1.函数的左右导数 与 导函数的左右极限

要看$f(x)$在$x=x_0$处的性质，间断？连续？可导？来判断f(x)在该点的左右导数和导函数的左右极限是否相等：

①f(x)在$x=x_0$处可导，则两者等价。

特例：若f(x)在$x=x_0$处可导，左右导数存在且为0。但导函数在$x_0$处震荡，则导函数的左右极限不存在。

②若f(x)在$x=x_0$处连续，且$\underset{x\to x_0}{\lim }{f}^{\prime }(x)$存在，则两者等价。【导数极限定理】
③若$f(x)$在该点$x=x_0$是间断的，则不可导，但导函数有左右极限。两者不等价。
④若没有给出任何条件，则两者没有关系。

1.函数的左右导数：（导数定义）
①函数的左导数：$f^{\prime }(x_0^{-})=\underset{x\to x_0^{-}}{\lim }\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$
②函数的右导数：$f^{\prime }(x_0^{+})=\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$

2.导函数的左右极限：（极限）
①导函数的左极限：$\underset{x\to x_0^{-}}{\lim }{f}^{\prime }(x)$
②导函数的右极限：$\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }{f}^{\prime }(x)$

2.导数极限定理

若$f(x)$在$x=x_0$处连续 ：

(1)若$\underset{x\to x_0}{\lim }{f}^{\prime }(x)=A$ 【即$f(x)$在$x=x_0$的去心邻域内可导】，则$f(x)$在$x=x_0$处可导 且 $f^{\prime }(x_0)=A$

(2)若$\underset{x\to x_0}{\lim }{f}^{\prime }(x)=\infty$，则$f(x)$在$x=x_0$处不可导

证明(1)：
①姜晓千证明：$f^{\prime }(x_0)\stackrel{导数定义}{=}\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\stackrel{洛必达}{=}\underset{x\to x_0}{\lim }{f}^{\prime }(x)=A$

导函数的极限存在，则在去心邻域内就可导

②985数学专业 秋水 证明：
i.$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=A$，则$f(x)$在$x=x_0$处连续或为第一类间断点中的可去间断点。
【不能为 跳跃间断点、第二类的无穷间断点、震荡间断点，否则极限不存在。矛盾】
ii.原函数存在定理：f(x)连续，则一定有原函数。f(x)有第一类间断点，则一定没有原函数。f(x)有第二类间断点，可能有原函数。
iii.$f^{\prime }(x)$有原函数$f(x)$，则$f^{\prime }(x)$没有第一类间断点。又∵$\underset{x\to x_0}{\lim }{f}^{\prime }(x)=A$   ∴$f^{\prime }(x)$连续
即$f^{\prime }(x)$不仅去心邻域内可导，$x=x_0$一点处也可导，即$f^{\prime }(x_0)\stackrel{连续}{=}\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=A$，即该点处可导，且导数为A

例题1：660 T154   导数极限定理

分析：
法一：直接证明
导数极限定理，前提是 $f(x)$在$x=x_0$处连续。题干没有提供f(x)连续，故ABC错误。
若补充 $f(x)$在$x=x_0$处连续，再加上题干原有的 $\underset{x\to x_0}{\lim }{f}^{\prime }(x)=a$，则选A。

法二：排除法
举反例：分段函数

$f(x)=\{\begin{array}{rlr}& x+1& ,x\ge 0\\ & x& ,x<0\end{array}$

则$\underset{x\to x_0}{\lim }{f}^{\prime }(x)=1=a$，但$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)$不存在

答案：D

3.$\frac{\partial z}{\partial x}与\frac{\partial f}{\partial x}$

1.$z=f(u,x,y)，u=\phi (x,y)$ 时，$\frac{\partial z}{\partial x}$与$\frac{\partial f}{\partial x}$不一样：

①$\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial f}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial x}$

②$\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial f}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial f}{\partial y}$

总结：$\frac{\partial z}{\partial x}$是把$y$当常数，对$x$里的$x$ 和 $u=\phi (x,y)$里的$x$求偏导之和。
而$\frac{\partial f}{\partial x}$是个抽象的标记，仅是对$x$里的$x$求偏导。（对$u=\phi (x,y)$里的$x$求偏导则应该为：$\frac{\partial f}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x}$）

举例：$z=f(u)=f(xy)$
①$\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial f}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x}$，即$z_x^{\prime }=f^{\prime }\cdot y$

②$\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{\partial f}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial y}$，即$z_x^{\prime }=f^{\prime }\cdot x$

例题1：14年17.

注意，$z=f(u)=f(e^x\cos y)$是一元函数，只有一个位置。对x求导得到的$f^{\prime }$和对y求导得到的$f^{\prime }$是一回事，没有角标。分别对x,y求二阶导得到的$f^{\prime \prime }$也一样。非要写角标，就都是对u，$f_u^{\prime }$、$f_u^{\prime \prime }$

2.$因变量=映射关系(自变量)$
一元函数：$y=y(x)$ 与 $y=f(x)$一样
二元函数：$z=z(x,y)$ 与 $z=f(x,y)$ 一样
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因变量、映射关系、自变量，这三者更改字母是不影响的。