得到:
an+1+−1+5‾‾√2an=(1+−1+5‾‾√2)(1+5‾‾√2)n−1=(1+5‾‾√2)n
即:
an+1+−1+5‾‾√2an=(1+5‾‾√2)n
我们把上式称为3式,再由同样的方式将第二个解代入2式整理得到了4式:
an+1+−1−5‾‾√2an=(1−5‾‾√2)n
若要得到 an 的通项公式只需3式减去4式,再整理得到:
an=15‾‾√[(1+5‾‾√2)n−(1−5‾‾√2)n]
啊,折腾了半天,终于得到了这个我们最终想要的斐波那契数列的通项公式。
回顾这整个过程,神奇的“待定系数法”与消元思想发挥了极大的作用,这也是许多多元递推公式求通项公式的好办法。